Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre el producto cartesiano, desarrollados con rigor teórico y especial atención a la comprensión conceptual. Los ejercicios guían al lector desde la construcción de pares ordenados hasta el estudio de subconjuntos, relaciones e interpretaciones geométricas en el plano.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Sean \( A = \{1,2\} \) y \( B = \{a,b\} \). Determinar el producto cartesiano \( A \times B \).
Resultado
\[ A \times B = \{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\} \]
Resolución
Definición formal
\[ A \times B = \{(x,y) \mid x \in A,\ y \in B\} \]
Interpretación
Cada elemento de \(A\) se empareja con todos los elementos de \(B\). El proceso queda completo cuando se han generado todas las combinaciones posibles.
Construcción
Con \(1\):
\[(1,a),(1,b)\]
Con \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Conclusión
El conjunto final es la unión de todos los pares construidos.
Observación
El orden es esencial: \((1,a)\neq(a,1)\).
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Sean \( A = \{0,1\} \) y \( B = \{2,3,4\} \). Determinar \( A \times B \) y su cardinal.
Resultado
\[ A \times B = \{(0,2),(0,3),(0,4),(1,2),(1,3),(1,4)\} \]
\[ |A \times B| = 6 \]
Resolución
Estructura del problema
Cada elemento de \(A\) genera un “bloque” de pares con todos los elementos de \(B\).
Construcción
Con \(0\):
\[(0,2),(0,3),(0,4)\]
Con \(1\):
\[(1,2),(1,3),(1,4)\]
Cardinal
\[ |A \times B| = |A|\cdot|B| = 2\cdot3 = 6 \]
Interpretación
El producto cartesiano genera una estructura “de cuadrícula”: la elección de la primera coordenada es independiente de la segunda.
Ejercicio 3 — nivel ★★☆☆☆
Sean \( A = \{-1,1\} \) y \( B = \{0,2\} \). Determinar \( A \times B \) e interpretarlo en el plano cartesiano.
Resultado
\[ A \times B = \{(-1,0),(-1,2),(1,0),(1,2)\} \]
Resolución
Construcción
Con \(-1\):
\[(-1,0),(-1,2)\]
Con \(1\):
\[(1,0),(1,2)\]
Interpretación geométrica
Los pares se corresponden con puntos del plano. El conjunto está formado por los vértices de un rectángulo.
Observación clave
\[ A \times B \neq B \times A \]
Al intercambiar el orden de los conjuntos se obtienen puntos distintos.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Sean \( A = \{1,2,3\} \) y \( B = \{x\} \). Determinar \( A \times B \).
Resultado
\[ A \times B = \{(1,x),(2,x),(3,x)\} \]
Resolución
Análisis
El conjunto \(B\) consta de un único elemento, lo que fija la segunda coordenada.
Construcción
\[ (1,x),(2,x),(3,x) \]
Interpretación
Todos los pares comparten la misma segunda coordenada.
Cardinal
\[ |A \times B| = 3 \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Sean \( A = \{a,b\} \) y \( B = \varnothing \). Determinar \( A \times B \).
Resultado
\[ A \times B = \varnothing \]
Resolución
Definición
Para construir un par hace falta un elemento \(y \in B\).
Observación
Como \(B\) es vacío, no hay ninguna elección posible.
Conclusión
No existen pares:
\[ A \times B = \varnothing \]
Propiedad general
\[ A \times \varnothing = \varnothing \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Sean \( A = \{1,2,3\} \) y \( B = \{a,b\} \). Determinar el subconjunto de \( A \times B \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x > 1\} \]
Resultado
\[ S = \{(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)\} \]
Resolución
Lectura de la condición
La condición \(x > 1\) selecciona únicamente algunos elementos de \(A\).
Selección
\[ A = \{1,2,3\} \Rightarrow x > 1 \Rightarrow x \in \{2,3\} \]
Construcción
Con \(2\):
\[(2,a),(2,b)\]
Con \(3\):
\[(3,a),(3,b)\]
Interpretación
La restricción actúa solamente sobre la primera coordenada, de modo que se seleccionan “columnas” enteras.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Sean \( A = \{1,2,3\} \) y \( B = \{1,2\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x = y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Resolución
Significado de la condición
La relación \(x = y\) exige que las dos coordenadas coincidan.
Comprobación elemento por elemento
Pares posibles:
\((1,1)\) ✔
\((1,2)\) ✘
\((2,1)\) ✘
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✘
\((3,2)\) ✘
Conclusión
\[ S = \{(1,1),(2,2)\} \]
Observación
El par \((3,3)\) no aparece porque \(3 \notin B\).
Ejercicio 8 — nivel ★★★☆☆
Sea \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ A \times A \]
Resultado
\[ A \times A = \{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Resolución
Estructura
Se trata del producto de un conjunto consigo mismo.
Construcción
Con \(1\):
\[(1,1),(1,2),(1,3)\]
Con \(2\):
\[(2,1),(2,2),(2,3)\]
Con \(3\):
\[(3,1),(3,2),(3,3)\]
Cardinal
\[ |A \times A| = |A|^2 = 3^2 = 9 \]
Interpretación
Se obtiene una cuadrícula cuadrada: cada elemento aparece también emparejado consigo mismo.
Ejercicio 9 — nivel ★★★☆☆
Sean \( A = \{1,2,3\} \) y \( B = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x < y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,3)\} \]
Resolución
Significado de la condición
La relación \(x < y\) retiene únicamente aquellos pares cuya primera coordenada es estrictamente menor que la segunda.
Análisis sistemático
Comprobamos:
\((1,2)\) ✔
\((1,3)\) ✔
\((2,3)\) ✔
los demás pares ✘
Interpretación geométrica
Los puntos seleccionados quedan estrictamente por encima de la diagonal \(x=y\).
Ejercicio 10 — nivel ★★★☆☆
Sean \( A = \{1,2\} \), \( B = \{a,b\} \), \( C = \{0,1\} \). Determinar:
\[ A \times B \times C \]
Resultado
\[ \begin{aligned} A \times B \times C = \{ & (1,a,0),(1,a,1),(1,b,0),(1,b,1), \\ & (2,a,0),(2,a,1),(2,b,0),(2,b,1) \} \end{aligned} \]
Resolución
Definición
\[ A \times B \times C = \{(x,y,z) \mid x \in A,\ y \in B,\ z \in C\} \]
Estrategia
Construimos primero \(A \times B\) y a continuación añadimos la tercera coordenada.
Construcción
Cada par de \(A \times B\) origina dos ternas (con 0 y con 1).
Cardinal
\[ |A \times B \times C| = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \]
Interpretación
Se trata de un producto cartesiano de tres factores: cada elemento es una terna ordenada.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Sean \( A = \{1,2,3\} \) y \( B = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x \ge y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3)\} \]
Resolución
Lectura de la condición
La relación \(x \ge y\) selecciona todos los pares en los que la primera coordenada es mayor o igual que la segunda.
Análisis sistemático
\((1,1)\) ✔
\((2,1)\),\((2,2)\) ✔
\((3,1)\),\((3,2)\),\((3,3)\) ✔
Interpretación geométrica
Se obtiene la parte del plano situada sobre la diagonal o por debajo de ella.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Sean \( A = \{1,2,3,4\} \) y \( B = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times B \mid x + y = 4\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,3),(2,2),(3,1)\} \]
Resolución
Significado de la condición
La relación impone una restricción que vincula ambas coordenadas: su suma debe ser igual a 4.
Comprobación
\((1,3)\) ✔
\((2,2)\) ✔
\((3,1)\) ✔
los demás pares ✘
Interpretación geométrica
Los puntos seleccionados están sobre una recta discreta: \(x + y = 4\).
Ejercicio 13 — nivel ★★★★☆
Sea \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x \neq y\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)\} \]
Resolución
Interpretación
La condición elimina todos los pares con coordenadas iguales.
Construcción
Partimos de \(A \times A\) (con 9 elementos) y descartamos:
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \]
Conclusión
Quedan 6 pares.
Observación
\[ |S| = |A|^2 - |A| = 3^2 - 3 = 6 \]
Conjuntos de este tipo son fundamentales en el estudio de las relaciones.
Ejercicio 14 — nivel ★★★★☆
Sean \( A = \mathbb{N} \), \( B = \mathbb{N} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \mid y = 2x\} \]
Resultado
\[ S = \{(x,2x) \mid x \in \mathbb{N}\} \]
Resolución
Análisis
El conjunto es infinito: contiene todos los pares que satisfacen \(y = 2x\).
Construcción
Para cada \(x \in \mathbb{N}\), existe un único \(y = 2x\).
Interpretación
El conjunto dibuja una recta discreta en el plano cartesiano.
Observación
No es la totalidad de \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \), sino solamente una “línea” situada en su interior.
Ejercicio 15 — nivel ★★★★☆
Determinar el subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2\} \]
Resultado
\[ S = \text{conjunto de los puntos de la parábola } y = x^2 \]
Resolución
Interpretación
El conjunto contiene todos los pares reales que satisfacen la relación \(y = x^2\).
Estructura
No se trata de un conjunto discreto, sino continuo.
Significado geométrico
Representa una parábola en el plano cartesiano.
Observación clave
El producto cartesiano \( \mathbb{R}^2 \) abarca el plano entero, mientras que \(S\) es únicamente una curva contenida en él.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Sea \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid x + y \text{ es par}\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\} \]
Resolución
Análisis de la condición
Una suma es par precisamente cuando:
- par + par
- impar + impar
Clasificación
\(1,3\) son impares — \(2\) es par.
Construcción
\[ (1,1),(1,3),(3,1),(3,3),(2,2) \]
Interpretación
Se obtiene una estructura regular (tipo tablero de ajedrez), fundamental en el estudio de las relaciones.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★★
Sea \( A = \{1,2,3\} \). Determinar si la relación
\[ R = \{(x,y) \in A \times A \mid x \le y\} \]
es reflexiva, simétrica, transitiva.
Resultado
Reflexiva ✔ — Simétrica ✘ — Transitiva ✔
Resolución
Reflexividad
\[ (1,1),(2,2),(3,3) \in R \]
✔ propiedad satisfecha
Simetría
Como \((1,2) \in R\), la simetría exigiría que también \((2,1) \in R\), pero:
\[ 2 \le 1 \text{ es falso} \]
✘ no es simétrica
Transitividad
Si \(x \le y\) e \(y \le z\), entonces \(x \le z\).
✔ propiedad satisfecha
Interpretación
Se trata de la relación de orden natural.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★★
Determinar el subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid xy = 1\} \]
Resultado
\[ S = \text{hipérbola } xy = 1 \]
Resolución
Análisis
La relación vincula las dos variables de manera no lineal.
Construcción
\[ y = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0 \]
Interpretación geométrica
Se obtiene una hipérbola formada por dos ramas.
Observación
El producto cartesiano abarca todo el plano, pero esta relación selecciona una única curva.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Sea \( A = \{1,2,3\} \). Determinar:
\[ S = \{(x,y) \in A \times A \mid |x - y| = 1\} \]
Resultado
\[ S = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\} \]
Resolución
Interpretación
La condición selecciona pares cuya distancia es 1.
Construcción
\((1,2)\),\((2,1)\)
\((2,3)\),\((3,2)\)
Observación
La relación es simétrica.
Interpretación gráfica
Se obtienen dos diagonales paralelas a la principal.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Determinar el subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) definido por:
\[ S = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\} \]
Resultado
\[ S = \text{región situada por encima de la parábola } y = x^2 \text{, parábola incluida} \]
Resolución
Interpretación
Esta relación no selecciona solo una curva, sino toda una región del plano.
Estructura
\[ y \ge x^2 \]
engloba todos los puntos situados por encima de la parábola, junto con los puntos de la propia parábola.
Significado geométrico
Se obtiene una región no acotada y conexa.
Observación final
Este ejemplo pone de manifiesto que un subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \) puede ser indistintamente:
- discreto
- una curva
- una región