Una colección progresiva de 20 ejercicios resueltos sobre sistemas de ecuaciones de segundo grado, concebida para aprender a resolver sistemas no lineales mediante sustitución, igualación y el uso de identidades algebraicas.
Los ejercicios están ordenados de forma gradual: se parte de sistemas muy sencillos hasta llegar a problemas más complejos con varias soluciones, radicales y sistemas incompatibles.
En cada resolución se muestran todos los pasos fundamentales, prestando atención tanto a los cálculos como a la comprobación final de las soluciones obtenidas.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=4. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Resolución
Ambas ecuaciones expresan el valor de \(y\). Para que el sistema quede satisfecho, los dos valores deben coincidir.
Igualamos, pues, los segundos miembros:
\[ x^2=4. \]
Buscamos los números cuyo cuadrado es igual a \(4\). Obtenemos:
\[ x=2 \qquad \text{o bien} \qquad x=-2. \]
De la segunda ecuación sabemos que:
\[ y=4. \]
Luego los pares solución son:
\[ (2,4) \qquad \text{y} \qquad (-2,4). \]
Por tanto:
\[ S=\{(-2,4),(2,4)\}. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Resolución
También en este caso ambas ecuaciones proporcionan el valor de \(y\). Igualamos los segundos miembros:
\[ x^2=x+2. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ x^2-x-2=0. \]
Factorizamos el trinomio:
\[ x^2-x-2=(x-2)(x+1). \]
Obtenemos así:
\[ (x-2)(x+1)=0. \]
Un producto es nulo cuando al menos uno de sus factores es nulo. Por tanto:
\[ x=2 \qquad \text{o bien} \qquad x=-1. \]
Calculamos ahora el valor de \(y\) usando:
\[ y=x+2. \]
Si \(x=2\), obtenemos:
\[ y=2+2=4. \]
Si \(x=-1\), obtenemos:
\[ y=-1+2=1. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-1,1),(2,4)\}. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Resolución
De la primera ecuación despejamos \(y\):
\[ y=5-x. \]
Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\[ x(5-x)=6. \]
Desarrollamos el producto:
\[ 5x-x^2=6. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ x^2-5x+6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Luego:
\[ x=2 \qquad \text{o bien} \qquad x=3. \]
Obtenemos los valores correspondientes de \(y\).
Si \(x=2\):
\[ y=5-2=3. \]
Si \(x=3\):
\[ y=5-3=2. \]
Por tanto:
\[ S=\{(2,3),(3,2)\}. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x-y=1,\\ xy=12. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Resolución
De la primera ecuación despejamos:
\[ x=y+1. \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ (y+1)y=12. \]
Desarrollando obtenemos:
\[ y^2+y=12. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ y^2+y-12=0. \]
Factorizamos:
\[ y^2+y-12=(y+4)(y-3). \]
Luego:
\[ y=-4 \qquad \text{o bien} \qquad y=3. \]
Calculamos ahora \(x\).
Si \(y=-4\):
\[ x=-4+1=-3. \]
Si \(y=3\):
\[ x=3+1=4. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-3,-4),(4,3)\}. \]
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ x+y=7. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Resolución
De la segunda ecuación despejamos:
\[ y=7-x. \]
Sustituimos en la primera:
\[ x^2+(7-x)^2=25. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (7-x)^2=x^2-14x+49. \]
Obtenemos así:
\[ x^2+x^2-14x+49=25. \]
Reducimos:
\[ 2x^2-14x+49=25. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2x^2-14x+24=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x^2-7x+12=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-7x+12=(x-3)(x-4). \]
De donde:
\[ x=3 \qquad \text{o bien} \qquad x=4. \]
Hallamos los valores de \(y\).
Si \(x=3\):
\[ y=7-3=4. \]
Si \(x=4\):
\[ y=7-4=3. \]
Por tanto:
\[ S=\{(3,4),(4,3)\}. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y=12,\\ x+y=6. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Resolución
De la segunda ecuación despejamos \(y\):
\[ y=6-x. \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ x^2+(6-x)=12. \]
Simplificando:
\[ x^2-x+6=12. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
Luego:
\[ x=3 \qquad \text{o bien} \qquad x=-2. \]
Calculamos los valores correspondientes de \(y\).
Si \(x=3\):
\[ y=6-3=3. \]
Si \(x=-2\):
\[ y=6-(-2)=8. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-2,8),(3,3)\}. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2-1,\\ y=2x+2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Resolución
Ambas ecuaciones expresan \(y\). Igualamos los segundos miembros:
\[ x^2-1=2x+2. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ x^2-2x-3=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-2x-3=(x-3)(x+1). \]
Luego:
\[ x=3 \qquad \text{o bien} \qquad x=-1. \]
Calculamos \(y\) usando la ecuación lineal:
\[ y=2x+2. \]
Si \(x=3\):
\[ y=2\cdot 3+2=8. \]
Si \(x=-1\):
\[ y=2\cdot(-1)+2=0. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-1,0),(3,8)\}. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x-y=1. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Resolución
De la segunda ecuación despejamos:
\[ x=y+1. \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ (y+1)^2+y^2=13. \]
Desarrollamos:
\[ y^2+2y+1+y^2=13. \]
Reducimos:
\[ 2y^2+2y+1=13. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2y^2+2y-12=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ y^2+y-6=0. \]
Factorizamos:
\[ y^2+y-6=(y+3)(y-2). \]
Luego:
\[ y=-3 \qquad \text{o bien} \qquad y=2. \]
Calculamos \(x\) a partir de \(x=y+1\).
Si \(y=-3\):
\[ x=-3+1=-2. \]
Si \(y=2\):
\[ x=2+1=3. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-2,-3),(3,2)\}. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2-y=8,\\ x+y=4. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Resolución
De la segunda ecuación obtenemos:
\[ y=4-x. \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ x^2-(4-x)=8. \]
Prestamos atención al signo menos delante del paréntesis:
\[ x^2-4+x=8. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ x^2+x-12=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2+x-12=(x+4)(x-3). \]
Luego:
\[ x=-4 \qquad \text{o bien} \qquad x=3. \]
Calculamos \(y\) usando \(y=4-x\).
Si \(x=-4\):
\[ y=4-(-4)=8. \]
Si \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-4,8),(3,1)\}. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=10,\\ y=x+2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Resolución
La segunda ecuación nos da ya \(y\) en función de \(x\):
\[ y=x+2. \]
Sustituimos en la primera:
\[ x^2+(x+2)^2=10. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (x+2)^2=x^2+4x+4. \]
Así pues:
\[ x^2+x^2+4x+4=10. \]
Reducimos:
\[ 2x^2+4x+4=10. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2x^2+4x-6=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x^2+2x-3=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2+2x-3=(x+3)(x-1). \]
Luego:
\[ x=-3 \qquad \text{o bien} \qquad x=1. \]
Hallamos \(y\).
Si \(x=-3\):
\[ y=-3+2=-1. \]
Si \(x=1\):
\[ y=1+2=3. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-3,-1),(1,3)\}. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=20,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Resolución
De la segunda ecuación despejamos:
\[ x=y+2. \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ (y+2)^2+y^2=20. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Así pues:
\[ y^2+4y+4+y^2=20. \]
Reducimos:
\[ 2y^2+4y+4=20. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2y^2+4y-16=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ y^2+2y-8=0. \]
Factorizamos:
\[ y^2+2y-8=(y+4)(y-2). \]
De donde:
\[ y=-4 \qquad \text{o bien} \qquad y=2. \]
Obtenemos \(x\) usando \(x=y+2\).
Si \(y=-4\):
\[ x=-4+2=-2. \]
Si \(y=2\):
\[ x=2+2=4. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-2,-4),(4,2)\}. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x+y=1,\\ x^2+y^2=13. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Resolución
De la primera ecuación despejamos:
\[ y=1-x. \]
Sustituimos en la segunda ecuación:
\[ x^2+(1-x)^2=13. \]
Desarrollamos:
\[ (1-x)^2=x^2-2x+1. \]
Así pues:
\[ x^2+x^2-2x+1=13. \]
Reducimos:
\[ 2x^2-2x+1=13. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2x^2-2x-12=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x^2-x-6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-x-6=(x-3)(x+2). \]
De donde:
\[ x=3 \qquad \text{o bien} \qquad x=-2. \]
Calculamos \(y\) usando \(y=1-x\).
Si \(x=3\):
\[ y=1-3=-2. \]
Si \(x=-2\):
\[ y=1-(-2)=3. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-2,3),(3,-2)\}. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} y=x^2-4x,\\ y=-3. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Resolución
La segunda ecuación proporciona directamente el valor de \(y\):
\[ y=-3. \]
Sustituimos este valor en la primera ecuación:
\[ -3=x^2-4x. \]
Pasamos todo a un solo miembro:
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Luego:
\[ x=1 \qquad \text{o bien} \qquad x=3. \]
En ambos casos el valor de \(y\) es el mismo, a saber:
\[ y=-3. \]
Obtenemos así los pares:
\[ (1,-3) \qquad \text{y} \qquad (3,-3). \]
Por tanto:
\[ S=\{(1,-3),(3,-3)\}. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y=10,\\ y=x+4. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Resolución
La segunda ecuación nos da ya \(y\) en función de \(x\):
\[ y=x+4. \]
Sustituimos en la primera:
\[ x^2+(x+4)=10. \]
Obtenemos:
\[ x^2+x+4=10. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ x^2+x-6=0. \]
Factorizamos:
\[ x^2+x-6=(x+3)(x-2). \]
Luego:
\[ x=-3 \qquad \text{o bien} \qquad x=2. \]
Calculamos los valores correspondientes de \(y\).
Si \(x=-3\):
\[ y=-3+4=1. \]
Si \(x=2\):
\[ y=2+4=6. \]
Por tanto:
\[ S=\{(-3,1),(2,6)\}. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=5,\\ xy=2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Resolución
El sistema contiene la suma de cuadrados y el producto \(xy\). Usamos la identidad:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Puesto que:
\[ x^2+y^2=5 \qquad \text{y} \qquad xy=2, \]
obtenemos:
\[ (x+y)^2=5+2\cdot 2=9. \]
Luego:
\[ x+y=3 \qquad \text{o bien} \qquad x+y=-3. \]
Estudiamos por separado los dos casos.
Si:
\[ x+y=3 \qquad \text{y} \qquad xy=2, \]
los dos números son \(1\) y \(2\). Obtenemos por tanto:
\[ (1,2) \qquad \text{y} \qquad (2,1). \]
Si en cambio:
\[ x+y=-3 \qquad \text{y} \qquad xy=2, \]
los dos números son \(-1\) y \(-2\). Obtenemos por tanto:
\[ (-1,-2) \qquad \text{y} \qquad (-2,-1). \]
Por tanto:
\[ S=\{(-2,-1),(-1,-2),(1,2),(2,1)\}. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x+y=4,\\ x^2+y^2=10. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Resolución
De la primera ecuación despejamos:
\[ y=4-x. \]
Sustituimos esta expresión en la segunda ecuación:
\[ x^2+(4-x)^2=10. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (4-x)^2=x^2-8x+16. \]
Así pues:
\[ x^2+x^2-8x+16=10. \]
Reducimos los términos semejantes:
\[ 2x^2-8x+16=10. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2x^2-8x+6=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x^2-4x+3=0. \]
Factorizamos el trinomio:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Por tanto:
\[ x=1 \qquad \text{o bien} \qquad x=3. \]
Calculamos los valores correspondientes de \(y\) usando \(y=4-x\).
Si \(x=1\):
\[ y=4-1=3. \]
Si \(x=3\):
\[ y=4-3=1. \]
Luego:
\[ S=\{(1,3),(3,1)\}. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Resolución
El sistema contiene \(x^2+y^2\) y \(xy\). Para obtener información sobre la suma \(x+y\), usamos la identidad:
\[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. \]
Del sistema sabemos que:
\[ x^2+y^2=25 \qquad \text{y} \qquad xy=12. \]
Luego:
\[ (x+y)^2=25+2\cdot 12=49. \]
De donde se obtienen dos posibilidades:
\[ x+y=7 \qquad \text{o bien} \qquad x+y=-7. \]
Estudiamos por separado los dos casos.
Si:
\[ x+y=7 \qquad \text{y} \qquad xy=12, \]
los dos números son \(3\) y \(4\). Obtenemos por tanto:
\[ (3,4) \qquad \text{y} \qquad (4,3). \]
Si en cambio:
\[ x+y=-7 \qquad \text{y} \qquad xy=12, \]
los dos números son \(-3\) y \(-4\). Obtenemos por tanto:
\[ (-3,-4) \qquad \text{y} \qquad (-4,-3). \]
Por tanto:
\[ S=\{(-4,-3),(-3,-4),(3,4),(4,3)\}. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=8,\\ x-y=2. \end{cases} \]
Resultado
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Resolución
De la segunda ecuación despejamos:
\[ x=y+2. \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ (y+2)^2+y^2=8. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (y+2)^2=y^2+4y+4. \]
Así pues:
\[ y^2+4y+4+y^2=8. \]
Reducimos:
\[ 2y^2+4y+4=8. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2y^2+4y-4=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ y^2+2y-2=0. \]
Esta ecuación no se puede factorizar con números enteros, por lo que aplicamos la fórmula cuadrática:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot(-2)}}{2}. \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=4+8=12. \]
Luego:
\[ y=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}. \]
Como \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\), obtenemos:
\[ y=\frac{-2\pm 2\sqrt{3}}{2} = -1\pm\sqrt{3}. \]
Despejamos ahora \(x\) usando \(x=y+2\).
Si:
\[ y=-1+\sqrt{3}, \]
entonces:
\[ x=-1+\sqrt{3}+2=1+\sqrt{3}. \]
Si:
\[ y=-1-\sqrt{3}, \]
entonces:
\[ x=-1-\sqrt{3}+2=1-\sqrt{3}. \]
Por tanto:
\[ S= \left\{ \left(1+\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right), \left(1-\sqrt{3},-1-\sqrt{3}\right) \right\}. \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=1,\\ x+y=3. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\varnothing. \]
Resolución
De la segunda ecuación despejamos:
\[ y=3-x. \]
Sustituimos en la primera ecuación:
\[ x^2+(3-x)^2=1. \]
Desarrollamos el cuadrado:
\[ (3-x)^2=x^2-6x+9. \]
Así pues:
\[ x^2+x^2-6x+9=1. \]
Reducimos:
\[ 2x^2-6x+9=1. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ 2x^2-6x+8=0. \]
Dividimos entre \(2\):
\[ x^2-3x+4=0. \]
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7. \]
Como \(\Delta<0\), la ecuación no tiene soluciones reales.
En consecuencia, el sistema no admite soluciones reales:
\[ S=\varnothing. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Resolver el sistema:
\[ \begin{cases} x^2+y^2=13,\\ x^2-y^2=5. \end{cases} \]
Resultado
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]
Resolución
En este sistema aparecen \(x^2+y^2\) y \(x^2-y^2\). Conviene sumar y restar las dos ecuaciones para despejar por separado \(x^2\) e \(y^2\).
Sumamos miembro a miembro:
\[ (x^2+y^2)+(x^2-y^2)=13+5. \]
En el primer miembro, \(+y^2\) y \(-y^2\) se cancelan:
\[ 2x^2=18. \]
Luego:
\[ x^2=9. \]
De donde:
\[ x=3 \qquad \text{o bien} \qquad x=-3. \]
Ahora restamos la segunda ecuación de la primera:
\[ (x^2+y^2)-(x^2-y^2)=13-5. \]
En el primer miembro, \(x^2\) se cancela y obtenemos:
\[ 2y^2=8. \]
Luego:
\[ y^2=4. \]
De donde:
\[ y=2 \qquad \text{o bien} \qquad y=-2. \]
Como las ecuaciones dependen únicamente de \(x^2\) e \(y^2\), todas las combinaciones de signos son válidas.
Por tanto:
\[ S=\{(-3,-2),(-3,2),(3,-2),(3,2)\}. \]