Propiedades de las Potencias: Ejercicios Resueltos

\[ 128 \]

Enfoque

Las dos potencias tienen la misma base, \(2\). Se aplica la propiedad del producto de potencias con la misma base: se suman los exponentes y la base permanece invariada.

Propiedad aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Identificación de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad m = 3 \qquad n = 4 \]

Aplicación de la propiedad

\[ 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 \]

Cálculo numérico

\[ 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128 \]

Resultado

\[ \boxed{128} \]

\[ 25 \]

Enfoque

Las dos potencias tienen la misma base, \(5\). Se aplica la propiedad del cociente de potencias con la misma base: se resta el exponente del divisor al del dividendo.

Propiedad aplicada

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a \neq 0) \]

Identificación de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 5 \qquad m = 6 \qquad n = 4 \]

Aplicación de la propiedad

\[ \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 \]

Cálculo numérico

\[ 5^2 = 25 \]

Resultado

\[ \boxed{25} \]

\[ 729 \]

Enfoque

Una potencia está elevada a su vez a un exponente. Se aplica la propiedad de la potencia de una potencia: se multiplican los dos exponentes.

Propiedad aplicada

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Identificación de \(a\), \(m\), \(n\)

\[ a = 3 \qquad m = 2 \qquad n = 3 \]

Aplicación de la propiedad

\[ \left(3^2\right)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \]

Cálculo numérico

\[ 3^6 = 729 \]

Resultado

\[ \boxed{729} \]

\[ 1000 \]

Enfoque

El producto de dos factores está elevado a un exponente. La propiedad de la potencia de un producto permite distribuir el exponente sobre cada factor.

Propiedad aplicada

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Identificación de \(a\), \(b\), \(n\)

\[ a = 2 \qquad b = 5 \qquad n = 3 \]

Aplicación de la propiedad

\[ (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \]

Cálculo numérico

\[ 2^3 = 8 \qquad 5^3 = 125 \]

\[ 8 \cdot 125 = 1000 \]

Resultado

\[ \boxed{1000} \]

\[ 16 \]

Enfoque

Un cociente está elevado a un exponente. Se puede aplicar la propiedad de la potencia de un cociente, o bien simplificar primero la fracción.

Método 1 — simplificación directa

\[ \frac{6}{3} = 2 \qquad \Rightarrow \qquad \left(\frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16 \]

Método 2 — propiedad de la potencia de un cociente

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

\[ \left(\frac{6}{3}\right)^4 = \frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16 \]

Resultado

\[ \boxed{16} \]

\[ x^9 \]

Enfoque

Igual que en el ejercicio 1, pero con base literal \(x\). Se suman los exponentes.

Propiedad aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Aplicación

\[ x^4 \cdot x^5 = x^{4+5} = x^9 \]

Resultado

\[ \boxed{x^9} \]

\[ x^5 \]

Propiedad aplicada

\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (x \neq 0) \]

Aplicación

\[ \frac{x^9}{x^4} = x^{9-4} = x^5 \]

Resultado

\[ \boxed{x^5} \]

\[ x^{15} \]

Propiedad aplicada

\[ \left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n} \]

Aplicación

\[ \left(x^3\right)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15} \]

Resultado

\[ \boxed{x^{15}} \]

\[ 27x^3 \]

Enfoque

Se aplica la propiedad de la potencia de un producto con \(a = 3\) y \(b = x\). Atención: el exponente debe distribuirse también sobre el coeficiente numérico, no solo sobre la variable.

Propiedad aplicada

\[ (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \]

Aplicación

\[ (3x)^3 = 3^3 \cdot x^3 \]

Cálculo

\[ 3^3 = 27 \]

Resultado

\[ \boxed{27x^3} \]

\[ \dfrac{x^4}{16} \]

Propiedad aplicada

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

Aplicación

\[ \left(\frac{x}{2}\right)^4 = \frac{x^4}{2^4} = \frac{x^4}{16} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{x^4}{16}} \]

\[ 49 \]

Enfoque

Cualquier base no nula elevada a \(0\) es igual a \(1\). Esto se deduce de la propiedad del cociente: \(a^m \div a^m = a^{m-m} = a^0\), y también \(a^m \div a^m = 1\).

Propiedad aplicada

\[ a^0 = 1 \qquad (a \neq 0) \]

Aplicación

\[ 4^0 \cdot 7^2 = 1 \cdot 49 = 49 \]

Resultado

\[ \boxed{49} \]

\[ \dfrac{1}{9} \]

Enfoque

Un exponente negativo indica el recíproco de la potencia con exponente positivo. No produce un resultado negativo, sino una fracción.

Propiedad aplicada

\[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad (a \neq 0) \]

Aplicación

\[ 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{1}{9}} \]

\[ x^4 \]

Enfoque

La propiedad del producto se aplica incluso cuando uno de los exponentes es negativo: la regla es idéntica, se suman algebraicamente los exponentes.

Propiedad aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Aplicación

\[ x^{-3} \cdot x^7 = x^{-3+7} = x^4 \]

Resultado

\[ \boxed{x^4} \]

\[ x^8\, y^{12} \]

Enfoque

El producto \(x^2 y^3\) está elevado a la cuarta potencia. Se distribuye el exponente sobre cada factor y se aplica la potencia de una potencia a cada uno.

Propiedades aplicadas

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{y} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Aplicación

\[ \left(x^2 y^3\right)^4 = \left(x^2\right)^4 \cdot \left(y^3\right)^4 = x^{2 \cdot 4} \cdot y^{3 \cdot 4} = x^8 y^{12} \]

Resultado

\[ \boxed{x^8\, y^{12}} \]

\[ \dfrac{x^3}{8} \]

Enfoque

Un cociente con exponente negativo equivale al cociente recíproco con exponente positivo. Se intercambian numerador y denominador, y luego ambos se elevan a \(3\).

Propiedad aplicada

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \]

Aplicación

\[ \left(\frac{2}{x}\right)^{-3} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3} = \frac{x^3}{2^3} = \frac{x^3}{8} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{x^3}{8}} \]

\[ 5 \]

Enfoque

Un exponente de la forma \(\tfrac{1}{q}\) indica la raíz \(q\)-ésima. En particular, \(a^{1/2} = \sqrt{a}\).

Propiedad aplicada

\[ a^{1/q} = \sqrt[q]{a} \]

Aplicación

\[ 25^{1/2} = \sqrt{25} = 5 \]

Verificación

\[ 5^2 = 25 \checkmark \]

Resultado

\[ \boxed{5} \]

\[ 2 \]

Propiedad aplicada

\[ a^{1/3} = \sqrt[3]{a} \]

Aplicación

\[ 8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2 \]

Verificación

\[ 2^3 = 8 \checkmark \]

Resultado

\[ \boxed{2} \]

\[ x \]

Enfoque

La propiedad del producto también se aplica a los exponentes fraccionarios. Se suman las fracciones con denominador común.

Propiedad aplicada

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

Suma de los exponentes

\[ \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Resultado

\[ x^{2/3} \cdot x^{1/3} = x^1 = x \]

\[ \boxed{x} \]

\[ 9 \]

Enfoque

Un exponente \(\tfrac{p}{q}\) indica la raíz \(q\)-ésima de la base elevada a \(p\). Conviene extraer primero la raíz y luego elevar a la potencia: los números se mantienen más pequeños y manejables.

Propiedad aplicada

\[ a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p} \]

Aplicación — raíz primero, luego potencia

\[ 27^{2/3} = \left(27^{1/3}\right)^2 = \left(\sqrt[3]{27}\right)^2 = 3^2 = 9 \]

Verificación — método alternativo

\[ 27^{2/3} = \left(27^2\right)^{1/3} = 729^{1/3} = \sqrt[3]{729} = 9 \checkmark \]

Resultado

\[ \boxed{9} \]

\[ x^3 \]

Enfoque

Se procede en dos pasos: primero se simplifica la potencia de una potencia y luego se multiplica usando la propiedad del producto con la misma base.

Paso 1 — potencia de una potencia

\[ \left(x^{-2}\right)^3 = x^{(-2)\cdot 3} = x^{-6} \]

Paso 2 — producto con la misma base

\[ x^{-6} \cdot x^9 = x^{-6+9} = x^3 \]

Resultado

\[ \boxed{x^3} \]

\[ 2 \]

Enfoque

Se desarrollan por separado el numerador y el denominador distribuyendo el exponente externo, y luego se simplifica el cociente.

Desarrollo del numerador

\[ (4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6 \]

Desarrollo del denominador

\[ (2x^2)^3 = 2^3 \cdot (x^2)^3 = 8x^6 \]

Cociente

\[ \frac{16x^6}{8x^6} = \frac{16}{8} \cdot \frac{x^6}{x^6} = 2 \cdot 1 = 2 \]

Resultado

\[ \boxed{2} \]

\[ a^3\, b^5 \]

Desarrollo del numerador

\[ \left(a^2 b^3\right)^4 = a^{2 \cdot 4} \cdot b^{3 \cdot 4} = a^8 b^{12} \]

Cociente — se restan los exponentes de cada base

\[ \frac{a^8 b^{12}}{a^5 b^7} = a^{8-5} \cdot b^{12-7} = a^3 b^5 \]

Resultado

\[ \boxed{a^3\, b^5} \]

\[ \dfrac{x^6}{4} \]

Desarrollo del numerador

\[ (2x^3)^4 = 2^4 \cdot x^{12} = 16x^{12} \]

Desarrollo del denominador

\[ (4x^2)^3 = 4^3 \cdot x^6 = 64x^6 \]

Cociente

\[ \frac{16x^{12}}{64x^6} = \frac{16}{64} \cdot x^{12-6} = \frac{1}{4}\, x^6 = \frac{x^6}{4} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{x^6}{4}} \]

\[ a^3\, b^2 \]

Propiedades aplicadas

\[ (ab)^n = a^n b^n \qquad \text{y} \qquad (a^m)^n = a^{mn} \]

Distribución del exponente 6

\[ \left(a^{1/2} \cdot b^{1/3}\right)^6 = \left(a^{1/2}\right)^6 \cdot \left(b^{1/3}\right)^6 \]

Potencia de una potencia

\[ \left(a^{1/2}\right)^6 = a^{\,\frac{1}{2} \cdot 6} = a^3 \]

\[ \left(b^{1/3}\right)^6 = b^{\,\frac{1}{3} \cdot 6} = b^2 \]

Resultado

\[ \boxed{a^3\, b^2} \]

\[ \dfrac{y^6}{x^4} \]

Enfoque

Un cociente con exponente negativo equivale al cociente recíproco con exponente positivo. Se intercambian numerador y denominador, y luego ambos se elevan a \(3\).

Inversión por el exponente negativo

\[ \left(\frac{x^2}{y^3}\right)^{-2} = \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} \]

Potencia de un cociente

\[ \left(\frac{y^3}{x^2}\right)^{2} = \frac{(y^3)^2}{(x^2)^2} = \frac{y^6}{x^4} \]

Resultado

\[ \boxed{\dfrac{y^6}{x^4}} \]

\[ 1 \]

Enfoque

Todas las bases (\(2\), \(4\), \(8\)) son potencias de \(2\). Se reescribe todo en base \(2\) y se aplican las propiedades del producto y del cociente.

Reescritura en base 2

\[ 4^n = (2^2)^n = 2^{2n} \qquad 8^n = (2^3)^n = 2^{3n} \]

Sustitución

\[ \frac{2^n \cdot 2^{2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{n + 2n}}{2^{3n}} = \frac{2^{3n}}{2^{3n}} = 2^0 = 1 \]

Resultado

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Desarrollo del numerador — primer factor

\[ (3x^2)^3 = 27x^6 \]

Desarrollo del numerador — segundo factor

\[ (2x)^2 = 4x^2 \]

Producto del numerador

\[ 27x^6 \cdot 4x^2 = 108\, x^8 \]

Desarrollo del denominador

\[ (6x^4)^2 = 36x^8 \]

Cociente final

\[ \frac{108\, x^8}{36\, x^8} = \frac{108}{36} \cdot x^0 = 3 \cdot 1 = 3 \]

Resultado

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Enfoque

El numerador y el denominador se reducen a la misma potencia de \(a\) mediante las propiedades del producto, de la potencia de una potencia y del cociente. La identidad es válida para cualquier valor de \(m\) y \(n\).

Simplificación del numerador

\[ a^{m+n} \cdot a^{m-n} = a^{(m+n)+(m-n)} = a^{2m} \]

Simplificación del denominador

\[ \left(a^m\right)^2 = a^{2m} \]

Cociente

\[ \frac{a^{2m}}{a^{2m}} = a^{2m - 2m} = a^0 = 1 \]

Resultado

\[ \boxed{1} \]

\[ 3 \]

Enfoque

El numerador contiene dos potencias de \(3\) con exponentes paramétricos consecutivos. Se extrae el factor común \(3^n\) del numerador y luego se simplifica con el denominador.

Reescritura de los exponentes en el numerador

\[ 3^{n+2} = 3^n \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^n \]

\[ 3^{n+1} = 3^n \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^n \]

Extracción del factor \(3^n\)

\[ 3^{n+2} - 3^{n+1} = 9 \cdot 3^n - 3 \cdot 3^n = 3^n(9 - 3) = 6 \cdot 3^n \]

Cociente

\[ \frac{6 \cdot 3^n}{2 \cdot 3^n} = \frac{6}{2} = 3 \]

Resultado

\[ \boxed{3} \]

\[ 1 \]

Enfoque

Se reduce tanto el numerador como el denominador a una única potencia de \(x\) con exponente en términos de \(a\), \(b\), \(c\). La identidad es válida para cualquier valor real de \(a\), \(b\), \(c\) (con \(x \neq 0\)).

Simplificación del numerador

Se usa la propiedad del producto, sumando todos los exponentes:

\[ x^{a+b} \cdot x^{b+c} \cdot x^{c+a} = x^{(a+b)+(b+c)+(c+a)} \]

Suma de los exponentes:

\[ (a+b)+(b+c)+(c+a) = 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) \]

Por tanto, el numerador vale \(x^{2(a+b+c)}\).

Simplificación del denominador

Se simplifica primero el producto interior y luego se eleva al cuadrado:

\[ x^a \cdot x^b \cdot x^c = x^{a+b+c} \]

\[ \left(x^{a+b+c}\right)^2 = x^{2(a+b+c)} \]

Cociente

\[ \frac{x^{2(a+b+c)}}{x^{2(a+b+c)}} = x^0 = 1 \]

Resultado

\[ \boxed{1} \]