Los ejercicios propuestos en esta página permiten aplicar de manera gradual los principales teoremas sobre operaciones con límites. Comenzaremos por los casos en los que el resultado puede obtenerse directamente mediante los teoremas de la suma, del producto, del cociente, de las potencias, de las raíces y de la función compuesta.
A continuación abordaremos situaciones en las que la sustitución directa conduce a una forma indeterminada. En tales casos no bastará con detenerse en la escritura simbólica \(\displaystyle\frac{0}{0}\), \(0\cdot\infty\) o \(\infty-\infty\): será necesario transformar la expresión mediante factorizaciones, simplificaciones, racionalizaciones o divisiones por la mayor potencia relevante de la variable.
Se prestará especial atención al dominio de las funciones y al estudio del signo. En efecto, cuando un denominador tiende a cero, conocer únicamente su límite no resulta suficiente: para determinar si el cociente tiende a \(+\infty\), a \(-\infty\) o carece de límite, es necesario establecer el signo del denominador a la derecha y a la izquierda del punto considerado.
En cada ejercicio se indicarán explícitamente las propiedades empleadas y se justificará cada paso. No se recurrirá a la regla de L’Hôpital, a los desarrollos de Taylor ni a ningún otro instrumento innecesario: todos los resultados se obtendrán aplicando exclusivamente los teoremas y las técnicas algebraicas introducidos en la teoría.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el siguiente límite:
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right)=6. \]
Resolución
La expresión \(3x^2-5x+4\) es un polinomio. Los polinomios son funciones continuas en todo \(\mathbb{R}\), por lo que su límite en un punto finito se calcula sustituyendo directamente la variable por el valor al que esta tiende.
Podemos justificar la sustitución también mediante los teoremas sobre operaciones con límites. En efecto, sabemos que
\[ \lim_{x\to 2}x=2. \]
Del teorema de las potencias se sigue
\[ \lim_{x\to 2}x^2=2^2=4. \]
Sacando fuera del límite los factores constantes, obtenemos
\[ \lim_{x\to 2}3x^2=3\cdot 4=12 \]
y
\[ \lim_{x\to 2}(-5x)=-5\cdot 2=-10. \]
La función constante \(4\) tiene límite igual a \(4\). Aplicando finalmente el teorema de la suma,
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 2}\left(3x^2-5x+4\right) &=3\cdot 2^2-5\cdot 2+4\\ &=12-10+4\\ &=6. \end{aligned} \]
Por lo tanto, el límite pedido es
\[ 6. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-2 \qquad\text{y}\qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=3. \]
Calcular
\[ \lim_{x\to x_0}\left(4f(x)-2g(x)+5\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to x_0}\left(4f(x)-2g(x)+5\right)=-9. \]
Resolución
Ambos límites dados son finitos. Podemos, por tanto, aplicar el teorema de la suma y el teorema del producto de una función por una constante.
Del límite de \(f\) se sigue
\[ \lim_{x\to x_0}4f(x) = 4\lim_{x\to x_0}f(x) = 4\cdot(-2) = -8. \]
Análogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}\bigl(-2g(x)\bigr) = -2\lim_{x\to x_0}g(x) = -2\cdot 3 = -6. \]
La función constante \(5\) tiene límite igual a \(5\). Podemos entonces sumar los tres resultados:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to x_0}\left(4f(x)-2g(x)+5\right) &= 4(-2)-2(3)+5\\ &=-8-6+5\\ &=-9. \end{aligned} \]
El límite pedido es, por consiguiente,
\[ -9. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to-1}(2x-3)^2(x+4). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-1}(2x-3)^2(x+4)=75. \]
Resolución
La expresión es el producto de dos funciones:
\[ (2x-3)^2 \qquad\text{y}\qquad x+4. \]
Calculemos por separado sus límites.
Puesto que
\[ \lim_{x\to-1}(2x-3)=2(-1)-3=-5, \]
del teorema de las potencias se sigue
\[ \lim_{x\to-1}(2x-3)^2=(-5)^2=25. \]
Para el segundo factor,
\[ \lim_{x\to-1}(x+4)=-1+4=3. \]
Ambos límites son finitos. Podemos, por tanto, aplicar el teorema del producto:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to-1}(2x-3)^2(x+4) &= \left(\lim_{x\to-1}(2x-3)^2\right) \left(\lim_{x\to-1}(x+4)\right)\\ &=25\cdot 3\\ &=75. \end{aligned} \]
Por lo tanto,
\[ 75. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x+3}{2x+5}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x+3}{2x+5} = \frac{6}{7}. \]
Resolución
El numerador y el denominador son polinomios. Podemos, por tanto, calcular por separado sus límites mediante sustitución directa.
Para el numerador,
\[ \lim_{x\to 1}(x^2+2x+3) = 1^2+2\cdot 1+3 = 6. \]
Para el denominador,
\[ \lim_{x\to 1}(2x+5) = 2\cdot 1+5 = 7. \]
El límite del denominador es distinto de cero:
\[ 7\neq 0. \]
Queda así satisfecha la hipótesis fundamental del teorema del cociente. Podemos escribir
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^2+2x+3}{2x+5} &= \frac{\displaystyle\lim_{x\to 1}(x^2+2x+3)} {\displaystyle\lim_{x\to 1}(2x+5)}\\ &= \frac{6}{7}. \end{aligned} \]
El resultado es
\[ \frac{6}{7}. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 2}|x^2-5|. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2}|x^2-5|=1. \]
Resolución
Consideremos en primer lugar la función contenida en el valor absoluto:
\[ f(x)=x^2-5. \]
Al ser un polinomio, su límite se calcula mediante sustitución directa:
\[ \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=4-5=-1. \]
El teorema del límite del valor absoluto establece que, si \(f(x)\to L\), entonces
\[ |f(x)|\to |L|. \]
En nuestro caso \(L=-1\). Por lo tanto,
\[ \lim_{x\to 2}|x^2-5| = |-1| = 1. \]
Podemos comprobar también el resultado mediante el teorema de conservación del signo. Puesto que \(x^2-5\to-1<0\), la función \(x^2-5\) es negativa para todo \(x\) suficientemente próximo a \(2\). En tal entorno,
\[ |x^2-5|=-(x^2-5)=5-x^2. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to 2}|x^2-5| = \lim_{x\to 2}(5-x^2) = 5-4 = 1. \]
El límite pedido es, pues,
\[ 1. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite por la derecha
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x(1+x)}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x(1+x)}=0. \]
Resolución
Antes de aplicar los teoremas sobre límites, debemos comprobar el dominio de la raíz cuadrada. Es necesario que
\[ x(1+x)\geq 0. \]
Para \(x\) positivo y suficientemente próximo a \(0\), ambos factores \(x\) y \(1+x\) son positivos. La expresión bajo la raíz es, por tanto, no negativa, y la función está definida.
Calculemos ahora el límite del radicando. Cuando \(x\to 0^+\),
\[ x\to 0 \qquad\text{y}\qquad 1+x\to 1. \]
Aplicando el teorema del producto,
\[ x(1+x)\to 0\cdot 1=0. \]
La función raíz cuadrada es continua en \(0\) dentro de su dominio. Podemos, por tanto, introducir el límite dentro de la raíz:
\[ \lim_{x\to 0^+}\sqrt{x(1+x)} = \sqrt{\lim_{x\to 0^+}x(1+x)} = \sqrt{0} = 0. \]
Por lo tanto,
\[ 0. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to-3}\sqrt[3]{2x+5}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-3}\sqrt[3]{2x+5}=-1. \]
Resolución
La raíz cúbica tiene índice impar y, por tanto, está definida para todo número real. No es necesario imponer ninguna condición de no negatividad sobre el radicando.
Calculemos el límite de la expresión interna:
\[ \lim_{x\to-3}(2x+5) = 2(-3)+5 = -6+5 = -1. \]
La función
\[ \varphi(t)=\sqrt[3]{t} \]
es continua en todo \(\mathbb{R}\). Podemos, por tanto, aplicar el teorema de la función compuesta:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to-3}\sqrt[3]{2x+5} &= \sqrt[3]{\lim_{x\to-3}(2x+5)}\\ &= \sqrt[3]{-1}\\ &=-1. \end{aligned} \]
El resultado es
\[ -1. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{x^2+1}{x+1}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{x^2+1}{x+1}\right)=\cos(1). \]
Resolución
La expresión es una función compuesta. La función interna es
\[ f(x)=\frac{x^2+1}{x+1}, \]
mientras que la función externa es
\[ \varphi(t)=\cos(t). \]
Calculemos en primer lugar el límite de la función interna.
El numerador tiende a
\[ \lim_{x\to 0}(x^2+1)=0^2+1=1. \]
El denominador tiende a
\[ \lim_{x\to 0}(x+1)=1. \]
Puesto que el límite del denominador es distinto de cero, podemos aplicar el teorema del cociente:
\[ \lim_{x\to 0}\frac{x^2+1}{x+1} = \frac{1}{1} = 1. \]
La función coseno es continua en todo punto real. Aplicando el teorema de la función compuesta,
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}\cos\left(\frac{x^2+1}{x+1}\right) &= \cos\left( \lim_{x\to 0}\frac{x^2+1}{x+1} \right)\\ &=\cos(1). \end{aligned} \]
Por lo tanto, el límite pedido es
\[ \cos(1). \]
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3}=6. \]
Resolución
Si sustituimos directamente \(x=3\), el numerador y el denominador se anulan simultáneamente:
\[ \frac{3^2-9}{3-3} = \frac{0}{0}. \]
La expresión \(\displaystyle\frac{0}{0}\) es una forma indeterminada. No representa el valor del límite, sino que indica únicamente que el teorema del cociente no puede aplicarse de manera directa.
Debemos transformar la expresión. El numerador es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-9=x^2-3^2=(x-3)(x+3). \]
Para \(x\neq 3\), podemos entonces escribir
\[ \frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3. \]
Esta simplificación es lícita en el cálculo del límite, ya que se consideran valores de \(x\) próximos a \(3\), pero distintos de \(3\).
Las dos funciones
\[ \frac{x^2-9}{x-3} \qquad\text{y}\qquad x+3 \]
coinciden, en efecto, en todo punto del dominio con \(x\neq 3\). Tienen, por tanto, el mismo límite cuando \(x\to 3\).
Obtenemos
\[ \lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 3+3 = 6. \]
Por lo tanto,
\[ 6. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1} = \frac{3}{2}. \]
Resolución
La sustitución directa proporciona
\[ \frac{1^3-1}{1^2-1} = \frac{0}{0}. \]
Nos encontramos, pues, ante una forma indeterminada. Busquemos un factor común entre el numerador y el denominador.
El numerador es una diferencia de cubos:
\[ x^3-1^3=(x-1)(x^2+x+1). \]
El denominador es una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-1^2=(x-1)(x+1). \]
Para \(x\neq 1\), podemos entonces simplificar el factor \(x-1\):
\[ \begin{aligned} \frac{x^3-1}{x^2-1} &= \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)}\\ &= \frac{x^2+x+1}{x+1}. \end{aligned} \]
En la nueva expresión, el denominador tiende a
\[ 1+1=2\neq 0. \]
Podemos, por tanto, aplicar el teorema del cociente:
\[ \begin{aligned} \lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1} &= \lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1}\\ &= \frac{1^2+1+1}{1+1}\\ &= \frac{3}{2}. \end{aligned} \]
El resultado es
\[ \frac{3}{2}. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \frac{1}{2}. \]
Resolución
Para \(x\) suficientemente próximo a \(0\), se tiene \(1+x>0\), por lo que la raíz cuadrada está definida.
Sustituyendo directamente \(x=0\), obtenemos
\[ \frac{\sqrt{1+0}-1}{0} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}. \]
La forma es indeterminada. La presencia de una diferencia que contiene una raíz cuadrada sugiere racionalizar el numerador.
Multipliquemos el numerador y el denominador por la expresión conjugada \(\sqrt{1+x}+1\):
\[ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}. \]
En el numerador utilizamos el producto de una suma por una diferencia:
\[ \bigl(\sqrt{1+x}-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+x}+1\bigr) = (1+x)-1 = x. \]
Por lo tanto, para \(x\neq 0\),
\[ \begin{aligned} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} &= \frac{x}{x\bigl(\sqrt{1+x}+1\bigr)}\\ &= \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}. \end{aligned} \]
La nueva expresión ya no presenta ninguna forma indeterminada. En efecto, el denominador tiende a
\[ \sqrt{1+0}+1=2. \]
Aplicando el teorema del cociente,
\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{2}. \]
Por lo tanto,
\[ \frac{1}{2}. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Estudiar el límite
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x-2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty, \qquad \lim_{x\to 2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty. \]
Por lo tanto, el límite cuando \(x\to 2\) no existe, ni siquiera en sentido ampliado.
Resolución
El numerador tiende a
\[ \lim_{x\to 2}(x+1)=3, \]
mientras que el denominador tiende a
\[ \lim_{x\to 2}(x-2)=0. \]
No podemos aplicar el teorema del cociente, puesto que el límite del denominador es cero.
Dado que el numerador tiende al número positivo \(3\), por el teorema de conservación del signo resulta positivo para todo \(x\) suficientemente próximo a \(2\).
El signo del cociente depende, por tanto, del signo del denominador \(x-2\).
Consideremos en primer lugar el límite por la izquierda. Cuando \(x\to 2^-\), se tiene \(x<2\), luego
\[ x-2<0. \]
Además, el denominador se aproxima a cero a través de valores negativos:
\[ x-2\to 0^-. \]
El cociente entre una cantidad positiva próxima a \(3\) y una cantidad negativa de valor absoluto arbitrariamente pequeño toma valores negativos de módulo arbitrariamente grande. Por lo tanto,
\[ \lim_{x\to 2^-}\frac{x+1}{x-2}=-\infty. \]
Consideremos ahora el límite por la derecha. Cuando \(x\to 2^+\), se tiene \(x>2\), luego
\[ x-2>0 \]
y
\[ x-2\to 0^+. \]
El cociente entre una cantidad positiva próxima a \(3\) y una cantidad positiva que tiende a cero se hace arbitrariamente grande. De ahí se sigue
\[ \lim_{x\to 2^+}\frac{x+1}{x-2}=+\infty. \]
Puesto que el límite por la izquierda y el límite por la derecha son distintos, el límite bilateral no existe:
\[ \lim_{x\to 2}\frac{x+1}{x-2}\text{ no existe}. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}x\cdot\frac{1}{x+1}=1. \]
Resolución
Cuando \(x\to+\infty\), el primer factor tiende a \(+\infty\):
\[ x\to+\infty. \]
El segundo factor, en cambio, tiende a cero:
\[ \frac{1}{x+1}\to 0. \]
El producto presenta, por tanto, la forma indeterminada
\[ \infty\cdot 0. \]
No podemos concluir que el resultado sea cero o infinito. Debemos transformar la expresión.
Escribamos el producto como un único cociente:
\[ x\cdot\frac{1}{x+1} = \frac{x}{x+1}. \]
El numerador y el denominador tienden ambos a \(+\infty\), por lo que aparece la forma indeterminada \(\displaystyle\frac{\infty}{\infty}\).
Dividamos el numerador y el denominador entre \(x\), que es distinto de cero para todo \(x\) suficientemente grande:
\[ \frac{x}{x+1} = \frac{\displaystyle\frac{x}{x}} {\displaystyle\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{x}}. \]
Ahora bien,
\[ \frac{1}{x}\to 0. \]
El denominador de la nueva expresión tiende, por tanto, a
\[ 1+0=1, \]
que es distinto de cero. Podemos aplicar el teorema del cociente:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{x}} = \frac{1}{1} = 1. \]
Por lo tanto,
\[ 1. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+4x}-x\right)=2. \]
Resolución
Cuando \(x\to+\infty\), tenemos
\[ x^2+4x\to+\infty, \]
y por tanto
\[ \sqrt{x^2+4x}\to+\infty. \]
El segundo término también tiende a \(+\infty\). La diferencia presenta, pues, la forma indeterminada
\[ \infty-\infty. \]
Para eliminar la diferencia entre la raíz y \(x\), multipliquemos y dividamos por la expresión conjugada:
\[ \sqrt{x^2+4x}+x. \]
Obtenemos
\[ \sqrt{x^2+4x}-x = \frac{\bigl(\sqrt{x^2+4x}-x\bigr)\bigl(\sqrt{x^2+4x}+x\bigr)} {\sqrt{x^2+4x}+x}. \]
En el numerador aparece una diferencia de cuadrados:
\[ \bigl(\sqrt{x^2+4x}\bigr)^2-x^2 = x^2+4x-x^2 = 4x. \]
Por lo tanto,
\[ \sqrt{x^2+4x}-x = \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x}. \]
Puesto que \(x\to+\infty\), para todo \(x\) suficientemente grande resulta \(x>0\). Podemos entonces extraer \(x^2\) de dentro de la raíz:
\[ \sqrt{x^2+4x} = \sqrt{x^2\left(1+\frac{4}{x}\right)} = x\sqrt{1+\frac{4}{x}}. \]
Conviene observar que, en general, \(\sqrt{x^2}=|x|\). En este caso, sin embargo, \(x\) es positivo para valores suficientemente grandes, por lo que \(|x|=x\).
Sustituyendo,
\[ \frac{4x}{\sqrt{x^2+4x}+x} = \frac{4x}{x\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}}+x}. \]
Extraigamos \(x\) como factor común en el denominador:
\[ \frac{4x}{x\left(\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}}+1\right)} = \frac{4}{\sqrt{1+\displaystyle\frac{4}{x}}+1}. \]
Puesto que
\[ \frac{4}{x}\to 0, \]
se sigue
\[ \sqrt{1+\frac{4}{x}}\to 1. \]
El límite se convierte entonces en
\[ \frac{4}{1+1} = \frac{4}{2} = 2. \]
Por lo tanto,
\[ 2. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(-2x^5+3x^2-1\right). \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(-2x^5+3x^2-1\right)=+\infty. \]
Resolución
El polinomio contiene términos que, considerados por separado, presentan comportamientos distintos:
\[ -2x^5\to+\infty, \qquad 3x^2\to+\infty, \qquad -1\to-1. \]
El resultado puede determinarse observando que el comportamiento de un polinomio en el infinito viene gobernado por el término de mayor grado.
El término dominante es
\[ -2x^5. \]
Para dar rigor a la comparación, saquemos \(x^5\) como factor común:
\[ -2x^5+3x^2-1 = x^5\left(-2+\frac{3}{x^3}-\frac{1}{x^5}\right). \]
Cuando \(x\to-\infty\), la potencia \(x^5\), al tener exponente impar, tiende a \(-\infty\):
\[ x^5\to-\infty. \]
Además,
\[ \frac{3}{x^3}\to 0 \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^5}\to 0. \]
Por lo tanto, el segundo factor tiende a
\[ -2+0-0=-2. \]
Este límite es negativo y distinto de cero. Por el teorema de conservación del signo, el factor entre paréntesis es negativo para todo \(x\) suficientemente negativo.
El producto está formado, así, por una cantidad negativa de valor absoluto arbitrariamente grande y por una cantidad negativa próxima a \(-2\). El producto es positivo y se hace arbitrariamente grande:
\[ (-\infty)\cdot(-2)=+\infty. \]
Esta escritura es una abreviatura del correspondiente resultado sobre límites. Concluimos que
\[ +\infty. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Calcular
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2-1}{x^4+2}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2-1}{x^4+2}=0, \qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{3x^2-1}{x^4+2}=0. \]
Resolución
El numerador es un polinomio de grado \(2\), mientras que el denominador es un polinomio de grado \(4\).
Cuando \(x\to+\infty\) y cuando \(x\to-\infty\), tanto el numerador como el denominador tienden a \(+\infty\). La sustitución simbólica produce, por tanto, la forma indeterminada
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Puesto que el grado del denominador es mayor que el del numerador, cabe esperar que el denominador crezca más rápidamente y que el cociente tienda a cero.
Dividamos el numerador y el denominador entre \(x^4\), la potencia de mayor grado presente en el denominador:
\[ \frac{3x^2-1}{x^4+2} = \frac{\displaystyle\frac{3x^2}{x^4}-\displaystyle\frac{1}{x^4}} {\displaystyle\frac{x^4}{x^4}+\displaystyle\frac{2}{x^4}}. \]
Simplificando las potencias,
\[ \frac{3x^2-1}{x^4+2} = \frac{\displaystyle\frac{3}{x^2}-\displaystyle\frac{1}{x^4}} {1+\displaystyle\frac{2}{x^4}}. \]
Cuando \(x\to+\infty\) y cuando \(x\to-\infty\),
\[ \frac{1}{x^2}\to 0 \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^4}\to 0. \]
El numerador de la nueva fracción tiende, por tanto, a
\[ 3\cdot 0-0=0, \]
mientras que el denominador tiende a
\[ 1+0=1. \]
Puesto que el límite del denominador es distinto de cero, podemos aplicar el teorema del cociente:
\[ \lim_{x\to\pm\infty}\frac{3x^2-1}{x^4+2} = \frac{0}{1} = 0. \]
Por lo tanto, en ambas direcciones,
\[ 0. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x+1}{4x^3+5}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x+1}{4x^3+5} = \frac{1}{2}. \]
Resolución
El numerador y el denominador son polinomios del mismo grado, es decir, de grado \(3\).
Cuando \(x\to-\infty\),
\[ 2x^3-x+1\to-\infty \]
y
\[ 4x^3+5\to-\infty. \]
El cociente presenta, por tanto, la forma indeterminada
\[ \frac{\infty}{\infty}. \]
Dividamos todos los términos entre \(x^3\), la potencia correspondiente al grado máximo:
\[ \frac{2x^3-x+1}{4x^3+5} = \frac{\displaystyle\frac{2x^3}{x^3} -\displaystyle\frac{x}{x^3} +\displaystyle\frac{1}{x^3}} {\displaystyle\frac{4x^3}{x^3} +\displaystyle\frac{5}{x^3}}. \]
Simplificando,
\[ \frac{2x^3-x+1}{4x^3+5} = \frac{2-\displaystyle\frac{1}{x^2} +\displaystyle\frac{1}{x^3}} {4+\displaystyle\frac{5}{x^3}}. \]
Cuando \(x\to-\infty\),
\[ \frac{1}{x^2}\to 0 \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^3}\to 0. \]
El numerador tiende, por tanto, a
\[ 2-0+0=2, \]
mientras que el denominador tiende a
\[ 4+0=4. \]
El límite del denominador es distinto de cero. Aplicando el teorema del cociente,
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3-x+1}{4x^3+5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. \]
El resultado coincide con el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado:
\[ \frac{2}{4}=\frac{1}{2}. \]
Por lo tanto,
\[ \frac{1}{2}. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^4+1}{-2x^2+3}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^4+1}{-2x^2+3} = -\infty. \]
Resolución
El numerador es un polinomio de grado \(4\), mientras que el denominador es un polinomio de grado \(2\).
Cuando \(x\to-\infty\), ambas potencias \(x^4\) y \(x^2\) tienden a \(+\infty\). De ahí se sigue
\[ x^4+1\to+\infty \]
y
\[ -2x^2+3\to-\infty. \]
Para determinar de manera rigurosa el comportamiento del cociente, dividamos el numerador y el denominador entre \(x^2\):
\[ \frac{x^4+1}{-2x^2+3} = \frac{\displaystyle\frac{x^4}{x^2} +\displaystyle\frac{1}{x^2}} {\displaystyle\frac{-2x^2}{x^2} +\displaystyle\frac{3}{x^2}}. \]
Simplificando,
\[ \frac{x^4+1}{-2x^2+3} = \frac{x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}} {-2+\displaystyle\frac{3}{x^2}}. \]
Cuando \(x\to-\infty\),
\[ x^2\to+\infty \qquad\text{y}\qquad \frac{1}{x^2}\to 0. \]
El numerador tiende, por tanto, a \(+\infty\):
\[ x^2+\frac{1}{x^2}\to+\infty. \]
El denominador, en cambio, tiende al número negativo
\[ -2+0=-2. \]
Por el teorema de conservación del signo, el denominador es negativo y permanece alejado de cero para todo \(x\) suficientemente negativo.
Al dividir una cantidad positiva de tamaño arbitrariamente grande entre una cantidad negativa próxima a \(-2\), se obtiene una cantidad negativa de valor absoluto arbitrariamente grande.
Por lo tanto,
\[ -\infty. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Calcular el límite
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\ln(x)}}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac{1}{\ln(x)}}=e. \]
Resolución
La función está definida para \(x>0\) y \(x\neq 1\), puesto que el logaritmo neperiano exige \(x>0\) y el denominador del exponente no puede anularse.
Cuando \(x\to+\infty\), la base tiende a \(+\infty\):
\[ x\to+\infty. \]
Puesto que
\[ \ln(x)\to+\infty, \]
el exponente tiende a cero:
\[ \frac{1}{\ln(x)}\to 0. \]
La potencia presenta, por tanto, la forma indeterminada
\[ \infty^0. \]
No debemos, sin embargo, tratar de atribuir un valor a la forma simbólica en sí misma. En este caso, la expresión puede simplificarse de manera exacta empleando la relación entre la función exponencial y el logaritmo neperiano.
Para todo \(x>0\),
\[ x=e^{\ln(x)}. \]
Por lo tanto, para \(x>1\),
\[ x^{\frac{1}{\ln(x)}} = \left(e^{\ln(x)}\right)^{\frac{1}{\ln(x)}}. \]
Aplicando la propiedad \((a^b)^c=a^{bc}\), lícita en este caso porque la base \(e\) es positiva, obtenemos
\[ \left(e^{\ln(x)}\right)^{\frac{1}{\ln(x)}} = e^{\ln(x)\cdot\frac{1}{\ln(x)}}. \]
Puesto que \(x\neq 1\), resulta \(\ln(x)\neq 0\), luego
\[ \ln(x)\cdot\frac{1}{\ln(x)}=1. \]
De ahí se sigue que, para todo \(x>1\),
\[ x^{\frac{1}{\ln(x)}}=e. \]
La función es, por tanto, constante e igual a \(e\) en todo el intervalo \((1,+\infty)\). Su límite es, en consecuencia,
\[ e. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Estudiar el límite
\[ \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)^2(x+2)} {(x-1)^3(2-x)}. \]
Resultado
\[ \lim_{x\to 1^-} \frac{(x-1)^2(x+2)} {(x-1)^3(2-x)} = -\infty, \]
\[ \lim_{x\to 1^+} \frac{(x-1)^2(x+2)} {(x-1)^3(2-x)} = +\infty. \]
Por lo tanto, el límite cuando \(x\to 1\) no existe, ni siquiera en sentido ampliado.
Resolución
Sustituyendo directamente \(x=1\), el numerador y el denominador tienden ambos a cero:
\[ (x-1)^2(x+2)\to 0 \]
y
\[ (x-1)^3(2-x)\to 0. \]
La forma inicial es, por tanto,
\[ \frac{0}{0}. \]
El factor \(x-1\) aparece tanto en el numerador como en el denominador, pero con multiplicidades distintas. En el numerador tiene exponente \(2\), mientras que en el denominador tiene exponente \(3\).
Para \(x\neq 1\), podemos simplificar el factor común \((x-1)^2\):
\[ \begin{aligned} \frac{(x-1)^2(x+2)} {(x-1)^3(2-x)} &= \frac{(x-1)^2(x+2)} {(x-1)^2(x-1)(2-x)}\\ &= \frac{x+2}{(x-1)(2-x)}. \end{aligned} \]
Tras la simplificación queda un factor \(x-1\) en el denominador. Esto indica que el valor absoluto del cociente tenderá a infinito, si bien para determinar su signo debemos estudiar por separado los factores.
Cuando \(x\to 1\),
\[ x+2\to 3. \]
Puesto que \(3>0\), por el teorema de conservación del signo el factor \(x+2\) es positivo en un entorno adecuado de \(1\).
Además,
\[ 2-x\to 1. \]
Este límite también es positivo, por lo que \(2-x\) es positivo para todo \(x\) suficientemente próximo a \(1\).
El único factor que cambia de signo al atravesar \(x=1\) es, por tanto, \(x-1\).
Consideremos el límite por la izquierda. Si \(x\to 1^-\), entonces \(x<1\), por lo que
\[ x-1<0 \]
y
\[ x-1\to 0^-. \]
El numerador \(x+2\) es positivo. En el denominador, el factor \(x-1\) es negativo, mientras que el factor \(2-x\) es positivo. El denominador es, por tanto, negativo y tiende a cero.
De ahí se sigue
\[ \lim_{x\to 1^-} \frac{x+2}{(x-1)(2-x)} = -\infty. \]
Consideremos ahora el límite por la derecha. Si \(x\to 1^+\), entonces \(x>1\), por lo que
\[ x-1>0 \]
y
\[ x-1\to 0^+. \]
Todos los factores \(x+2\), \(x-1\) y \(2-x\) son positivos para \(x\) suficientemente próximo a \(1\) por la derecha. El denominador tiende a cero a través de valores positivos.
Por lo tanto,
\[ \lim_{x\to 1^+} \frac{x+2}{(x-1)(2-x)} = +\infty. \]
Los dos límites laterales son distintos:
\[ -\infty\neq+\infty. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{x\to 1} \frac{(x-1)^2(x+2)} {(x-1)^3(2-x)} \text{ no existe}. \]