Tras haber introducido los entornos, podemos definir dos conceptos fundamentales en el estudio de los conjuntos de números reales: los puntos de acumulación y los puntos aislados.
Estas nociones describen el comportamiento local de un conjunto sobre la recta real y permiten determinar si sus elementos se acumulan alrededor de ciertos puntos o, por el contrario, permanecen separados entre sí. Desempeñan un papel central en el estudio de los límites, de las sucesiones, de los conjuntos cerrados y, más en general, del análisis matemático.
A continuación presentaremos las definiciones rigurosas de punto de acumulación y de punto aislado, junto con sus principales propiedades y caracterizaciones.
Índice
- Punto de acumulación
- Punto aislado
- Ejemplos fundamentales
- Caracterización mediante sucesiones
- Conjunto derivado y conjuntos cerrados
Punto de acumulación
Sea \( A\subseteq\mathbb R \). Un punto \( x_0\in\mathbb R \) se denomina punto de acumulación de \( A \) si todo entorno de \( x_0 \) contiene al menos un elemento de \( A \) distinto de \( x_0 \).
De forma equivalente,
\[ \forall r>0, \qquad \Bigl((x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\}\Bigr)\cap A \neq\varnothing. \]
Dicho de otro modo, por pequeño que se tome el entorno centrado en \( x_0 \), siempre se encuentran puntos de \( A \) arbitrariamente próximos a \( x_0 \).
Es importante observar que \( x_0 \) no tiene por qué pertenecer al conjunto \( A \). La definición solo exige que en sus proximidades haya elementos de \( A \) distintos de \( x_0 \).
Además, todo entorno de un punto de acumulación contiene necesariamente infinitos puntos del conjunto distintos de \( x_0 \). En efecto, si un determinado entorno contuviera solo una cantidad finita de ellos, sería posible construir un entorno más pequeño que los excluyera todos, en contradicción con la definición.
En particular, ningún conjunto finito puede poseer puntos de acumulación.
Desde el punto de vista geométrico, un punto de acumulación es un punto en torno al cual el conjunto se concentra. Si imaginamos realizar ampliaciones sucesivas de la recta real cerca de \( x_0 \), seguiríamos observando siempre elementos del conjunto arbitrariamente próximos a dicho punto.
Un punto de acumulación puede pertenecer o no al conjunto. Por ejemplo, si \( A=(0,1) \), el punto \( \displaystyle \frac12 \) pertenece a \( A \) y es un punto de acumulación. Los puntos \( 0 \) y \( 1 \) también son puntos de acumulación, aunque no pertenezcan al conjunto, ya que todo entorno de cada uno de ellos contiene elementos de \( A \).
Punto aislado
Sea \( A\subseteq\mathbb R \). Un punto \( x_0\in A \) se denomina punto aislado de \( A \) si existe un entorno de \( x_0 \) que no contiene ningún otro elemento del conjunto.
En símbolos,
\[ \exists r>0 \quad\text{tal que}\quad (x_0-r,x_0+r)\cap A=\{x_0\}. \]
Esto significa que \( x_0 \) está separado de los demás elementos de \( A \) por una distancia positiva. En un entorno suficientemente pequeño de \( x_0 \), el único punto del conjunto presente es precisamente \( x_0 \).
Desde el punto de vista geométrico, un punto aislado puede concebirse como un elemento «solitario» del conjunto, rodeado por una región de la recta real carente de otros puntos pertenecientes a \( A \).
Las nociones de punto aislado y punto de acumulación están estrechamente relacionadas. Si \( x_0\in A \), entonces se cumple exactamente una de las siguientes posibilidades:
- \( x_0 \) es un punto aislado;
- \( x_0 \) es un punto de acumulación.
Ambas propiedades son incompatibles. En efecto, si existe un entorno que contiene únicamente a \( x_0 \), entonces \( x_0 \) no puede ser un punto de acumulación. Recíprocamente, si \( x_0 \) es un punto de acumulación, todo entorno suyo contiene infinitos puntos del conjunto distintos de \( x_0 \), de modo que \( x_0 \) no puede ser aislado.
Comparación entre puntos aislados y puntos de acumulación
| Aspecto | Punto aislado | Punto de acumulación |
|---|---|---|
| Pertenencia a \(A\) | Debe pertenecer a \(A\) | Puede pertenecer o no a \(A\) |
| Entornos | Existe un entorno que contiene solo ese punto del conjunto | Todo entorno contiene infinitos puntos del conjunto distintos de \( x_0 \) |
| Comportamiento local | El punto está separado del resto del conjunto | El conjunto se acumula en torno al punto |
Un mismo conjunto puede contener tanto puntos aislados como puntos de acumulación. Por ejemplo, en el conjunto
\[ \left\{0\right\} \cup \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
el punto \(0\) es un punto de acumulación, mientras que todos los puntos de la forma \( \displaystyle \frac1n \) son aislados.
Ejemplos fundamentales
Consideremos algunos ejemplos fundamentales, útiles para distinguir con precisión los puntos de acumulación de los puntos aislados.
Intervalos
Sea \( A=(0,1) \). Todo punto de \( (0,1) \) es un punto de acumulación de \( A \), ya que cualquier entorno suyo contiene infinitos puntos del intervalo. También \(0\) y \(1\) son puntos de acumulación, aunque no pertenezcan a \(A\). En efecto, todo entorno de \(0\) contiene puntos positivos menores que \(1\), mientras que todo entorno de \(1\) contiene puntos del intervalo menores que \(1\).
Por tanto, el conjunto de los puntos de acumulación de \( (0,1) \) es
\[ [0,1]. \]
Conjuntos finitos y conjuntos discretos
Si \( A=\{1,3,7\} \), entonces todos los elementos de \(A\) son puntos aislados. Por ejemplo, alrededor del punto \(3\) es posible elegir un intervalo suficientemente pequeño que no contenga ni a \(1\) ni a \(7\). Más en general, todo conjunto finito de números reales está formado únicamente por puntos aislados y no posee puntos de acumulación.
También el conjunto de los enteros \( \mathbb Z \) está formado únicamente por puntos aislados. En efecto, para todo \( n\in\mathbb Z \), el entorno
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
contiene como único entero el punto \(n\). Por consiguiente, todo entero es aislado y \( \mathbb Z \) no tiene puntos de acumulación en \( \mathbb R \).
Un conjunto con puntos aislados y un punto de acumulación
Consideremos el conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Todo punto de la forma \(\displaystyle \frac1n \) es aislado. En efecto, fijado un valor de \(n\), es posible elegir un entorno suficientemente pequeño de \( \displaystyle \frac1n \) que no contenga ningún otro elemento de la sucesión \(1,\displaystyle\frac12,\displaystyle\frac13,\ldots\).
Sin embargo, \(0\) es un punto de acumulación de \(A\). En efecto, para todo \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) suficientemente grande tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Por tanto, todo entorno de \(0\) contiene elementos de \(A\) distintos de \(0\). Observemos que \(0\notin A\): esto muestra que un punto de acumulación no tiene por qué pertenecer al conjunto.
Si, en cambio, consideramos
\[ B=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \]
el punto \(0\) sigue siendo un punto de acumulación, pero ahora pertenece también al conjunto \(B\). Los puntos \( \displaystyle\frac1n \), en cambio, continúan siendo puntos aislados.
Los números racionales
Consideremos el conjunto de los números racionales \( \mathbb Q \). Gracias a la densidad de los racionales en \( \mathbb R \), entre dos números reales distintos existen siempre infinitos números racionales. En consecuencia, todo entorno de cualquier punto de la recta real contiene infinitos elementos de \( \mathbb Q \).
Por tanto, todo número real es un punto de acumulación de \( \mathbb Q \), es decir,
\[ \mathbb Q' = \mathbb R. \]
Además, \( \mathbb Q \) no posee ningún punto aislado. Este ejemplo muestra de manera notable que un conjunto puede tener puntos de acumulación en cada punto de la recta real, sin ser un intervalo y siendo, de hecho, totalmente disconexo.
Caracterización mediante sucesiones
Los puntos de acumulación pueden caracterizarse mediante sucesiones. Este resultado es especialmente importante porque permite traducir una propiedad geométrica de los conjuntos en una propiedad de convergencia.
Teorema. Sea \( A\subseteq\mathbb R \) y sea \( x_0\in\mathbb R \). Entonces \( x_0 \) es un punto de acumulación de \( A \) si y solo si existe una sucesión \( (x_n) \subseteq A\setminus\{x_0\} \) tal que
\[ \lim_{n\to\infty}x_n=x_0. \]
Demostración. Supongamos que \( x_0 \) es un punto de acumulación de \( A \). Para cada \( n\in\mathbb N \), el entorno
\[ \left(x_0-\frac1n,x_0+\frac1n\right) \]
contiene al menos un punto \( x_n\in A\setminus\{x_0\} \). De ello se sigue que
\[ 0<|x_n-x_0|<\frac1n. \]
Como \( \displaystyle \frac1n\to0 \), por el teorema del sándwich obtenemos \( x_n\to x_0 \).
Recíprocamente, supongamos que existe una sucesión \( (x_n)\subseteq A\setminus\{x_0\} \) tal que \( x_n\to x_0 \). Sea \( r>0 \). Por la definición de límite, existe \( N\in\mathbb N \) tal que
\[ n\ge N \quad\Longrightarrow\quad |x_n-x_0|<r. \]
En particular, \( x_N\in(x_0-r,x_0+r) \), con \( x_N\in A \) y \( x_N\neq x_0 \). Por tanto, todo entorno de \( x_0 \) contiene un elemento de \( A \) distinto de \( x_0 \), y en consecuencia \( x_0 \) es un punto de acumulación de \( A \).
Esta caracterización constituye uno de los principales vínculos entre la teoría de conjuntos y el estudio de las sucesiones.
Conjunto derivado y conjuntos cerrados
El conjunto de todos los puntos de acumulación de un conjunto \( A \subseteq \mathbb R \) recibe el nombre de conjunto derivado de \( A \) y se denota por \( A' \).
En símbolos,
\[ A'=\{x\in\mathbb R : x \text{ es punto de acumulación de } A\}. \]
El conjunto derivado describe el comportamiento de \( A \) en sus proximidades y reúne todos los puntos en torno a los cuales el conjunto se acumula.
Observemos que los puntos de \( A' \) no tienen por qué pertenecer a \( A \). Por ejemplo, si \( A=(0,1) \), entonces \( 0 \) y \( 1 \) pertenecen a \( A' \) aunque no pertenezcan al conjunto.
Veamos algunos ejemplos.
- Si \( A=(0,1) \), entonces \[ A'=[0,1]. \]
- Si \( A=\mathbb Z \), entonces \[ A'=\varnothing, \] ya que todo entero es un punto aislado.
- Si \[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}, \] entonces \[ A'=\{0\}. \]
El concepto de conjunto derivado permite caracterizar de manera sencilla los conjuntos cerrados.
Teorema. Un conjunto \( A\subseteq\mathbb R \) es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación.
De forma equivalente,
\[ A \text{ es cerrado} \quad\Longleftrightarrow\quad A'\subseteq A. \]
Dicho de otro modo, un conjunto es cerrado cuando no «pierde» ningún punto hacia el cual sus elementos puedan acumularse.
Por ejemplo, el intervalo cerrado \( [0,1] \) contiene todos sus puntos de acumulación y, por tanto, es un conjunto cerrado. Por el contrario,
\[ (0,1) \]
no es cerrado, ya que los puntos \(0\) y \(1\) son puntos de acumulación pero no pertenecen al conjunto.
Los puntos de acumulación desempeñan un papel fundamental en el análisis matemático. Uno de los teoremas más importantes del análisis real, el teorema de Bolzano–Weierstrass, afirma precisamente que todo subconjunto infinito y acotado de \( \mathbb R \) posee al menos un punto de acumulación.
Este resultado pone de relieve cómo la presencia de puntos de acumulación es una propiedad intrínseca de los conjuntos infinitos acotados y constituye uno de los pilares del análisis matemático.