Las operaciones con los límites de sucesiones permiten calcular el límite de una sucesión obtenida combinando dos sucesiones más sencillas mediante la suma, la diferencia, el producto o el cociente.
La idea fundamental es la siguiente: si dos sucesiones \((a_n)\) y \((b_n)\) tienen límite finito, entonces, bajo hipótesis adecuadas, las sucesiones obtenidas mediante las operaciones algebraicas entre \(a_n\) y \(b_n\) también tienen límite, y dicho límite se calcula operando sobre los límites.
En este artículo consideramos el caso en que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Estudiaremos, por tanto, las operaciones con los límites finitos de sucesiones reales convergentes.
Conviene precisar desde el principio que las reglas algebraicas de los límites no pueden aplicarse de manera automática cuando aparecen formas indeterminadas, como \(+\infty-\infty\), \(0\cdot\infty\), \(\frac{0}{0}\) o \(\frac{\infty}{\infty}\). En estos casos es necesario un estudio específico.
Índice
- Operaciones con los límites de sucesiones
- Límite de la suma
- Límite de la diferencia
- Límite del producto
- Límite del cociente
- Observaciones sobre las formas indeterminadas
- Ejemplos sobre las operaciones con límites
Operaciones con los límites de sucesiones
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales convergentes, es decir, tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A, \qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\).
Bajo estas hipótesis se cumplen las siguientes reglas:
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B, \]
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Además, si \(B\neq0\), entonces \(b_n\neq0\) a partir de un cierto índice y también se cumple
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
La condición \(B\neq0\) en el límite del cociente es esencial. En efecto, si el límite del denominador fuese \(0\), no podría concluirse en general que el cociente tenga límite finito.
Las secciones siguientes demuestran rigurosamente estas propiedades a partir de la definición de límite de una sucesión.
Límite de la suma
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Demostración. Queremos demostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se cumpla
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)|<\varepsilon. \]
Observemos que
\[ (a_n+b_n)-(A+B)=(a_n-A)+(b_n-B). \]
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| = |(a_n-A)+(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
Como \(a_n\to A\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Como \(b_n\to B\), para \(\displaystyle \frac{\varepsilon}{2}>0\) existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2}. \]
Tomamos
\[ N=\max\{N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\), se cumplen ambas desigualdades anteriores. En consecuencia
\[ |(a_n+b_n)-(A+B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Por la definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n+b_n)=A+B. \]
Límite de la diferencia
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n)=A-B. \]
Este resultado se deduce directamente del límite de la suma, observando que
\[ a_n-b_n=a_n+(-b_n). \]
Como \(b_n\to B\), se tiene
\[ -b_n\to -B. \]
Por tanto, aplicando el límite de la suma,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n-b_n) = \lim_{n\to+\infty}\bigl(a_n+(-b_n)\bigr) = A+(-B) = A-B. \]
De manera equivalente, puede demostrarse directamente a partir de la definición de límite. En efecto:
\[ |(a_n-b_n)-(A-B)| = |(a_n-A)-(b_n-B)| \leq |a_n-A|+|b_n-B|. \]
La conclusión se sigue exactamente igual que en el caso de la suma.
Límite del producto
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\). Entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Demostración. Queremos demostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se cumpla
\[ |a_n b_n-AB|<\varepsilon. \]
Escribimos la diferencia en una forma conveniente:
\[ a_n b_n-AB = a_n b_n-A b_n+A b_n-AB. \]
Por tanto
\[ a_n b_n-AB = (a_n-A)b_n+A(b_n-B). \]
Aplicando la desigualdad triangular, obtenemos
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B|. \]
Utilizamos ahora un hecho fundamental: toda sucesión convergente está acotada. Como \(b_n\to B\), existe una constante real positiva \(C\) tal que
\[ |b_n|\leq C \]
para todo \(n\) suficientemente grande.
Para ser explícitos, tomando \(1>0\), de la convergencia \(b_n\to B\) se sigue que existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<1. \]
De donde
\[ |b_n| = |b_n-B+B| \leq |b_n-B|+|B| < |B|+1. \]
Así pues, a partir de un cierto índice,
\[ |b_n|<|B|+1. \]
Fijemos ahora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Tomamos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\), tenemos
\[ |b_n|<|B|+1, \qquad |a_n-A|<\frac{\varepsilon}{2(|B|+1)} \]
y
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)}. \]
Por tanto
\[ |a_n-A|\,|b_n| < \frac{\varepsilon}{2(|B|+1)}(|B|+1) = \frac{\varepsilon}{2}. \]
Además
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon}{2(|A|+1)} = \frac{\varepsilon}{2}. \]
En consecuencia
\[ |a_n b_n-AB| \leq |a_n-A|\,|b_n|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
Por la definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}(a_n b_n)=AB. \]
Límite del cociente
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=A \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=B, \]
con \(A,B\in\mathbb{R}\) y \(B\neq0\). Entonces \(b_n\neq0\) a partir de un cierto índice y se cumple
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Demostración. Como \(b_n\to B\) y \(B\neq0\), podemos elegir la distancia positiva
\[ \frac{|B|}{2}>0. \]
De la convergencia de \((b_n)\) hacia \(B\), existe \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n-B|<\frac{|B|}{2}. \]
De la desigualdad triangular se sigue que
\[ |B| = |B-b_n+b_n| \leq |B-b_n|+|b_n|. \]
Por tanto
\[ |b_n| \geq |B|-|B-b_n| = |B|-|b_n-B|. \]
Por tanto, para todo \(n\geq N_0\),
\[ |b_n| > |B|-\frac{|B|}{2} = \frac{|B|}{2}. \]
En particular, para todo \(n\geq N_0\) se tiene \(b_n\neq0\). Esto muestra que el cociente \(\frac{a_n}{b_n}\) está bien definido a partir de un cierto índice.
Estimamos ahora la diferencia entre el cociente y el límite esperado:
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right|. \]
Reduciendo a común denominador, obtenemos
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| = \left|\frac{B a_n-A b_n}{B b_n}\right|. \]
Sumamos y restamos \(AB\) en el numerador:
\[ B a_n-A b_n = B a_n-AB+AB-A b_n. \]
Por tanto
\[ B a_n-A b_n = B(a_n-A)+A(B-b_n). \]
Aplicando la desigualdad triangular,
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|B-b_n|. \]
Como
\[ |B-b_n|=|b_n-B|, \]
obtenemos
\[ |B a_n-A b_n| \leq |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|. \]
En consecuencia
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{|B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B|}{|B|\,|b_n|}. \]
Para \(n\geq N_0\), sabemos que
\[ |b_n|>\frac{|B|}{2}. \]
Por tanto
\[ |B|\,|b_n| > |B|\cdot\frac{|B|}{2} = \frac{|B|^2}{2}. \]
Por tanto, para todo \(n\geq N_0\),
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| \leq \frac{2}{|B|^2} \left( |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| \right). \]
Fijemos ahora \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to A\), existe \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_1\),
\[ |a_n-A|<\frac{\varepsilon |B|}{4}. \]
Como \(b_n\to B\), existe \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N_2\),
\[ |b_n-B|<\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)}. \]
Tomamos
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\geq N\), se cumplen todas las estimaciones anteriores. En particular,
\[ |B|\,|a_n-A| < |B|\cdot\frac{\varepsilon |B|}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Además
\[ |A|\,|b_n-B| \leq (|A|+1)|b_n-B| < (|A|+1)\frac{\varepsilon |B|^2}{4(|A|+1)} = \frac{\varepsilon |B|^2}{4}. \]
Sumando,
\[ |B|\,|a_n-A|+|A|\,|b_n-B| < \frac{\varepsilon |B|^2}{4} + \frac{\varepsilon |B|^2}{4} = \frac{\varepsilon |B|^2}{2}. \]
Por tanto
\[ \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{A}{B}\right| < \frac{2}{|B|^2}\cdot\frac{\varepsilon |B|^2}{2} = \varepsilon. \]
Por la definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. \]
Observaciones sobre las formas indeterminadas
Las reglas anteriores se han demostrado en el caso en que las sucesiones \((a_n)\) y \((b_n)\) tienen límites reales finitos. En este contexto las operaciones se comportan de manera natural:
\[ a_n\to A,\quad b_n\to B \quad\Longrightarrow\quad a_n+b_n\to A+B, \]
\[ a_n b_n\to AB, \]
y, si \(B\neq0\),
\[ \frac{a_n}{b_n}\to\frac{A}{B}. \]
Sin embargo, hay que prestar atención cuando aparecen límites infinitos o denominadores que tienden a cero. En estos casos no siempre es posible aplicar directamente las reglas algebraicas.
Por ejemplo, expresiones del tipo
\[ +\infty-\infty, \qquad 0\cdot\infty, \qquad \frac{0}{0}, \qquad \frac{+\infty}{+\infty} \]
se denominan formas indeterminadas. El término «indeterminada» significa que conocer únicamente los límites de cada una de las partes no basta para determinar el límite de la expresión global.
Por ejemplo, si \(a_n\to+\infty\) y \(b_n\to+\infty\), el límite de \(a_n-b_n\) no queda determinado de forma automática. Puede ser un número real, puede ser \(+\infty\), puede ser \(-\infty\), o bien puede no existir.
Del mismo modo, si \(a_n\to0\) y \(b_n\to0\), el cociente
\[ \frac{a_n}{b_n} \]
puede presentar comportamientos distintos según las sucesiones consideradas.
Por ejemplo,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), de modo que el límite es \(1\). En cambio,
\[ \frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n^2}}=n, \]
y, por tanto, el límite es \(+\infty\).
Esto muestra que la sola información «numerador que tiende a \(0\)» y «denominador que tiende a \(0\)» no basta para determinar el límite del cociente.
Por este motivo, las reglas sobre las operaciones con límites deben aplicarse solo cuando se cumplen las hipótesis de los teoremas.
Ejemplos sobre las operaciones con límites
Ejemplo 1 (límite de una suma). Consideremos la sucesión
\[ c_n=\frac{1}{n}+\frac{n}{n+1}. \]
Sabemos que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0 \]
y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Por el límite de la suma,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{1}{n}+\frac{n}{n+1} \right) = 0+1 = 1. \]
Ejemplo 2 (límite de una diferencia). Consideremos la sucesión
\[ c_n=\frac{n}{n+1}-\frac{1}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1 \]
y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
por el límite de la diferencia obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \frac{n}{n+1}-\frac{1}{n} \right) = 1-0 = 1. \]
Ejemplo 3 (límite de un producto). Consideremos la sucesión
\[ c_n= \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right). \]
Tenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2 \]
y
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Por el límite del producto,
\[ \lim_{n\to+\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right) \left(3-\frac{1}{n}\right) = 2\cdot3 = 6. \]
Ejemplo 4 (límite de un cociente). Consideremos la sucesión
\[ c_n= \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
El numerador tiende a \(2\); en efecto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
El denominador tiende a \(3\); en efecto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(3-\frac{1}{n}\right)=3. \]
Como el límite del denominador es distinto de cero, podemos aplicar el límite del cociente:
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{3-\displaystyle \frac{1}{n}} = \frac{2}{3}. \]
Ejemplo 5 (atención al cociente con denominador que tiende a cero). Consideremos la sucesión
\[ c_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \frac{1}{n}}. \]
Tanto el numerador como el denominador tienden a \(0\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Sin embargo, no podemos aplicar directamente el teorema sobre el límite del cociente, porque el límite del denominador es \(0\).
En este caso, simplificando, obtenemos
\[ c_n=1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}_{\ge 1}\), de modo que
\[ \lim_{n\to+\infty}c_n=1. \]
Este ejemplo muestra que una forma del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\) debe estudiarse por separado: no es posible determinar su límite aplicando de manera automática la regla del cociente, porque el límite del denominador es igual a \(0\).
En conclusión, las operaciones con límites permiten calcular muchos límites de sucesiones de manera sencilla y rigurosa, siempre que se respeten las hipótesis de los teoremas. En particular, para el límite del cociente es indispensable que el límite del denominador sea distinto de cero.