Los radicales surgen como operaciones inversas de las potencias y permiten representar raíces cuadradas, cúbicas y, más en general, raíces \(n\)-ésimas. Su estudio requiere, sin embargo, una atención especial, pues el significado de una raíz depende esencialmente del índice del radical y del signo del radicando.
En esta página presentamos la definición rigurosa de radical en los números reales, distinguiendo con precisión el caso de índice par del caso de índice impar. Veremos, en particular, que cuando el índice es par, el símbolo \(\sqrt[n]{a}\) no denota todas las soluciones de la ecuación \(x^n=a\), sino únicamente la raíz principal no negativa, cuando esta existe.
A continuación estudiaremos las condiciones de existencia, las propiedades fundamentales de los radicales, la simplificación, las operaciones entre radicales y la racionalización del denominador. La parte final estará dedicada a los radicales con variables y a una primera introducción a las ecuaciones irracionales, en las que resulta indispensable determinar el dominio y comprobar las soluciones obtenidas.
Índice
- Definición de radical
- Condiciones de existencia
- Propiedades fundamentales
- Simplificación de radicales
- Multiplicación y división
- Adición y sustracción
- Potencias de radicales
- Racionalización del denominador
- Radicales con variables
- Ecuaciones irracionales
Definición de radical
El radical \(n\)-ésimo de un número real \(a\) es la operación que permite hallar, cuando es posible, un número cuya \(n\)-ésima potencia sea igual a \(a\). En los números reales, sin embargo, la definición depende de la paridad del índice \(n\).
Sea \(n\in\mathbb{N}\), con \(n\geq 2\).
Si \(n\) es par y \(a\geq0\), se define \(\sqrt[n]{a}\) como el único número real \(b\geq0\) tal que
\[ b^n=a. \]
En símbolos:
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a,\quad b\geq0. \]
Si, en cambio, \(n\) es impar y \(a\in\mathbb{R}\), se define \(\sqrt[n]{a}\) como el único número real \(b\) tal que
\[ b^n=a. \]
En símbolos:
\[ b=\sqrt[n]{a} \quad \Longleftrightarrow \quad b^n=a. \]
El número \(n\) se denomina índice del radical, mientras que el número \(a\) se denomina radicando.
La distinción entre índice par e índice impar es fundamental. Si el índice es par, el radicando debe ser no negativo y el radical denota siempre la raíz principal no negativa. Si el índice es impar, en cambio, el radical está definido para todo radicando real y conserva el signo del radicando.
Raíz cuadrada
El caso más importante es el de la raíz cuadrada. Cuando \(n=2\), el índice se omite:
\[ \sqrt{a}=\sqrt[2]{a}. \]
La raíz cuadrada está definida en los números reales solo para \(a\geq0\) y devuelve siempre el valor principal no negativo.
En particular, para todo \(a\in\mathbb{R}\), se cumple la identidad
\[ \sqrt{a^2}=|a|. \]
Por tanto, no debe confundirse \(\sqrt{a^2}\) con \(a\). En general, en efecto,
\[ \sqrt{a^2}\neq a. \]
Por ejemplo:
\[ \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\neq -3. \]
Raíz \(n\)-ésima y paridad del índice
| Índice \(n\) | Radicando \(a\) | Significado del radical |
|---|---|---|
| Par | \(a>0\) | existe la raíz principal positiva |
| Par | \(a=0\) | \(\sqrt[n]{0}=0\) |
| Par | \(a<0\) | no existe en los números reales |
| Impar | \(a\in\mathbb{R}\) | existe un único valor real, con el mismo signo que \(a\) |
Veamos algunos ejemplos.
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
porque
\[ (-2)^3=-8. \]
Además
\[ \sqrt[4]{16}=2. \]
En efecto, \(2^4=16\), pero el radical \(\sqrt[4]{16}\) denota la raíz principal no negativa, no el valor \(-2\), aunque \((-2)^4=16\).
Por último:
\[ \sqrt[5]{-32}=-2, \]
porque
\[ (-2)^5=-32. \]
Condiciones de existencia
Las condiciones de existencia de un radical establecen para qué valores del radicando el radical está definido en los números reales. También en este caso hay que distinguir entre índice par e índice impar.
Si el índice \(n\) es par, el radical
\[ \sqrt[n]{a} \]
existe en los números reales si y solo si
\[ a\geq0. \]
Si, en cambio, el índice \(n\) es impar, el radical
\[ \sqrt[n]{a} \]
existe para todo valor real de \(a\).
Podemos resumir las condiciones de existencia del siguiente modo:
\[ \sqrt[n]{a}\in\mathbb{R} \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} a\geq0 & \text{si } n \text{ es par},\\ a\in\mathbb{R} & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]
Veamos algunos ejemplos.
El radical
\[ \sqrt{x-3} \]
tiene índice par, luego existe si y solo si
\[ x-3\geq0. \]
Por tanto, la condición de existencia es
\[ x\geq3. \]
El radical
\[ \sqrt[3]{x-3} \]
tiene, en cambio, índice impar, luego existe para todo \(x\in\mathbb{R}\).
Por último, el radical
\[ \sqrt{x^2-4} \]
tiene índice par, luego debemos imponer
\[ x^2-4\geq0. \]
Resolviendo la inecuación, obtenemos
\[ x\leq -2 \quad \text{o bien} \quad x\geq2. \]
Por tanto, el radical \(\sqrt{x^2-4}\) existe para
\[ x\in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty). \]
Propiedades fundamentales
Las propiedades de los radicales permiten transformar y simplificar las expresiones que contienen raíces. Sin embargo, en los números reales, estas propiedades deben aplicarse respetando las condiciones de existencia y la convención de la raíz principal.
En particular, cuando el índice es par, todos los radicales deben estar definidos en los números reales y el valor del radical es siempre no negativo. Por este motivo, algunas fórmulas que parecen inmediatas requieren atención al signo de las cantidades involucradas.
| Propiedad | Fórmula | Condiciones |
|---|---|---|
| Producto de radicales con el mismo índice | \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\) | para \(n\) par: \(a\geq0\), \(b\geq0\); para \(n\) impar: \(a,b\in\mathbb{R}\) |
| Cociente de radicales con el mismo índice | \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) | para \(n\) par: \(a\geq0\), \(b>0\); para \(n\) impar: \(a\in\mathbb{R}\), \(b\neq0\) |
| Potencia de un radical | \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}\) | cuando el radical \(\sqrt[n]{a}\) está definido y \(m\in\mathbb{N}^*\) |
| Radical de un radical | \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\) | cuando ambos miembros están definidos en los números reales |
| Reducción a índice común | \(\sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}\) | se cumple con certeza para \(a\geq0\) y \(k\in\mathbb{N}^*\) |
| Simplificación con índice par | \(\sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|\) | para todo \(a\in\mathbb{R}\) |
| Simplificación con índice impar | \(\sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a\) | para todo \(a\in\mathbb{R}\) |
Producto y cociente
Si los radicales tienen el mismo índice, es posible multiplicarlos o dividirlos reuniendo el producto o el cociente bajo un único radical, siempre que todas las expresiones estén definidas.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
Análogamente:
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Para el cociente:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
En el caso de índice par, conviene recordar que los radicandos deben ser no negativos y que, en el cociente, el denominador debe ser estrictamente positivo.
Potencias de radicales
Si el radical \(\sqrt[n]{a}\) está definido, entonces podemos elevar el radical a una potencia natural:
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Cuando \(a\geq0\), esta propiedad se relaciona con la escritura con exponente racional:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Esta escritura resulta especialmente útil en el cálculo algebraico, pero debe emplearse con cautela cuando se trabaja en los números reales y aparecen radicandos que pueden tomar valores negativos.
Simplificación de potencias perfectas
Una de las identidades más importantes es la siguiente:
\[ \sqrt[2k]{a^{2k}}=|a|. \]
El valor absoluto es necesario porque una raíz de índice par devuelve siempre el valor principal no negativo.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Del mismo modo:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Si, en cambio, el índice es impar, no aparece el valor absoluto:
\[ \sqrt[2k+1]{a^{2k+1}}=a. \]
Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Reducción a índice común
La reducción a índice común permite transformar radicales con índices distintos en radicales que tengan un índice común. Esta transformación resulta especialmente útil cuando es necesario multiplicar, dividir o comparar radicales.
Si \(a\geq0\), entonces:
\[ \sqrt[n]{a}=\sqrt[kn]{a^k}, \qquad k\in\mathbb{N}^*. \]
Por ejemplo:
\[ \sqrt{2}=\sqrt[6]{2^3}=\sqrt[6]{8}. \]
Además:
\[ \sqrt[3]{3}=\sqrt[6]{3^2}=\sqrt[6]{9}. \]
Esta propiedad debe aplicarse con cautela si el radicando es negativo. En efecto, al pasar a un índice par, el radical representa siempre una raíz principal no negativa y el signo puede cambiar.
Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{-8}=-2, \]
mientras que
\[ \sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=2. \]
Por tanto, en general, no puede reducirse el índice sin comprobar antes las condiciones y el signo del radicando.
Simplificación de radicales
Simplificar un radical significa transformarlo en una forma equivalente en la que el radicando ya no contenga factores que sean potencias perfectas del índice.
La idea consiste en separar, cuando sea posible, las potencias que pueden extraerse del radical de aquellas que deben permanecer bajo la raíz.
Si \(a\geq0\), \(n\geq2\), \(q\in\mathbb{N}\), \(0\leq r<n\) y \(qn+r\geq1\), entonces
\[ \sqrt[n]{a^{qn+r}}=a^q\sqrt[n]{a^r}. \]
Esta fórmula expresa el principio general de la simplificación: los exponentes múltiplos del índice pueden sacarse fuera del radical, mientras que el resto permanece en el radicando.
Método de simplificación
Para simplificar un radical puede procederse del siguiente modo.
- Se descompone el radicando en factores primos, o bien en factores con exponentes.
- Se escribe cada exponente como un múltiplo del índice más un resto.
- Se sacan fuera del radical los factores correspondientes a las potencias perfectas del índice.
Veamos algunos ejemplos.
\[ \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}. \]
En efecto, \(36\) es un cuadrado perfecto y puede extraerse de la raíz cuadrada.
Además:
\[ \sqrt[3]{54}=\sqrt[3]{27\cdot2}=3\sqrt[3]{2}. \]
En este caso, \(27=3^3\) es una potencia perfecta de índice \(3\).
Simplificación con variables
Cuando en el radicando aparecen variables reales, hay que prestar especial atención al signo. En particular, con índices pares puede ser necesario introducir el valor absoluto.
Por ejemplo, para todo \(x\in\mathbb{R}\) se tiene
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
En cambio, si sabemos que \(x\geq0\), entonces podemos escribir
\[ \sqrt{x^5}=\sqrt{x^4\cdot x}=x^2\sqrt{x}. \]
La condición \(x\geq0\) es necesaria para que el radical \(\sqrt{x^5}\) esté definido en los números reales.
Para un índice impar, en cambio, no es necesario introducir el valor absoluto. Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{a^8}=\sqrt[3]{a^6\cdot a^2}=a^2\sqrt[3]{a^2}. \]
Multiplicación y división
Para multiplicar o dividir radicales con el mismo índice, se emplea la propiedad del producto o del cociente, respetando siempre las condiciones de existencia.
Si los radicales tienen el mismo índice, entonces:
\[ \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}. \]
Por ejemplo:
\[ \sqrt{3}\cdot\sqrt{12}=\sqrt{36}=6. \]
Del mismo modo:
\[ \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{8}=2. \]
Para el cociente se tiene:
\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}, \]
siempre que el radical del denominador esté definido y sea distinto de cero. En particular, si el índice es par, ha de exigirse \(b>0\); si el índice es impar, basta con exigir \(b\neq0\).
Por ejemplo:
\[ \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5. \]
Cuando los radicales tienen índices distintos, antes de multiplicarlos o dividirlos puede recurrirse a la reducción a índice común.
Por ejemplo:
\[ \sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^3}\cdot\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{2^5} = \sqrt[6]{32}. \]
Adición y sustracción
La adición y la sustracción entre radicales no se efectúan reuniendo los términos bajo un único radical. Solo pueden sumarse o restarse directamente los radicales semejantes, esto es, radicales con el mismo índice y el mismo radicando.
En general:
\[ p\sqrt[n]{a}+q\sqrt[n]{a}=(p+q)\sqrt[n]{a}. \]
Análogamente:
\[ p\sqrt[n]{a}-q\sqrt[n]{a}=(p-q)\sqrt[n]{a}. \]
Por ejemplo:
\[ 3\sqrt{2}+5\sqrt{2}=8\sqrt{2}. \]
A veces los radicales no son semejantes en un principio, pero llegan a serlo tras la simplificación. Por ejemplo:
\[ \sqrt{12}+\sqrt{27} = 2\sqrt{3}+3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}. \]
Otro ejemplo es:
\[ \sqrt{8}-\sqrt{2}+\sqrt{18} = 2\sqrt{2}-\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}. \]
Por el contrario, radicales como \(\sqrt{2}\) y \(\sqrt{3}\) no son semejantes y no pueden sumarse en un único radical.
Potencias de radicales
Las potencias de radicales se tratan aplicando las propiedades de las potencias y teniendo en cuenta las condiciones de existencia.
Si \(\sqrt[n]{a}\) está definido y \(m\in\mathbb{N}^*\), entonces:
\[ \left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}. \]
Si además \(a\geq0\), podemos relacionar esta escritura con las potencias de exponente racional:
\[ \sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}. \]
Cuadrado de un binomio con radicales
Si \(a\geq0\) y \(b\geq0\), entonces:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b. \]
Del mismo modo:
\[ (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b. \]
Por ejemplo:
\[ (\sqrt{5}+2)^2 = 5+4\sqrt{5}+4 = 9+4\sqrt{5}. \]
Producto de expresiones conjugadas
Si \(a\geq0\) y \(b\geq0\), el producto de dos expresiones conjugadas permite eliminar las raíces cuadradas:
\[ (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b. \]
Por ejemplo:
\[ (\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})=7-3=4. \]
Racionalización del denominador
La racionalización del denominador consiste en transformar una fracción en una fracción equivalente cuyo denominador no contenga radicales.
La idea de base consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un factor adecuado que permita eliminar el radical del denominador. El valor de la fracción no cambia, pues se multiplica por una cantidad igual a \(1\).
Denominador con una sola raíz cuadrada
Consideremos una fracción del tipo
\[ \frac{c}{\sqrt{a}}, \]
con \(a>0\). Para eliminar la raíz del denominador, multiplicamos el numerador y el denominador por \(\sqrt{a}\):
\[ \frac{c}{\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{a}\sqrt{a}} = \frac{c\sqrt{a}}{a}. \]
Por ejemplo:
\[ \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}. \]
Denominador con un único radical \(n\)-ésimo
Más en general, si el denominador contiene un radical \(n\)-ésimo, podemos emplear la propiedad de las potencias.
Si el radical está definido y \(\sqrt[n]{a}\neq0\), entonces:
\[ \frac{c}{\sqrt[n]{a}} = \frac{c\sqrt[n]{a^{n-1}}}{a}. \]
En el caso de índice par ha de exigirse \(a>0\), mientras que en el caso de índice impar basta con exigir \(a\neq0\).
Por ejemplo:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{2^2}}{2} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}. \]
Binomio en el denominador con raíces cuadradas
Si el denominador es un binomio con raíces cuadradas, se emplea el producto de dos expresiones conjugadas.
Por ejemplo, si \(a\geq0\), \(b\geq0\) y \(a\neq b\), entonces:
\[ \frac{c}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a-b}. \]
Análogamente:
\[ \frac{c}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{a-b}. \]
Veamos un ejemplo:
\[ \frac{4}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = 4\sqrt{3}-4\sqrt{2}. \]
Otro ejemplo es:
\[ \frac{1}{1+\sqrt{5}} = \frac{1-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})} = \frac{1-\sqrt{5}}{1-5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}. \]
Denominador con raíces cúbicas
Cuando el denominador contiene raíces cúbicas, se emplean las identidades de la suma y la diferencia de cubos:
\[ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2), \]
y
\[ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). \]
Por ejemplo, si \(a\neq b\), entonces:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a-b}. \]
En efecto, poniendo \(x=\sqrt[3]{a}\) e \(y=\sqrt[3]{b}\), se tiene
\[ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3=a-b. \]
Por ejemplo:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{2}-1} = \frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1}{2-1} = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1. \]
Análogamente, si \(a\neq -b\), entonces:
\[ \frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}{a+b}. \]
Radicales con variables
Cuando el radicando contiene variables, las propiedades de los radicales deben aplicarse junto con las condiciones de existencia. En particular, si el índice es par, hay que imponer que el radicando sea no negativo.
Por ejemplo, el radical
\[ \sqrt{x-1} \]
está definido en los números reales si y solo si
\[ x-1\geq0, \]
es decir, para
\[ x\geq1. \]
Valor absoluto en la simplificación
Al simplificar radicales con variables reales, el valor absoluto aparece de forma natural en los radicales de índice par.
En efecto, para todo \(x\in\mathbb{R}\),
\[ \sqrt{x^2}=|x|. \]
Del mismo modo:
\[ \sqrt[4]{x^4}=|x|. \]
Además:
\[ \sqrt{x^6}=|x^3|. \]
Si, en cambio, el índice es impar, no aparece el valor absoluto. Por ejemplo:
\[ \sqrt[3]{x^3}=x. \]
Más en general:
\[ \sqrt[2k]{x^{2k}}=|x|,\qquad \sqrt[2k+1]{x^{2k+1}}=x. \]
Dominio de expresiones con varios radicales
Si una expresión contiene varios radicales, el dominio se obtiene imponiendo simultáneamente todas las condiciones de existencia. Dicho de otro modo, el dominio es la intersección de las condiciones exigidas por cada radical.
Consideremos, por ejemplo, la función
\[ f(x)=\sqrt{x+2}+\sqrt{4-x}. \]
El primer radical exige
\[ x+2\geq0, \]
es decir,
\[ x\geq -2. \]
El segundo radical exige
\[ 4-x\geq0, \]
es decir,
\[ x\leq4. \]
Por tanto, el dominio es
\[ [-2,4]. \]
Ecuaciones irracionales
Las ecuaciones irracionales son ecuaciones en las que la incógnita aparece bajo el signo de raíz. Para resolverlas es necesario prestar especial atención al dominio y a las posibles soluciones extrañas introducidas durante el proceso.
Un método general consta de los siguientes pasos.
- Se determinan las condiciones de existencia de todos los radicales presentes.
- Se aísla, cuando es posible, uno de los radicales.
- Se elevan ambos miembros a la potencia oportuna.
- Se resuelve la ecuación algebraica obtenida.
- Se comprueban las soluciones candidatas en la ecuación inicial.
La comprobación final es indispensable, pues la elevación a potencia puede introducir soluciones extrañas.
Ejemplo con una raíz cuadrada
Consideremos la ecuación
\[ \sqrt{2x-1}=x-2. \]
Antes de elevar al cuadrado, determinemos las condiciones necesarias. El radical exige
\[ 2x-1\geq0, \]
es decir,
\[ x\geq\frac{1}{2}. \]
Además, dado que una raíz cuadrada es siempre no negativa, el segundo miembro también debe ser no negativo:
\[ x-2\geq0. \]
Por tanto, debemos tener
\[ x\geq2. \]
Elevando al cuadrado ambos miembros, obtenemos
\[ 2x-1=(x-2)^2. \]
Desarrollando:
\[ 2x-1=x^2-4x+4. \]
Llevando todos los términos al segundo miembro:
\[ x^2-6x+5=0. \]
De donde
\[ x=1 \quad \text{o bien} \quad x=5. \]
El valor \(x=1\) no satisface la condición \(x\geq2\), por lo que se descarta. Comprobemos \(x=5\) en la ecuación inicial:
\[ \sqrt{2\cdot5-1}=5-2. \]
En efecto:
\[ \sqrt{9}=3. \]
Por tanto, la única solución es
\[ x=5. \]
Ejemplo con dos radicales
Consideremos ahora la ecuación
\[ \sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1. \]
Las condiciones de existencia son
\[ x+5\geq0 \qquad\text{y}\qquad x\geq0. \]
Por tanto, el dominio es
\[ x\geq0. \]
Aislemos el primer radical:
\[ \sqrt{x+5}=\sqrt{x}+1. \]
Elevemos al cuadrado:
\[ x+5=(\sqrt{x}+1)^2. \]
Desarrollando el segundo miembro:
\[ x+5=x+2\sqrt{x}+1. \]
Por tanto:
\[ 4=2\sqrt{x}. \]
De donde
\[ \sqrt{x}=2 \]
y, por tanto,
\[ x=4. \]
Comprobemos en la ecuación inicial:
\[ \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1. \]
La solución es, por tanto,
\[ x=4. \]
Para practicar con más ejemplos, se puede pasar a la colección dedicada: