La regla de Ruffini es un procedimiento que permite dividir rápidamente un polinomio por un binomio de primer grado de la forma \(x-a\). A primera vista puede parecer un mero algoritmo abreviado de cálculo, pero su significado es mucho más profundo: constituye una forma compacta de la división de polinomios y, al mismo tiempo, una herramienta que relaciona el valor de un polinomio en un punto, el resto de la división y la presencia de factores lineales.
Por este motivo, la regla de Ruffini no debe estudiarse como una simple técnica mecánica. Permite comprender de manera concreta tres ideas fundamentales del álgebra: la división de polinomios, el teorema del resto y el teorema del factor.
- División de un polinomio por \(x-a\)
- Idea fundamental de la regla de Ruffini
- Enunciado de la regla de Ruffini
- Ejemplo de aplicación de la regla de Ruffini
- Demostración de la regla de Ruffini
- Teorema del resto
- Teorema del factor
- Uso de la regla de Ruffini para factorizar un polinomio
- El caso de los coeficientes nulos
- Ruffini y las raíces racionales
- Ruffini no encuentra todas las raíces
- División por \(ax+b\)
- Ejemplo con divisor no mónico
División de un polinomio por \(x-a\)
Sea \(P(x)\) un polinomio con coeficientes reales, o más en general con coeficientes en un cuerpo, y sea \(a\) un número fijo. Dividir \(P(x)\) por \(x-a\) consiste en hallar un polinomio \(Q(x)\) y una constante \(r\) tales que
\[ P(x)=(x-a)Q(x)+r. \]
Como \(x-a\) tiene grado \(1\), el resto debe tener grado menor que \(1\), por lo que es necesariamente una constante. La regla de Ruffini permite determinar de forma eficiente el cociente \(Q(x)\) y el resto \(r\) sin necesidad de efectuar cada vez la división larga de polinomios, siempre que el divisor sea un binomio de primer grado mónico.
Idea fundamental de la regla de Ruffini
Consideremos un polinomio de grado \(n\):
\[ P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0, \]
con \(c_n\neq 0\). Al dividir \(P(x)\) por \(x-a\), el cociente tendrá grado \(n-1\). Lo escribimos en la forma
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Sustituyendo esta expresión de \(Q(x)\) en la relación \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) y desarrollando el producto, se obtiene:
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1} \\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots \\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Igualando los coeficientes con los de \(P(x)\), se obtiene el sistema de relaciones de recurrencia
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{n-2}=c_{n-1}+ab_{n-1},\\ b_{n-3}=c_{n-2}+ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ b_0=c_1+ab_1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Estas relaciones constituyen el núcleo de la regla de Ruffini. El procedimiento consiste en bajar el primer coeficiente y, a continuación, multiplicar cada coeficiente obtenido por \(a\) y sumar el resultado al coeficiente siguiente.
Enunciado de la regla de Ruffini
Sea \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0\) un polinomio de grado \(n\). Para dividir \(P(x)\) por \(x-a\), se consideran ordenadamente los coeficientes \(c_n,\ c_{n-1},\ \ldots,\ c_1,\ c_0\) y se construye la sucesión
\[ \begin{cases} b_{n-1}=c_n,\\ b_{k-1}=c_k+ab_k \quad \text{para } k=n-1,n-2,\ldots,1,\\ r=c_0+ab_0. \end{cases} \]
Entonces \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), donde
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
El número \(r\) es el resto de la división.
Ejemplo de aplicación de la regla de Ruffini
Dividamos \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-5\) por \(x-2\). En este caso \(a=2\) y los coeficientes del polinomio son \(2,\ -3,\ 4,\ -5\). Aplicando la regla:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 2 & -3 & 4 & -5\\ & & 4 & 2 & 12\\ \hline & 2 & 1 & 6 & 7 \end{array} \]
Los tres primeros números de la última fila son los coeficientes del cociente, y el último es el resto. Por tanto \(Q(x)=2x^2+x+6\) y \(r=7\), es decir,
\[ 2x^3-3x^2+4x-5=(x-2)(2x^2+x+6)+7. \]
Demostración de la regla de Ruffini
La regla de Ruffini no es un truco: es la escritura abreviada de la comparación de coeficientes en la división \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\).
Por el teorema de la división de polinomios, existen un único cociente \(Q(x)\) y un único resto \(r\) tales que \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\). Como el divisor tiene grado \(1\), el cociente tiene grado \(n-1\). Escribimos, pues,
\[ Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0. \]
Desarrollando \((x-a)Q(x)\):
\[ \begin{aligned} (x-a)Q(x) ={}& xQ(x)-aQ(x)\\ ={}& b_{n-1}x^n+b_{n-2}x^{n-1}+\cdots+b_1x^2+b_0x\\ &-ab_{n-1}x^{n-1}-ab_{n-2}x^{n-2}-\cdots-ab_1x-ab_0. \end{aligned} \]
Sumando el resto \(r\), obtenemos
\[ \begin{aligned} P(x)= {} & b_{n-1}x^n+(b_{n-2}-ab_{n-1})x^{n-1}\\ & +(b_{n-3}-ab_{n-2})x^{n-2}+\cdots\\ & +(b_0-ab_1)x+(r-ab_0). \end{aligned} \]
Como dos polinomios son iguales si y solo si todos sus coeficientes correspondientes son iguales, comparando con \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) se obtiene:
\[ \begin{cases} c_n=b_{n-1},\\ c_{n-1}=b_{n-2}-ab_{n-1},\\ c_{n-2}=b_{n-3}-ab_{n-2},\\ \quad \vdots\\ c_1=b_0-ab_1,\\ c_0=r-ab_0. \end{cases} \]
Despejando las \(b_k\) se recuperan exactamente las relaciones de recurrencia de la regla de Ruffini.
Teorema del resto
El teorema del resto afirma que el resto de la división de \(P(x)\) por \(x-a\) es igual a \(P(a)\).
Demostración. De \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\), evaluando en \(x=a\) se obtiene \(P(a)=(a-a)Q(a)+r=r\). Luego el resto coincide con el valor del polinomio en el punto \(a\).
Teorema del factor
Del teorema del resto se obtiene de inmediato el teorema del factor: \(x-a\) divide a \(P(x)\) si y solo si \(P(a)=0\).
\[ x-a \text{ divide a } P(x) \quad \Longleftrightarrow \quad P(a)=0. \]
Demostración. De \(P(x)=(x-a)Q(x)+r\) y del teorema del resto sabemos que \(r=P(a)\). Si \(x-a\) divide a \(P(x)\), entonces \(r=0\) y por tanto \(P(a)=0\). Recíprocamente, si \(P(a)=0\), entonces \(r=0\) y por consiguiente \(P(x)=(x-a)Q(x)\), es decir, \(x-a\) es un factor de \(P(x)\). Ambas implicaciones demuestran la equivalencia.
Uso de la regla de Ruffini para factorizar un polinomio
Una de las aplicaciones principales de la regla de Ruffini es la factorización de polinomios. Si se encuentra un número \(a\) tal que \(P(a)=0\), entonces por el teorema del factor \(x-a\) divide a \(P(x)\). La regla de Ruffini permite obtener el cociente, esto es, el factor complementario en la factorización.
Consideremos \(P(x)=x^3-4x^2+x+6\). Probando \(x=2\):
\[ P(2)=8-16+2+6=0. \]
Luego \(x-2\) es un factor. Aplicamos Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6\\ & & 2 & -4 & -6\\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array} \]
Se obtiene \(P(x)=(x-2)(x^2-2x-3)\). Como \(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\), la factorización completa es
\[ x^3-4x^2+x+6=(x-2)(x-3)(x+1). \]
El caso de los coeficientes nulos
Al aplicar la regla de Ruffini, es imprescindible escribir todos los coeficientes del polinomio, incluidos los de los términos ausentes. Un término que no aparece en el polinomio corresponde a un coeficiente nulo.
Consideremos el polinomio \(P(x)=x^4-3x^2+2x-1\), en el que falta el término de grado \(3\). Para aplicar correctamente la regla de Ruffini hay que escribir
\[ P(x)=x^4+0x^3-3x^2+2x-1, \]
con coeficientes \(1,\ 0,\ -3,\ 2,\ -1\). Omitir el cero supondría desplazar la posición de los coeficientes restantes y obtener una división incorrecta.
Ruffini y las raíces racionales
En la práctica, la regla de Ruffini se utiliza con frecuencia junto con la búsqueda sistemática de raíces racionales de un polinomio. Cuando un polinomio tiene coeficientes enteros, sus posibles raíces racionales no son arbitrarias: están determinadas por los propios coeficientes del polinomio.
En concreto, si \(P(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_0\) tiene coeficientes enteros y \(\dfrac{p}{q}\), expresada en términos irreducibles, es una raíz racional de \(P(x)\), entonces \(p\) divide al término independiente \(c_0\) y \(q\) divide al coeficiente director \(c_n\). En el caso mónico (\(c_n=1\)), toda raíz racional debe ser un divisor entero del término independiente.
Demostración (Criterio de las raíces racionales). Supongamos que \(P\!\left(\dfrac{p}{q}\right)=0\), con \(p\) y \(q\) enteros primos entre sí y \(q\neq 0\). Entonces
\[ c_n\left(\frac{p}{q}\right)^n+c_{n-1}\left(\frac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+c_1\frac{p}{q}+c_0=0. \]
Multiplicando por \(q^n\):
\[ c_np^n+c_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+c_1pq^{n-1}+c_0q^n=0. \]
Pasando \(c_0q^n\) al segundo miembro, el primer miembro es divisible por \(p\), por lo que \(c_0q^n\) también lo es. Como \(p\) y \(q^n\) son primos entre sí, se concluye que \(p\mid c_0\). De manera análoga, aislando \(c_np^n\), se obtiene que \(q\mid c_n\).
Ejemplo completo (Factorización con la regla de Ruffini). Factoricemos \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\). Al ser el polinomio mónico, las posibles raíces enteras son los divisores del término independiente \(-6\):
\[ \pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6. \]
Calculamos \(P(1)=1-6+11-6=0\). Por tanto \(x-1\) es un factor. Aplicamos Ruffini:
\[ \begin{array}{c|rrrr} 1 & 1 & -6 & 11 & -6\\ & & 1 & -5 & 6\\ \hline & 1 & -5 & 6 & 0 \end{array} \]
Se obtiene \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)\). Como \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\), la factorización completa es
\[ x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3). \]
Ruffini no encuentra todas las raíces
Es importante evitar un error frecuente: la regla de Ruffini no es un método universal para hallar todas las raíces de un polinomio. Permite dividir un polinomio por un binomio de la forma \(x-a\) y factorizarlo cuando se conoce una raíz \(a\), pero no proporciona ningún medio automático para localizar raíces irracionales o complejas.
Si un polinomio no tiene raíces racionales, la búsqueda sistemática entre los divisores del término independiente no conduce a ningún resultado. Por ejemplo, \(x^2+1\) no tiene raíces reales y no puede descomponerse en factores lineales reales.
División por \(ax+b\)
La regla de Ruffini se aplica a la división por un binomio mónico \(x-a\). Un binomio general \(ax+b\) con \(a\neq 0\) puede reescribirse como
\[ ax+b=a\!\left(x-\left(-\frac{b}{a}\right)\right), \]
cuya raíz es \(x=-\dfrac{b}{a}\). Para comprobar si \(ax+b\) divide a \(P(x)\) basta, por tanto, con verificar si \(P\!\left(-\dfrac{b}{a}\right)=0\).
Conviene tener presente, no obstante, que dividir por \(ax+b\) no es lo mismo que dividir por \(x+\dfrac{b}{a}\), ya que ambos divisores difieren en el factor constante \(a\). La raíz es la misma, pero el cociente varía en consecuencia.
Ejemplo con divisor no mónico
Dividamos \(P(x)=2x^2-3x-2\) por \(2x+1\). El divisor se anula en \(x=-\dfrac{1}{2}\). Comprobamos:
\[ P\!\left(-\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{4}-3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-2=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}-2=0. \]
Por tanto \(2x+1\) divide a \(P(x)\), y en efecto \(2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2)\). Para aplicar la regla de Ruffini se trabaja con el binomio mónico \(x+\dfrac{1}{2}\): el cociente resultante difiere del que corresponde a la división por \(2x+1\), pero la comprobación de la divisibilidad se realiza en el mismo punto \(x=-\dfrac{1}{2}\).
La regla de Ruffini es mucho más que un atajo de cálculo. Surge directamente de la división de polinomios y condensa en forma operativa la comparación de coeficientes en la división por un binomio de primer grado.
Su significado teórico se pone de manifiesto, sobre todo, a través del teorema del resto y del teorema del factor. Dividir un polinomio por \(x-a\), calcular \(P(a)\), determinar si \(a\) es una raíz y verificar si \(x-a\) es un factor son distintas facetas de una misma estructura algebraica.
Por ello, la regla de Ruffini no debe recordarse únicamente como una tabla que hay que completar, sino como un puente entre el cálculo y la teoría: por un lado simplifica la división de polinomios; por el otro permite leer la factorización de un polinomio a través de sus raíces.