En esta colección proponemos 20 ejercicios resueltos sobre las operaciones con límites de sucesiones. Los ejercicios muestran cómo aplicar correctamente las reglas para la suma, la diferencia, el producto y el cociente, prestando especial atención a las hipótesis de los teoremas y a las formas indeterminadas.
La idea fundamental es la siguiente: si dos sucesiones convergen a límites finitos, entonces, bajo las hipótesis adecuadas, el límite de la sucesión obtenida mediante una operación algebraica se calcula aplicando esa misma operación a los límites.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=1. \]
Resolución
La sucesión es la suma de dos sucesiones:
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{y}\qquad \frac{n}{n+1}. \]
Calculamos por separado los dos límites.
Se tiene
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Además,
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{n+1}\to0, \]
se sigue que
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Podemos entonces aplicar la regla del límite de una suma:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right) = \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n} + \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}\right)=0+1=1. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=-1. \]
Resolución
Consideramos las dos sucesiones
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \qquad\text{y}\qquad b_n=3-\frac{2}{n}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
obtenemos
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
Análogamente, puesto que
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
se tiene
\[ b_n=3-\frac{2}{n}\to3. \]
Aplicamos ahora la regla del límite de una diferencia:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}a_n-\lim_{n\to+\infty}b_n. \]
Así pues,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left[\left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(3-\frac{2}{n}\right)\right]=2-3=-1. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=6. \]
Resolución
La sucesión es el producto de dos sucesiones:
\[ a_n=2+\frac{1}{n}, \qquad b_n=3-\frac{1}{n}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
tenemos
\[ a_n=2+\frac{1}{n}\to2. \]
Además,
\[ b_n=3-\frac{1}{n}\to3. \]
Podemos aplicar la regla del límite de un producto, ya que ambas sucesiones tienen límite finito:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n) = \left(\lim_{n\to+\infty}a_n\right) \left(\lim_{n\to+\infty}b_n\right). \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)\left(3-\frac{1}{n}\right)=2\cdot3=6. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac25. \]
Resolución
Estudiamos por separado el numerador y el denominador.
Para el numerador:
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
Para el denominador:
\[ 5-\frac{3}{n}\to5. \]
El límite del denominador es \(5\), por lo que es distinto de \(0\). Podemos, pues, aplicar la regla del límite de un cociente.
Obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{5-\displaystyle \frac{3}{n}} = \frac{\lim_{n\to+\infty}\left(2+\displaystyle \frac{1}{n}\right)} {\lim_{n\to+\infty}\left(5-\displaystyle \frac{3}{n}\right)} = \frac25. \]
La condición sobre el denominador es esencial: aquí se cumple, porque el límite del denominador es \(5\neq0\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{3n+1}{n}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Resolución
Descomponemos la fracción:
\[ \frac{3n+1}{n} = \frac{3n}{n}+\frac{1}{n}. \]
Por tanto,
\[ \frac{3n+1}{n}=3+\frac{1}{n}. \]
Usamos ahora las operaciones con límites. La sucesión constante \(3\) tiende a \(3\), mientras que
\[ \frac{1}{n}\to0. \]
Por la regla del límite de una suma obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3+\frac{1}{n}\right) = 3+0=3. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n}=3. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{4n-5}{2n+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Resolución
El numerador y el denominador son polinomios de primer grado en \(n\). Dividimos ambos entre \(n\):
\[ \frac{4n-5}{2n+1} = \frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Calculamos ahora el límite del numerador:
\[ 4-\frac{5}{n}\to4. \]
Calculamos el límite del denominador:
\[ 2+\frac{1}{n}\to2. \]
El límite del denominador es \(2\), luego es distinto de \(0\). Podemos aplicar el teorema del límite de un cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-\displaystyle \frac{5}{n}}{2+\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{4}{2}=2. \]
Así pues,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4n-5}{2n+1}=2. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right)=2. \]
Resolución
La sucesión es el producto de dos sucesiones:
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \qquad\text{y}\qquad b_n=\frac{2n+3}{n}. \]
Para la primera sucesión:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Para la segunda:
\[ \frac{2n+3}{n}=2+\frac{3}{n}\to2. \]
Ambas tienen límite finito. Podemos entonces aplicar la regla del límite de un producto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)\left(\frac{2n+3}{n}\right) = 1\cdot2=2. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\left(\frac{n+1}{n}\right)^2. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2=1. \]
Resolución
Reescribimos la base de la potencia:
\[ \frac{n+1}{n}=1+\frac1n. \]
Puesto que
\[ \frac1n\to0, \]
obtenemos
\[ 1+\frac1n\to1. \]
La sucesión dada es
\[ \left(1+\frac1n\right)^2 = \left(1+\frac1n\right)\left(1+\frac1n\right). \]
Aplicamos la regla del límite de un producto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac1n\right)^2 = 1\cdot1=1. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac34. \]
Resolución
Estudiamos el numerador y el denominador.
El numerador es
\[ \frac{2}{n}+3. \]
Puesto que
\[ \frac{2}{n}\to0, \]
se tiene
\[ \frac{2}{n}+3\to3. \]
El denominador es
\[ 4-\frac{1}{n}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{n}\to0, \]
se tiene
\[ 4-\frac{1}{n}\to4. \]
El límite del denominador es distinto de \(0\). Por tanto, podemos aplicar la regla del límite de un cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{2}{n}+3}{4-\displaystyle \frac{1}{n}}=\frac{3}{4}. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-5}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Resolución
El numerador y el denominador son polinomios del mismo grado, a saber, de grado \(2\).
Dividimos el numerador y el denominador entre \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-5} = \frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}. \]
Calculamos los límites de cada parte:
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{y}\qquad \frac5{n^2}\to0. \]
Así, el numerador tiende a
\[ 1+0=1, \]
mientras que el denominador tiende a
\[ 2-0=2. \]
Puesto que el límite del denominador es \(2\neq0\), podemos aplicar la regla del límite de un cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1+\displaystyle \frac3n}{2-\displaystyle \frac5{n^2}}=\frac12. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-5}=\frac12. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Resolución
Dividimos el numerador y el denominador entre \(n^2\), es decir, entre la mayor potencia de \(n\) que aparece:
\[ \frac{2n^2-n+1}{n^2+4} = \frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}}. \]
Observamos ahora que
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{y}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Así, el numerador tiende a
\[ 2-0+0=2, \]
y el denominador tiende a
\[ 1+0=1. \]
Puesto que el límite del denominador es \(1\neq0\), aplicamos la regla del límite de un cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2-\displaystyle \frac1n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac4{n^2}} = \frac21=2. \]
Así pues,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2-n+1}{n^2+4}=2. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{3n+1}{n^2+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Resolución
El denominador tiene grado mayor que el numerador. Dividimos el numerador y el denominador entre \(n^2\):
\[ \frac{3n+1}{n^2+1} = \frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Ahora bien,
\[ \frac3n\to0, \qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Así, el numerador tiende a
\[ 0+0=0, \]
mientras que el denominador tiende a
\[ 1+0=1. \]
Puesto que el límite del denominador es distinto de \(0\), podemos aplicar la regla del cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac3n+\displaystyle \frac1{n^2}}{1+\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac{0}{1}=0. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n+1}{n^2+1}=0. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{n^3+2n}{n^2+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+2n}{n^2+1}=+\infty. \]
Resolución
El numerador tiene grado \(3\), mientras que el denominador tiene grado \(2\). Cabe esperar, pues, que el cociente crezca sin cota.
Dividimos el numerador y el denominador entre \(n^2\):
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1} = \frac{n+\displaystyle \frac2n}{1+\displaystyle \frac1{n^2}}. \]
Cuando \(n\to+\infty\), el numerador
\[ n+\frac2n \]
tiende a \(+\infty\), porque el término \(n\) crece sin cota.
El denominador, en cambio, tiende a
\[ 1+0=1. \]
Por tanto, el cociente tiende a \(+\infty\).
Podemos también dar una cota inferior. Para \(n\geq1\), se tiene
\[ n^2+1\leq2n^2 \]
y
\[ n^3+2n\geq n^3. \]
Por consiguiente,
\[ \frac{n^3+2n}{n^2+1}\geq \frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Puesto que
\[ \frac n2\to+\infty, \]
la sucesión dada tiende también a \(+\infty\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0. \]
Resolución
La sucesión es un producto:
\[ \frac{1}{n} \qquad\text{y}\qquad 4-\frac{3}{n}. \]
El primer factor tiende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
El segundo factor tiende a \(4\), porque
\[ \frac3n\to0. \]
Por tanto,
\[ 4-\frac3n\to4. \]
Podemos aplicar la regla del límite de un producto:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\left(4-\frac{3}{n}\right)=0\cdot4=0. \]
En este caso no hay forma indeterminada: el segundo factor tiende a un número finito, no a \(+\infty\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1}=0. \]
Resolución
Estudiamos el numerador y el denominador.
El numerador es
\[ \frac1n, \]
por lo que tiende a \(0\).
El denominador es
\[ \frac1n+1, \]
y tiende a
\[ 0+1=1. \]
El límite del denominador es \(1\), luego es distinto de \(0\). Podemos, pues, aplicar la regla del límite de un cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}+1} = \frac{0}{1}=0. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Resolución
El numerador tiende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
El denominador también tiende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
Por tanto, no podemos aplicar directamente el teorema del límite de un cociente, ya que la hipótesis requerida es que el límite del denominador sea distinto de \(0\).
La expresión es del tipo
\[ \frac{0}{0}, \]
es decir, una forma indeterminada.
No obstante, podemos simplificar la sucesión. Para todo entero positivo \(n\), se tiene
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1n}=1. \]
Así pues, la sucesión es constante e igual a \(1\).
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1. \]
Este ejercicio muestra que una forma \(\displaystyle \frac{0}{0}\) no determina automáticamente el límite: hay que estudiar la expresión.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Resolución
El numerador tiende a \(0\):
\[ \frac1n\to0. \]
El denominador también tiende a \(0\):
\[ \frac1{n^2}\to0. \]
Nos encontramos, pues, ante una forma del tipo
\[ \frac{0}{0}. \]
No podemos aplicar directamente la regla del cociente, porque el límite del denominador es \(0\).
Simplificamos la expresión:
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}} = \frac1n\cdot n^2. \]
Por tanto,
\[ \frac{\displaystyle \frac1n}{\displaystyle \frac1{n^2}}=n. \]
Puesto que
\[ n\to+\infty, \]
obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=+\infty. \]
Esto confirma que la forma \(\displaystyle \frac{0}{0}\) es indeterminada: en un ejercicio anterior daba \(1\), mientras que aquí da \(+\infty\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Resolución
También en este caso el numerador y el denominador tienden ambos a \(0\):
\[ \frac1{n^2}\to0 \qquad\text{y}\qquad \frac1n\to0. \]
La expresión es, por tanto, una forma del tipo
\[ \frac{0}{0}. \]
No podemos aplicar directamente la regla del cociente. Debemos simplificar.
Escribimos:
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1{n^2}\cdot n. \]
Por tanto,
\[ \frac{\displaystyle \frac1{n^2}}{\displaystyle \frac1n} = \frac1n. \]
Puesto que
\[ \frac1n\to0, \]
concluimos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=0. \]
Este es un nuevo ejemplo de que la forma \(\frac{0}{0}\) puede dar resultados distintos.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Resolución
La sucesión es
\[ c_n=\sqrt{n^2+n}-n. \]
Observamos que
\[ \sqrt{n^2+n}\to+\infty \qquad\text{y}\qquad n\to+\infty. \]
Así, la expresión es del tipo
\[ +\infty-\infty, \]
es decir, una forma indeterminada. No podemos calcular el límite restando simplemente los límites.
Para eliminar la indeterminación, racionalizamos:
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
En el numerador usamos la diferencia de cuadrados:
\[ (\sqrt{n^2+n})^2-n^2=n^2+n-n^2=n. \]
Por tanto,
\[ \sqrt{n^2+n}-n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}. \]
Ahora sacamos \(n\) factor común dentro de la raíz:
\[ \sqrt{n^2+n}=\sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)}. \]
Puesto que \(n>0\), se tiene
\[ \sqrt{n^2\left(1+\frac1n\right)} = n\sqrt{1+\frac1n}. \]
Así pues,
\[ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{n\sqrt{1+\frac1n}+n}. \]
Sacando \(n\) factor común en el denominador:
\[ \frac{n}{n\left(\sqrt{1+\frac1n}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}. \]
Ahora bien,
\[ \frac1n\to0, \]
de modo que
\[ \sqrt{1+\frac1n}\to\sqrt1=1. \]
Por consiguiente,
\[ \frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}+1}\to\frac{1}{1+1}=\frac12. \]
Concluimos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)=\frac12. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Calcular el límite de la sucesión
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Resultado
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Resolución
Consideramos la sucesión
\[ c_n=n\left(\frac{n+1}{n}-1\right). \]
Si observamos por separado los factores, tenemos
\[ n\to+\infty \]
y
\[ \frac{n+1}{n}-1\to1-1=0. \]
La expresión es, por tanto, del tipo
\[ +\infty\cdot0, \]
es decir, una forma indeterminada. No podemos concluir automáticamente que el límite sea \(0\) o \(+\infty\).
Debemos simplificar la expresión. Calculamos primero el paréntesis:
\[ \frac{n+1}{n}-1 = \frac{n+1}{n}-\frac{n}{n} = \frac{1}{n}. \]
Por tanto,
\[ c_n=n\cdot\frac1n. \]
Así pues,
\[ c_n=1 \]
para todo entero positivo \(n\).
La sucesión es, pues, constante e igual a \(1\). En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}n\left(\frac{n+1}{n}-1\right)=1. \]
Este ejercicio muestra que también la forma \(+\infty\cdot0\) es indeterminada: hay que transformar la expresión antes de calcular el límite.