Las potencias son una herramienta fundamental del álgebra: permiten escribir de forma compacta productos repetidos y constituyen la base de numerosas transformaciones algebraicas.
En esta página estudiamos las principales propiedades de las potencias, partiendo del caso más sencillo de los exponentes naturales positivos y llegando después a los exponentes cero, negativos y racionales, es decir, exponentes del tipo \(\displaystyle \frac{p}{q}\).
Sea \(a\in\mathbb{R}\) y sea \(n\in\mathbb{N}^*\), donde
\[ \mathbb{N}^*=\{1,2,3,\dots\}. \]
La potencia \(n\)-ésima de \(a\), denotada mediante el símbolo \(a^n\), se define como el producto de \(a\) por sí mismo \(n\) veces:
\[ a^n:=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}}. \]
El número \(a\) recibe el nombre de base de la potencia, mientras que el número \(n\) recibe el nombre de exponente de la potencia.
Por ejemplo,
\[ a^4=a\cdot a\cdot a\cdot a. \]
Índice
- Propiedades de las Potencias con Exponente Natural
- Potencia con Exponente Cero
- Potencias con Exponente Entero Negativo
- Potencias con Exponente Racional
- Ejemplos sobre las Propiedades de las Potencias
Propiedades de las Potencias con Exponente Natural
En esta sección consideramos potencias con exponente natural positivo. Sean \(a,b\in\mathbb{R}\) y sean \(m,n\in\mathbb{N}^*\). Las propiedades de las potencias permiten transformar productos, cocientes y potencias compuestas en formas más sencillas.
Cada propiedad debe aplicarse respetando las condiciones de existencia de las expresiones involucradas. En particular, cuando aparecen cocientes, los denominadores deben ser distintos de cero.
Producto de potencias de la misma base
El producto de dos potencias de la misma base es una potencia que tiene la misma base y, como exponente, la suma de los exponentes:
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n}. \]
En efecto, por definición de potencia,
\[ a^m=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ veces}}, \qquad a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}}. \]
Multiplicando las dos potencias se obtiene un producto formado por \(m+n\) factores, todos ellos iguales a \(a\):
\[ a^m\cdot a^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m+n \text{ veces}} = a^{m+n}. \]
Cociente de potencias de la misma base
Si \(a\neq 0\) y \(m\geq n\), el cociente de dos potencias de la misma base es una potencia que tiene la misma base y, como exponente, la diferencia de los exponentes:
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
La condición \(a\neq 0\) es necesaria porque \(a^n\) aparece en el denominador.
Para justificar la fórmula, escribamos las dos potencias como productos repetidos:
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ veces}}} {\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}}}. \]
Puesto que \(a\neq 0\), podemos simplificar \(n\) factores iguales en el numerador y en el denominador. Quedan \(m-n\) factores iguales a \(a\), luego
\[ \frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{m-n \text{ veces}} = a^{m-n}. \]
El caso \(m<n\) requiere la introducción de los exponentes negativos y se interpretará correctamente en la sección dedicada a ellos.
Potencia de una potencia
La potencia de una potencia es una potencia que tiene la misma base y, como exponente, el producto de los exponentes:
\[ (a^m)^n=a^{mn}. \]
En efecto, elevar \(a^m\) a la potencia \(n\) significa multiplicar \(a^m\) por sí mismo \(n\) veces:
\[ (a^m)^n = \underbrace{a^m\cdot a^m\cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ veces}}. \]
Cada factor \(a^m\) contiene \(m\) factores iguales a \(a\). Repitiendo este bloque \(n\) veces, obtenemos en total \(mn\) factores iguales a \(a\):
\[ (a^m)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{mn \text{ veces}} = a^{mn}. \]
Potencia de un producto
La potencia de un producto es el producto de las potencias de los factores individuales:
\[ (ab)^n=a^n b^n. \]
En efecto,
\[ (ab)^n = \underbrace{(ab)\cdot(ab)\cdot \ldots \cdot(ab)}_{n \text{ veces}}. \]
Usando la propiedad conmutativa y asociativa de la multiplicación entre números reales, podemos agrupar entre sí todos los factores iguales a \(a\) y todos los factores iguales a \(b\):
\[ (ab)^n = \underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}} \cdot \underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ veces}} = a^n b^n. \]
Potencia de un cociente
Si \(b\neq 0\), la potencia de un cociente es el cociente de las potencias del numerador y del denominador:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}. \]
En efecto,
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}\cdot \ldots \cdot\frac{a}{b}}_{n \text{ veces}}. \]
Multiplicando entre sí los numeradores y, por separado, los denominadores, obtenemos
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ veces}}} {\underbrace{b\cdot b\cdot \ldots \cdot b}_{n \text{ veces}}} = \frac{a^n}{b^n}. \]
También en este caso la condición \(b\neq 0\) es esencial, puesto que el cociente \(\displaystyle \frac{a}{b}\) debe estar definido.
Potencia con Exponente Cero
Una vez definidas las potencias con exponente natural positivo, es natural preguntarse si es posible atribuir también un significado a una potencia con exponente cero.
La definición de \(a^0\) no se elige de forma arbitraria: debe ser compatible con las propiedades de las potencias ya establecidas para los exponentes naturales positivos.
Sea \(a\neq 0\). Para todo \(n\in\mathbb{N}^*\), el cociente
\[ \frac{a^n}{a^n} \]
es igual a \(1\), porque el numerador y el denominador son iguales y distintos de cero:
\[ \frac{a^n}{a^n}=1. \]
Por otra parte, si queremos conservar la propiedad del cociente de potencias de la misma base, debemos tener
\[ \frac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0. \]
Comparando las dos igualdades, vemos que, por coherencia, debe ser
\[ a^0=1 \qquad \text{para todo } a\neq 0. \]
La condición \(a\neq 0\) es esencial. En efecto, si \(a=0\), el cociente \(\displaystyle \frac{a^n}{a^n}\) se convierte en \(\displaystyle \frac{0}{0}\), que no está definido.
Por este motivo, en el contexto de las propiedades algebraicas de las potencias, la expresión \(0^0\) no se define.
La definición \(a^0=1\) permite que las propiedades de las potencias sigan siendo válidas incluso cuando aparece el exponente cero. Por ejemplo, si \(a\neq 0\) y \(m\in\mathbb{N}^*\), entonces
\[ a^m\cdot a^0=a^m\cdot 1=a^m=a^{m+0}. \]
Potencias con Exponente Entero Negativo
Una vez introducido el exponente cero, podemos extender aún más la definición de potencia a los exponentes enteros negativos.
También en este caso la definición no es arbitraria: se elige de modo que las propiedades de las potencias sigan siendo válidas incluso cuando los exponentes ya no son solamente naturales.
Sea \(a\neq 0\) y sea \(n\in\mathbb{N}^*\). La potencia de base \(a\) y exponente \(-n\) se define poniendo
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Dicho de otro modo, elevar un número no nulo a un exponente negativo significa tomar el inverso de la potencia con exponente positivo correspondiente.
La condición \(a\neq 0\) es indispensable, porque el inverso de \(a^n\) solo está definido si \(a^n\neq 0\).
La razón de esta definición es la siguiente. Si queremos que la propiedad del producto de potencias de la misma base siga siendo válida, debemos tener
\[ a^n\cdot a^{-n}=a^{n+(-n)}=a^0. \]
Puesto que \(a^0=1\), debe resultar entonces que
\[ a^n\cdot a^{-n}=1. \]
Esto significa precisamente que \(a^{-n}\) debe ser el inverso de \(a^n\), es decir,
\[ a^{-n}=\frac{1}{a^n}. \]
Esta definición permite también interpretar correctamente el cociente de potencias de la misma base en el caso en que el exponente del numerador sea menor que el del denominador.
En efecto, si \(a\neq 0\) y \(m,n\) son enteros no negativos con \(m<n\), entonces \(n-m>0\) y
\[ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}}. \]
Por definición de exponente negativo,
\[ \frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}. \]
Puesto que
\[ -(n-m)=m-n, \]
obtenemos
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}. \]
De este modo la propiedad
\[ \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n} \]
sigue siendo válida incluso cuando \(m<n\), siempre que \(a\neq 0\).
Más en general, si \(a\neq 0\), las propiedades de las potencias se extienden a los exponentes enteros. Por ejemplo, para \(h,k\in\mathbb{Z}\) se tiene
\[ a^h\cdot a^k=a^{h+k}. \]
Potencias con Exponente Racional
Una vez definidas las potencias con exponente entero, podemos extender la noción de potencia también a los exponentes racionales.
En esta sección consideramos principalmente el caso \(a>0\), que es el contexto natural en el que las potencias con exponente racional se comportan de manera regular y conservan todas las propiedades fundamentales de las potencias.
Sea \(a>0\) y sea \(q\in\mathbb{N}^*\). La potencia con exponente \(\displaystyle \frac{1}{q}\) se define poniendo
\[ a^{\frac{1}{q}}=\sqrt[q]{a}. \]
Esta definición es coherente con la propiedad de la potencia de una potencia. En efecto, si queremos que siga siendo válida la igualdad
\[ \left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q=a^{\frac{1}{q}\cdot q}=a, \]
entonces \(a^{\frac{1}{q}}\) debe ser el número positivo que, elevado a la potencia \(q\)-ésima, devuelve \(a\). Por definición, este número es la raíz aritmética \(q\)-ésima de \(a\).
Más en general, si \(p\in\mathbb{Z}\) y \(q\in\mathbb{N}^*\), definimos
\[ a^{\frac{p}{q}}=\left(\sqrt[q]{a}\right)^p. \]
Puesto que \(a>0\), también \(\sqrt[q]{a}>0\), por lo que la expresión está definida incluso cuando \(p\) es negativo.
En el caso \(a>0\), la misma cantidad puede escribirse también en la forma
\[ a^{\frac{p}{q}}=\sqrt[q]{a^p}. \]
En efecto, para bases positivas, las potencias enteras y las raíces aritméticas consideradas están siempre definidas, y las dos escrituras
\[ \left(\sqrt[q]{a}\right)^p \qquad \text{y} \qquad \sqrt[q]{a^p} \]
representan el mismo número.
Por ejemplo,
\[ 16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8. \]
Si el exponente racional es negativo, se utiliza también la definición de potencia con exponente entero negativo:
\[ a^{-\frac{p}{q}}=\frac{1}{a^{\frac{p}{q}}}, \qquad a>0. \]
Por ejemplo,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{8}\right)^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}. \]
Con esta definición, las propiedades de las potencias se extienden a los exponentes racionales. La comprobación se obtiene escribiendo los exponentes racionales como fracciones con denominador común y aplicando las propiedades ya establecidas para las potencias y para las raíces.
En particular, para \(a>0\) y para \(r,s\in\mathbb{Q}\), son válidas las fórmulas
\[ a^r\cdot a^s=a^{r+s}, \qquad \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}, \qquad \left(a^r\right)^s=a^{rs}. \]
La restricción \(a>0\) permite evitar ambigüedades y casos particulares relacionados con bases nulas o negativas. Por ejemplo, si \(a=0\), las potencias con exponente racional positivo pueden definirse en muchos casos, mientras que las de exponente negativo no están definidas. Si, en cambio, \(a<0\), la situación requiere distinciones adicionales y no todas las propiedades siguen siendo válidas sin condiciones suplementarias.
La extensión de las potencias a los exponentes reales requiere herramientas más avanzadas relacionadas con el concepto de límite y se tratará en otro contexto. En esta página nos limitamos a los exponentes naturales, enteros y racionales.
Ejemplos de Aplicación de las Propiedades de las Potencias
Veamos algunos ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias. Los ejemplos sirven para mostrar cómo utilizar las reglas de manera ordenada, distinguiendo las potencias de la misma base, las potencias de productos, las potencias de cocientes y las potencias con exponente negativo o racional.
Ejemplo 1. Simplifiquemos la expresión
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4. \]
Agrupamos las potencias de la misma base y sumamos los exponentes:
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4 = a^{5+3}\cdot b^{2+4} = a^8b^6. \]
Por tanto,
\[ a^5\cdot a^3\cdot b^2\cdot b^4=a^8b^6. \]
Ejemplo 2. Simplifiquemos la expresión
\[ (a^3b^2)^4. \]
Aplicamos primero la propiedad de la potencia de un producto y después la propiedad de la potencia de una potencia:
\[ (a^3b^2)^4 = (a^3)^4(b^2)^4 = a^{3\cdot 4}b^{2\cdot 4} = a^{12}b^8. \]
Por consiguiente,
\[ (a^3b^2)^4=a^{12}b^8. \]
Ejemplo 3. Simplifiquemos la expresión
\[ a^5\cdot a^0, \]
suponiendo \(a\neq 0\). Puesto que \(a^0=1\), obtenemos
\[ a^5\cdot a^0=a^5\cdot 1=a^5. \]
Ejemplo 4. Simplifiquemos la expresión
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}, \]
suponiendo \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\). Separamos las potencias de la misma base:
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3} = \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3}. \]
Ahora restamos los exponentes:
\[ \frac{a^6}{a^2}\cdot\frac{b^8}{b^3} = a^{6-2}b^{8-3} = a^4b^5. \]
Por tanto,
\[ \frac{a^6b^8}{a^2b^3}=a^4b^5. \]
Ejemplo 5. Simplifiquemos la expresión
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2, \]
con \(a\neq 0\) y \(b\neq 0\). Primero simplificamos el cociente dentro del paréntesis:
\[ \frac{a^3b^5}{ab^2} = a^{3-1}b^{5-2} = a^2b^3. \]
Ahora elevamos al cuadrado:
\[ \left(a^2b^3\right)^2 = (a^2)^2(b^3)^2 = a^4b^6. \]
Por consiguiente,
\[ \left(\frac{a^3b^5}{ab^2}\right)^2=a^4b^6. \]
Ejemplo 6. Simplifiquemos la expresión
\[ 8^{-\frac{2}{3}}. \]
El exponente es racional negativo. En primer lugar transformamos la potencia en el inverso de la potencia con exponente positivo:
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}. \]
Ahora utilizamos la definición de potencia con exponente racional:
\[ 8^{\frac{2}{3}} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4. \]
Por tanto,
\[ 8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{4}. \]