Esta colección propone 20 ejercicios resueltos sobre los límites por la derecha y por la izquierda, ordenados según una dificultad creciente. Los primeros ejercicios se refieren al cálculo de los límites por la derecha y por la izquierda más inmediatos; a continuación se abordan las definiciones formales, las funciones definidas a trozos, los límites infinitos por la derecha y por la izquierda, el papel del dominio y la continuidad por la derecha y por la izquierda.
En cada resolución se indica explícitamente desde qué lado se aproxima \(x\) al punto, qué expresión de la función debe emplearse y por qué el límite obtenido conduce, o no conduce, a la existencia del límite.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcúlese el siguiente límite por la derecha:
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Resolución
La notación \(x\to 2^+\) indica que \(x\) se aproxima a \(2\) tomando únicamente valores mayores que \(2\).
La función
\[ f(x)=3x-1 \]
es afín y no presenta irregularidad alguna en el punto \(x=2\). Podemos, por tanto, calcular el límite sustituyendo directamente \(x=2\):
\[ 3\cdot 2-1=6-1=5. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
El hecho de que la aproximación se produzca por la derecha no altera el resultado, ya que una misma expresión \(3x-1\) está definida y se comporta con regularidad tanto a la derecha como a la izquierda de \(2\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calcúlese el siguiente límite por la izquierda:
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
Resolución
La notación \(x\to -1^-\) significa que \(x\) se aproxima a \(-1\) a través de valores menores que \(-1\).
La función
\[ f(x)=x^2+2x \]
es un polinomio y puede evaluarse directamente en el punto \(x=-1\). Obtenemos:
\[ (-1)^2+2(-1)=1-2=-1. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to -1^-}(x^2+2x)=-1. \]
También en este caso el lado por el que se efectúa la aproximación no modifica el valor del límite, puesto que el polinomio viene dado por la misma expresión en todo un entorno de \(-1\).
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
Demuéstrese, a partir de la definición \(\varepsilon\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Resultado
La definición se verifica eligiendo
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Resolución
Hemos de probar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe un \(\delta>0\) tal que
\[ 2<x<2+\delta \implies |(3x-1)-5|<\varepsilon. \]
Partimos de la expresión que debe hacerse menor que \(\varepsilon\):
\[ |(3x-1)-5|. \]
Simplificando dentro del valor absoluto, obtenemos
\[ |3x-6|=|3(x-2)|=3|x-2|. \]
Queremos, pues, que
\[ 3|x-2|<\varepsilon. \]
Basta con imponer
\[ |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}. \]
Elegimos, por tanto,
\[ \delta=\frac{\varepsilon}{3}. \]
Si \(2<x<2+\delta\), entonces
\[ 0<x-2<\delta, \]
y, en consecuencia,
\[ |x-2|<\delta. \]
De aquí se sigue que
\[ |(3x-1)-5| =3|x-2| <3\delta =3\cdot\frac{\varepsilon}{3} =\varepsilon. \]
Queda así satisfecha la definición de límite por la derecha y podemos concluir que
\[ \lim_{x\to 2^+}(3x-1)=5. \]
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Demuéstrese, a partir de la definición \(\varepsilon\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Resultado
La definición se verifica eligiendo
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Resolución
Hemos de probar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe un \(\delta>0\) tal que
\[ 1-\delta<x<1 \implies |x^2-1|<\varepsilon. \]
Descomponemos la diferencia de cuadrados:
\[ |x^2-1|=|(x-1)(x+1)|=|x-1||x+1|. \]
El factor \(|x-1|\) puede controlarse directamente mediante \(\delta\). Debemos, en cambio, hallar una cota superior sencilla para \(|x+1|\).
Imponemos en primer lugar \(\delta\le 1\). De la condición
\[ 1-\delta<x<1 \]
se sigue entonces
\[ 0<x<1. \]
Por tanto
\[ 1<x+1<2, \]
y, en particular,
\[ |x+1|<2. \]
En consecuencia,
\[ |x^2-1|=|x-1||x+1|<2|x-1|. \]
Para hacer esta última cantidad menor que \(\varepsilon\), basta con exigir
\[ |x-1|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Podemos, pues, elegir
\[ \delta=\min\left\{1,\frac{\varepsilon}{2}\right\}. \]
Si \(1-\delta<x<1\), entonces \(|x-1|<\delta\), de modo que
\[ |x^2-1| <2|x-1| <2\delta \le\varepsilon. \]
Queda así verificada la definición de límite por la izquierda:
\[ \lim_{x\to 1^-}x^2=1. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determínese el límite por la derecha de la función
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
en el punto \(x_0=0\). Establézcase además si el límite por la izquierda tiene sentido.
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
El límite por la izquierda en \(0\) carece de sentido en el dominio real de la función.
Resolución
La función
\[ f(x)=\sqrt{x} \]
está definida, en el conjunto de los números reales, únicamente cuando
\[ x\ge 0. \]
Su dominio es, por tanto,
\[ D=[0,+\infty). \]
Existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(0\) y mayores que \(0\). El límite por la derecha tiene, pues, sentido.
Cuando \(x\) se aproxima a \(0\) por la derecha, también \(\sqrt{x}\) se aproxima a \(0\). Por tanto
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x}=0. \]
No existen, en cambio, puntos del dominio menores que \(0\) y arbitrariamente próximos a \(0\). Por esta razón, el límite por la izquierda
\[ \lim_{x\to 0^-}\sqrt{x} \]
carece de sentido como límite real de la función dada.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determínese el límite por la izquierda de la función
\[ f(x)=\sqrt{4-x} \]
en el punto \(x_0=4\). Establézcase además si el límite por la derecha tiene sentido.
Resultado
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
El límite por la derecha en \(4\) carece de sentido en el dominio real de la función.
Resolución
Para que la raíz cuadrada esté definida, su argumento ha de ser no negativo:
\[ 4-x\ge 0. \]
Al resolver esta inecuación, obtenemos
\[ x\le 4. \]
El dominio de la función es, por tanto,
\[ D=(-\infty,4]. \]
Existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(4\) y menores que \(4\). Podemos, pues, calcular el límite por la izquierda.
Cuando \(x\to 4^-\), la cantidad \(4-x\) es positiva y tiende a \(0\). En consecuencia,
\[ \sqrt{4-x}\to 0. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 4^-}\sqrt{4-x}=0. \]
No existen, en cambio, puntos del dominio mayores que \(4\). El límite por la derecha en \(4\) carece, por tanto, de sentido respecto del dominio de la función.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Calcúlense los dos límites laterales y establézcase si existe el límite:
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} =2. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Resolución
Al sustituir directamente \(x=1\), se obtiene
\[ \frac{1^2-1}{1-1}=\frac{0}{0}, \]
que es una indeterminación. Debemos, por tanto, transformar la expresión.
El numerador es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-1=(x-1)(x+1). \]
Para todo \(x\neq 1\) podemos simplificar el factor \(x-1\):
\[ \frac{x^2-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1. \]
En el cálculo de un límite para \(x\to 1\) se consideran valores de \(x\) próximos a \(1\), pero distintos de \(1\). La simplificación es, por tanto, válida tanto a la izquierda como a la derecha del punto.
Para el límite por la izquierda:
\[ \lim_{x\to 1^-}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^-}(x+1) =2. \]
Para el límite por la derecha:
\[ \lim_{x\to 1^+}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 1^+}(x+1) =2. \]
Ambos límites laterales existen y coinciden. En consecuencia,
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función
\[ f(x)= \begin{cases} x+2, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 3x, & x>1. \end{cases} \]
Calcúlense los límites laterales en \(x_0=1\), establézcase si existe el límite para \(x\to 1\) y compruébese si la función es continua en \(1\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x)=3, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x)=3. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
La función no es continua en \(1\), porque \(f(1)=5\neq 3\).
Resolución
La función viene dada por expresiones distintas a la izquierda de \(1\), en el propio punto \(1\) y a la derecha de \(1\).
Para calcular el límite por la izquierda hemos de emplear la rama válida para \(x<1\):
\[ f(x)=x+2. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}(x+2) = 1+2 = 3. \]
Para calcular el límite por la derecha hemos de emplear, en cambio, la rama válida para \(x>1\):
\[ f(x)=3x. \]
Obtenemos así
\[ \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}3x = 3. \]
Ambos límites laterales existen y coinciden. Existe, pues, el límite:
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3. \]
Para comprobar la continuidad hemos de comparar el límite con el valor de la función en el punto. De la definición a trozos resulta
\[ f(1)=5. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to 1}f(x)=3\neq 5=f(1), \]
la función no es continua en \(1\).
Este ejemplo muestra que el límite puede existir aun cuando el valor asignado a la función en el punto sea distinto de él.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Consideremos la función
\[ f(x)= \begin{cases} 2x+1, & x<0,\\ x^2+2, & x\ge 0. \end{cases} \]
Calcúlense los límites laterales en \(0\), establézcase si existe el límite para \(x\to 0\) y determínese si la función es continua por la derecha o por la izquierda.
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
El límite para \(x\to 0\) no existe. La función es continua por la derecha, pero no por la izquierda.
Resolución
Para el límite por la izquierda hemos de usar la rama válida cuando \(x<0\):
\[ f(x)=2x+1. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(2x+1) = 1. \]
Para el límite por la derecha hemos de usar la rama válida cuando \(x\ge 0\). En el cálculo del límite por la derecha se consideran valores \(x>0\), de modo que la expresión que debe emplearse es
\[ f(x)=x^2+2. \]
De aquí se sigue que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Los dos límites laterales son distintos:
\[ 1\neq 2. \]
En consecuencia, el límite para \(x\to 0\) no existe.
Calculemos ahora el valor de la función en el punto. Como la segunda rama comprende \(x=0\),
\[ f(0)=0^2+2=2. \]
El límite por la derecha coincide con el valor de la función:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La función es, por tanto, continua por la derecha en \(0\).
El límite por la izquierda vale, en cambio, \(1\), de modo que
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)\neq f(0). \]
La función no es continua por la izquierda.
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Calcúlense los límites laterales de la función
\[ f(x)=\frac{x}{|x|} \]
en el punto \(x_0=0\) y establézcase si existe el límite para \(x\to 0\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1, \qquad \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
El límite para \(x\to 0\) no existe.
Resolución
El comportamiento del valor absoluto depende del signo de \(x\).
Cuando \(x<0\), se tiene
\[ |x|=-x. \]
Por tanto, para \(x<0\),
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to 0^-}\frac{x}{|x|}=-1. \]
Cuando, en cambio, \(x>0\), se tiene
\[ |x|=x. \]
Por tanto
\[ \frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1. \]
De aquí se sigue que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{|x|}=1. \]
Puesto que
\[ -1\neq 1, \]
los dos límites laterales no coinciden. El límite para \(x\to 0\) no existe.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcúlense los límites laterales de la función
\[ f(x)=\frac{1}{x-3} \]
en el punto \(x_0=3\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
El límite para \(x\to 3\) no existe.
Resolución
Cuando \(x\to 3\), el denominador \(x-3\) tiende a \(0\). Para determinar el comportamiento del cociente resulta imprescindible estudiar el signo del denominador por cada lado.
Si \(x\to 3^-\), entonces \(x<3\). En consecuencia,
\[ x-3<0. \]
El denominador es negativo y su valor absoluto se hace cada vez más pequeño. El recíproco toma, por tanto, valores negativos cuyo valor absoluto crece indefinidamente:
\[ \lim_{x\to 3^-}\frac{1}{x-3}=-\infty. \]
Si, por el contrario, \(x\to 3^+\), entonces \(x>3\), de modo que
\[ x-3>0. \]
El denominador es positivo y tiende a \(0\). El recíproco toma, por tanto, valores positivos arbitrariamente grandes:
\[ \lim_{x\to 3^+}\frac{1}{x-3}=+\infty. \]
Los dos límites laterales describen comportamientos opuestos. Por tanto, el límite para \(x\to 3\) no existe.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Calcúlense los límites laterales de la función
\[ f(x)=-\frac{2}{x+1} \]
en el punto \(x_0=-1\).
Resultado
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty, \qquad \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
Resolución
El numerador es constante e igual a \(-2\). El signo de la función depende, por tanto, del signo del denominador \(x+1\).
Cuando \(x\to -1^-\), se tiene \(x<-1\), luego
\[ x+1<0. \]
Numerador y denominador son ambos negativos, de modo que el cociente es positivo. Además, el denominador tiende a \(0\) a través de valores negativos, con lo que el valor del cociente crece sin cota:
\[ \lim_{x\to -1^-}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=+\infty. \]
Cuando, en cambio, \(x\to -1^+\), se tiene \(x>-1\), de modo que
\[ x+1>0. \]
El numerador es negativo y el denominador positivo; el cociente es, pues, negativo. Como el denominador tiende a \(0\), el valor absoluto del cociente crece sin cota:
\[ \lim_{x\to -1^+}\left(-\frac{2}{x+1}\right)=-\infty. \]
También en este caso ambos comportamientos laterales son incompatibles, por lo que el límite no existe.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcúlense los límites laterales y el límite:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2} = \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2} =+\infty. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Resolución
Cuando \(x\to 2\), la diferencia \(x-2\) tiende a \(0\).
El denominador, sin embargo, es el cuadrado de dicha diferencia:
\[ (x-2)^2. \]
Para todo \(x\neq 2\), el cuadrado es estrictamente positivo:
\[ (x-2)^2>0. \]
Si \(x\to 2^-\), la cantidad \(x-2\) es negativa, pero su cuadrado es positivo y tiende a \(0\). En consecuencia,
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Si \(x\to 2^+\), la cantidad \(x-2\) es positiva y su cuadrado tiende de nuevo a \(0\) a través de valores positivos. Por tanto,
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Los dos límites laterales coinciden y son ambos iguales a \(+\infty\). Podemos, pues, escribir
\[ \lim_{x\to 2}\frac{1}{(x-2)^2}=+\infty. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Demuéstrese, a partir de la definición \(M\)-\(\delta\), que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Resultado
La definición se verifica eligiendo
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Resolución
Para demostrar que
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \]
hemos de comprobar que, para todo \(M>0\), existe un \(\delta>0\) tal que
\[ 0<x<\delta \implies \frac{1}{x}>M. \]
Partimos de la desigualdad que queremos obtener:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Puesto que estamos considerando \(x>0\) y \(M>0\), podemos multiplicar ambos miembros por \(x\) sin alterar el sentido de la desigualdad:
\[ 1>Mx. \]
Dividiendo por \(M>0\), obtenemos
\[ x<\frac{1}{M}. \]
Resulta, pues, natural elegir
\[ \delta=\frac{1}{M}. \]
Si
\[ 0<x<\delta=\frac{1}{M}, \]
entonces, al pasar a los recíprocos de cantidades positivas, el sentido de la desigualdad se invierte:
\[ \frac{1}{x}>M. \]
Queda así verificada la definición de límite infinito por la derecha. Por tanto
\[ \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x}=+\infty. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Dada la función
\[ f(x)=\sqrt{2-x}, \]
establézcase qué límites laterales tienen sentido en el punto \(x_0=2\) y calcúlense los que existan.
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
El límite por la derecha en \(2\) carece de sentido en el dominio real de la función.
Resolución
Para determinar el dominio imponemos que el argumento de la raíz sea no negativo:
\[ 2-x\ge 0. \]
Al resolver, obtenemos
\[ x\le 2. \]
El dominio es, pues,
\[ D=(-\infty,2]. \]
Existen puntos del dominio arbitrariamente próximos a \(2\) y menores que \(2\). El límite por la izquierda tiene, por tanto, sentido.
Cuando \(x\to 2^-\), la diferencia \(2-x\) es positiva y tiende a \(0\). Por tanto
\[ \lim_{x\to 2^-}\sqrt{2-x}=0. \]
No existen, en cambio, puntos del dominio mayores que \(2\). En particular, no es posible hallar valores \(x\in D\) tales que
\[ 2<x<2+\delta. \]
El límite por la derecha en \(2\) carece, por tanto, de sentido respecto del dominio de la función.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ f:[0,4]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x^2. \]
Compruébese que \(f\) es continua por la derecha en \(0\) y continua por la izquierda en \(4\).
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=0, \qquad \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4)=16. \]
Resolución
El dominio de la función es el intervalo cerrado \([0,4]\).
En el punto \(0\) existen puntos del dominio arbitrariamente próximos únicamente por la derecha. La condición natural de continuidad respecto del dominio es, por tanto, la continuidad por la derecha.
Calculemos:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}x^2 = 0. \]
El valor de la función en el punto es
\[ f(0)=0^2=0. \]
Puesto que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0), \]
la función es continua por la derecha en \(0\).
En el punto \(4\), en cambio, existen puntos del dominio arbitrariamente próximos únicamente por la izquierda. Calculemos:
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x) = \lim_{x\to 4^-}x^2 = 16. \]
Además
\[ f(4)=4^2=16. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 4^-}f(x)=f(4), \]
y la función es continua por la izquierda en \(4\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★☆☆
Consideremos la función
\[ f(x)= \begin{cases} 1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x+2, & x>0. \end{cases} \]
Establézcase si la función es continua por la derecha o por la izquierda en el punto \(x_0=0\).
Resultado
La función es continua por la derecha en \(0\), pero no es continua por la izquierda.
Resolución
El valor de la función en el punto se asigna directamente:
\[ f(0)=2. \]
Para calcular el límite por la izquierda hemos de emplear la rama válida para \(x<0\):
\[ f(x)=1. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1. \]
Puesto que
\[ 1\neq 2=f(0), \]
la función no es continua por la izquierda en \(0\).
Para el límite por la derecha hemos de emplear, en cambio, la rama válida para \(x>0\):
\[ f(x)=x+2. \]
Calculemos:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x+2) = 2. \]
El límite por la derecha coincide con el valor de la función:
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La función es, por tanto, continua por la derecha en \(0\).
Puesto que el límite por la izquierda y el límite por la derecha son distintos, la función no es continua en \(0\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Determínese el valor del parámetro real \(a\) para el cual existe el límite para \(x\to 2\) de la función
\[ f_a(x)= \begin{cases} ax+1, & x<2,\\ x^2-a, & x>2. \end{cases} \]
Calcúlese asimismo el valor del límite.
Resultado
El límite existe si y solo si
\[ a=1. \]
Para \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
Resolución
Para que exista el límite para \(x\to 2\), el límite por la izquierda y el límite por la derecha han de existir y coincidir.
Para \(x<2\), la función viene dada por
\[ f_a(x)=ax+1. \]
El límite por la izquierda es, pues,
\[ \lim_{x\to 2^-}f_a(x) = \lim_{x\to 2^-}(ax+1) = 2a+1. \]
Para \(x>2\), la función viene dada por
\[ f_a(x)=x^2-a. \]
El límite por la derecha vale
\[ \lim_{x\to 2^+}f_a(x) = \lim_{x\to 2^+}(x^2-a) = 4-a. \]
Para que ambos límites coincidan ha de cumplirse
\[ 2a+1=4-a. \]
Resolvemos la ecuación:
\[ 2a+a=4-1, \]
luego
\[ 3a=3 \]
y, finalmente,
\[ a=1. \]
Sustituyendo \(a=1\) en cualquiera de los dos límites laterales, obtenemos
\[ 2a+1=2\cdot 1+1=3. \]
También el límite por la derecha vale
\[ 4-a=4-1=3. \]
Por tanto, para \(a=1\),
\[ \lim_{x\to 2}f_a(x)=3. \]
La función no está definida en el punto \(x=2\), pero ello no impide la existencia del límite, ya que este depende del comportamiento de la función en los puntos próximos a \(2\) y no del valor que tome en el propio punto.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Determínense todos los valores de los parámetros reales \(a\) y \(b\) para los cuales la función
\[ f_{a,b}(x)= \begin{cases} ax+b, & x<1,\\ 5, & x=1,\\ 2x+3, & x>1 \end{cases} \]
es continua en el punto \(x_0=1\).
Resultado
La función es continua en \(1\) si y solo si
\[ a+b=5. \]
Equivalentemente,
\[ b=5-a. \]
Resolución
Para que la función sea continua en \(1\) han de satisfacerse ambas condiciones
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1) \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=f_{a,b}(1). \]
El valor de la función en el punto es
\[ f_{a,b}(1)=5. \]
A la izquierda de \(1\), la función viene dada por
\[ f_{a,b}(x)=ax+b. \]
Por tanto
\[ \lim_{x\to 1^-}f_{a,b}(x) = a\cdot 1+b = a+b. \]
Para la continuidad por la izquierda ha de ser, pues,
\[ a+b=5. \]
A la derecha de \(1\), la función viene dada por
\[ f_{a,b}(x)=2x+3. \]
El límite por la derecha vale
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x) = 2\cdot 1+3 = 5. \]
El límite por la derecha coincide automáticamente con el valor de la función en el punto:
\[ \lim_{x\to 1^+}f_{a,b}(x)=5=f_{a,b}(1). \]
La única condición que debe imponerse a los parámetros es, por tanto,
\[ a+b=5. \]
No existe una única pareja de parámetros, sino infinitas. Elegido arbitrariamente \(a\in\mathbb{R}\), ha de ser
\[ b=5-a. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Consideremos la función
\[ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0,\\ 2, & x=0,\\ x^2+2, & 0<x<2,\\ 7, & x=2,\\ 5-x, & x>2. \end{cases} \]
Estúdiense por completo los límites laterales y la continuidad por la derecha y por la izquierda en los puntos \(x_0=0\) y \(x_0=2\).
Resultado
En el punto \(x_0=0\):
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 0^+}f(x)=2. \]
El límite para \(x\to 0\) no existe. La función es continua por la derecha, pero no por la izquierda.
En el punto \(x_0=2\):
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=6, \qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=3. \]
El límite para \(x\to 2\) no existe. La función no es continua ni por la izquierda ni por la derecha.
Resolución
Comencemos por el estudio del punto \(x_0=0\).
Para \(x<0\), la función viene dada por
\[ f(x)=x+1. \]
Por tanto, el límite por la izquierda vale
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x) = \lim_{x\to 0^-}(x+1) = 1. \]
Para \(0<x<2\), la función viene dada, en cambio, por
\[ f(x)=x^2+2. \]
Esta es la expresión que debe emplearse para el límite por la derecha en \(0\):
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^+}(x^2+2) = 2. \]
Los dos límites laterales son distintos:
\[ 1\neq 2. \]
En consecuencia, el límite para \(x\to 0\) no existe.
El valor de la función en el punto es
\[ f(0)=2. \]
Al comparar el valor de la función con los límites laterales, observamos que
\[ \lim_{x\to 0^+}f(x)=2=f(0). \]
La función es, por tanto, continua por la derecha en \(0\).
Por el contrario,
\[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=1\neq 2=f(0), \]
de modo que la función no es continua por la izquierda en \(0\).
Pasemos ahora al estudio del punto \(x_0=2\).
Para los valores \(x<2\) suficientemente próximos a \(2\) se tiene \(0<x<2\), de modo que la función viene dada por
\[ f(x)=x^2+2. \]
El límite por la izquierda es, en consecuencia,
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2^-}(x^2+2) = 4+2 = 6. \]
Para \(x>2\), la función viene dada por
\[ f(x)=5-x. \]
El límite por la derecha vale, pues,
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x) = \lim_{x\to 2^+}(5-x) = 5-2 = 3. \]
También en este punto los dos límites laterales son distintos:
\[ 6\neq 3. \]
El límite para \(x\to 2\) no existe.
El valor de la función en el punto es
\[ f(2)=7. \]
Para la continuidad por la izquierda sería necesario que
\[ \lim_{x\to 2^-}f(x)=f(2). \]
Sin embargo
\[ 6\neq 7. \]
La función no es, por tanto, continua por la izquierda en \(2\).
Para la continuidad por la derecha sería necesario, en cambio, que
\[ \lim_{x\to 2^+}f(x)=f(2). \]
Pero
\[ 3\neq 7. \]
La función tampoco es continua por la derecha en \(2\).
El estudio completo muestra, pues, que la función es continua únicamente por la derecha en el punto \(0\), mientras que en el punto \(2\) no es continua por ninguno de los dos lados.