En esta página estudiaremos las subsucesiones, es decir, sucesiones obtenidas extrayendo algunos términos de una sucesión dada, sin alterar el orden en que aparecen.
El concepto de subsucesión es fundamental en el estudio de las sucesiones numéricas, pues permite analizar el comportamiento de una sucesión observando solo una parte de sus términos. En particular, las subsucesiones resultan muy útiles para estudiar la convergencia, la divergencia y las oscilaciones de una sucesión.
A lo largo de todo el artículo consideraremos sucesiones reales, esto es, sucesiones de la forma
\[ a:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, \]
y denotaremos sus términos mediante \(a_n\), cuando \(n\) varía en \(\mathbb{N}\).
En todo el texto suponemos que \(\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}\).
Índice
- Definición de subsucesión
- Interpretación intuitiva
- Ejemplos de subsucesiones
- Cómo reconocer una subsucesión
- Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite
- Subsucesiones y no convergencia
- Subsucesiones de sucesiones divergentes al infinito
Definición de subsucesión
Sea \((a_n)\) una sucesión real. Una subsucesión de \((a_n)\) es una sucesión obtenida eligiendo una sucesión estrictamente creciente de índices naturales
\[ k_0<k_1<k_2<\dots \]
y considerando los términos correspondientes de la sucesión inicial:
\[ a_{k_0},a_{k_1},a_{k_2},\dots \]
En símbolos, una subsucesión de \((a_n)\) suele denotarse mediante
\[ (a_{k_n}), \]
donde \((k_n)\) es una sucesión de números naturales tal que
\[ k_n<k_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La condición \(k_n<k_{n+1}\) es esencial: significa que los índices elegidos deben crecer estrictamente. De este modo los términos se extraen de la sucesión original respetando su orden natural.
Definición equivalente
Una subsucesión de \((a_n)\) también puede definirse mediante una función
\[ \varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \]
estrictamente creciente. En tal caso la subsucesión es
\[ (a_{\varphi(n)}). \]
Ambas definiciones son equivalentes: basta con poner
\[ k_n=\varphi(n). \]
En cualquiera de los dos casos, el punto fundamental es que los índices deben aumentar estrictamente.
Atención. Una subsucesión no es una sucesión formada eligiendo términos al azar. Es necesario que los términos elegidos respeten el orden en que aparecen en la sucesión de partida.
Por ejemplo, si consideramos los términos
\[ a_5,a_2,a_8, \]
estos no pueden formar el comienzo de una subsucesión, porque los índices no están en orden creciente.
En cambio, los términos
\[ a_2,a_5,a_8 \]
sí pueden formar el comienzo de una subsucesión, porque los índices \(2,5,8\) son estrictamente crecientes.
Interpretación intuitiva
Una subsucesión se obtiene eligiendo términos de la sucesión original y conservándolos en el mismo orden.
Por ejemplo, dada una sucesión
\[ a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\dots, \]
podemos elegir únicamente los términos de índice par:
\[ a_0,a_2,a_4,a_6,\dots \]
Esta es una subsucesión de la sucesión inicial.
También podemos elegir únicamente los términos de índice impar:
\[ a_1,a_3,a_5,a_7,\dots \]
Esta también es una subsucesión.
En general, una subsucesión observa la sucesión de partida a lo largo de una sucesión creciente de índices.
Propiedad de los índices de una subsucesión
Si \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, entonces
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Demostración. Como \(k_0\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ k_0\ge 0. \]
Además, dado que \((k_n)\) es estrictamente creciente y toma valores naturales, de \(k_n<k_{n+1}\) se deduce
\[ k_{n+1}\ge k_n+1. \]
Probemos por inducción que \(k_n\ge n\) para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Para \(n=0\) ya hemos observado que \(k_0\ge 0\). Supongamos ahora que \(k_n\ge n\). Entonces
\[ k_{n+1}\ge k_n+1\ge n+1. \]
Por consiguiente, por el principio de inducción,
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Esta propiedad muestra que los índices de una subsucesión tienden necesariamente a infinito.
Ejemplos de subsucesiones
Veamos algunos ejemplos fundamentales.
Ejemplo 1. Consideremos la sucesión
\[ a_n=n. \]
Si elegimos los índices pares, es decir,
\[ k_n=2n, \]
obtenemos la subsucesión
\[ a_{k_n}=a_{2n}=2n. \]
Por tanto
\[ (a_{2n})=(0,2,4,6,\dots). \]
Esta es una subsucesión de \((a_n)\), porque los índices
\[ 0,2,4,6,\dots \]
son estrictamente crecientes.
Ejemplo 2. Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Si elegimos los índices pares \(k_n=2n\), obtenemos
\[ a_{k_n}=a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Así pues, la subsucesión de los términos de índice par es
\[ (a_{2n})=(1,1,1,1,\dots). \]
Si, en cambio, elegimos los índices impares \(k_n=2n+1\), obtenemos
\[ a_{k_n}=a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Así pues, la subsucesión de los términos de índice impar es
\[ (a_{2n+1})=(-1,-1,-1,-1,\dots). \]
Este ejemplo es muy importante: la sucesión \(((-1)^n)\) no converge, pero posee subsucesiones convergentes.
Ejemplo 3. Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
Si elegimos los índices
\[ k_n=n^2, \]
obtenemos
\[ a_{k_n}=a_{n^2}=\frac{1}{n^2+1}. \]
Por tanto, \(\left(\displaystyle\frac{1}{n^2+1}\right)\) es una subsucesión de \(\left(\displaystyle\frac{1}{n+1}\right)\).
Los índices elegidos son
\[ 0,1,4,9,16,\dots \]
y forman una sucesión estrictamente creciente. En efecto,
\[ 0<1<4<9<16<\dots. \]
Por consiguiente, la sucesión \((a_{n^2})\) es efectivamente una subsucesión de \((a_n)\).
Cómo reconocer una subsucesión
Para establecer si una sucesión \((b_n)\) es una subsucesión de una sucesión \((a_n)\), hay que comprobar si existe una sucesión estrictamente creciente de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Ejemplo. Consideremos la sucesión
\[ a_n=n^2. \]
La sucesión
\[ b_n=(n+1)^2 \]
es una subsucesión de \((a_n)\). En efecto, basta elegir
\[ k_n=n+1. \]
Entonces
\[ a_{k_n}=a_{n+1}=(n+1)^2=b_n. \]
Como \(k_n=n+1\) es estrictamente creciente, \((b_n)\) es una subsucesión de \((a_n)\).
Contraejemplo. Consideremos de nuevo la sucesión
\[ a_n=n. \]
La sucesión
\[ b_n=-n \]
no es una subsucesión de \((a_n)\), porque todos los términos de \((a_n)\) son números naturales, mientras que \(b_n\) toma valores negativos para \(n\ge 1\).
Por tanto, no puede existir ninguna sucesión de índices naturales \((k_n)\) tal que
\[ b_n=a_{k_n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Atención. No basta con que los términos de \((b_n)\) pertenezcan al conjunto de los valores que toma \((a_n)\). Es necesario que aparezcan en el orden correcto y que puedan asociarse a una sucesión estrictamente creciente de índices.
Por ejemplo, consideremos
\[ a_n=(-1)^n. \]
La sucesión constante \(b_n=1\) es una subsucesión de \((a_n)\), pues se obtiene eligiendo los índices pares.
En cambio, la sucesión
\[ 1,-1,1,-1,\dots \]
es la propia sucesión, es decir, la subsucesión trivial obtenida al elegir \(k_n=n\).
Toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite
El resultado más importante sobre las subsucesiones es el siguiente.
Teorema. Si una sucesión real \((a_n)\) converge a un número real \(\ell\), entonces toda subsucesión \((a_{k_n})\) suya converge al mismo límite \(\ell\).
Demostración. Supongamos que
\[ a_n\to \ell. \]
Sea \((a_{k_n})\) una subsucesión de \((a_n)\), con \((k_n)\) estrictamente creciente.
Por la definición de límite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
Como \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales, se tiene
\[ k_n\ge n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Así pues, si \(n\ge N\), entonces
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Aplicando la definición de límite al índice \(k_n\), obtenemos
\[ |a_{k_n}-\ell|<\varepsilon. \]
Esto vale para todo \(n\ge N\). Por tanto
\[ a_{k_n}\to \ell. \]
Hemos demostrado así que toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite que la sucesión original.
Consecuencia
Si una sucesión posee dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión de partida no converge.
Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que \((a_n)\) converge a un número real \(\ell\).
Entonces, por el teorema que acabamos de demostrar, toda subsucesión de \((a_n)\) debería converger a \(\ell\).
Pero si existen dos subsucesiones que convergen a dos límites distintos, llegamos a una contradicción.
Por tanto, la sucesión \((a_n)\) no puede converger.
Subsucesiones y no convergencia
Las subsucesiones proporcionan un método muy eficaz para demostrar que una sucesión no converge.
La idea es sencilla: si logramos encontrar dos subsucesiones de la misma sucesión que convergen a límites distintos, entonces la sucesión original no puede tener límite.
Ejemplo fundamental
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
La subsucesión de los índices pares es
\[ a_{2n}=(-1)^{2n}=1. \]
Por tanto
\[ a_{2n}\to 1. \]
La subsucesión de los índices impares es
\[ a_{2n+1}=(-1)^{2n+1}=-1. \]
Por tanto
\[ a_{2n+1}\to -1. \]
Hemos encontrado dos subsucesiones de la misma sucesión que convergen a dos límites distintos:
\[ 1\ne -1. \]
Por consiguiente, la sucesión \(((-1)^n)\) no converge.
Otro ejemplo
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{1+(-1)^n}{2}. \]
Para los índices pares se tiene
\[ a_{2n}=\frac{1+(-1)^{2n}}{2}=\frac{1+1}{2}=1. \]
Para los índices impares se tiene
\[ a_{2n+1}=\frac{1+(-1)^{2n+1}}{2}=\frac{1-1}{2}=0. \]
Por tanto
\[ a_{2n}\to 1 \]
mientras que
\[ a_{2n+1}\to 0. \]
Como las dos subsucesiones convergen a límites distintos, la sucesión \((a_n)\) no converge.
Atención. Encontrar una subsucesión convergente no basta para concluir que la sucesión de partida converge.
Por ejemplo, la sucesión \(((-1)^n)\) posee la subsucesión constante
\[ a_{2n}=1, \]
que converge a \(1\). Sin embargo, la sucesión \(((-1)^n)\) no converge.
Para demostrar la convergencia de la sucesión original no basta con examinar una sola subsucesión: hay que controlar el comportamiento de todos los términos, eventualmente mediante criterios adecuados.
Subsucesiones de sucesiones divergentes al infinito
También para las sucesiones divergentes a infinito existe una conexión importante con las subsucesiones.
Teorema. Si \(a_n\to+\infty\), entonces toda subsucesión \((a_{k_n})\) diverge a \(+\infty\).
Demostración. Supongamos que \(a_n\to+\infty\).
Por definición, para todo \(M\in\mathbb{R}\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_n>M. \]
Sea \((a_{k_n})\) una subsucesión de \((a_n)\). Como \(k_n\ge n\), si \(n\ge N\), entonces
\[ k_n\ge n\ge N. \]
Por tanto
\[ a_{k_n}>M. \]
Esto vale para todo \(n\ge N\). Por consiguiente
\[ a_{k_n}\to +\infty. \]
Caso \(a_n\to -\infty\)
De manera análoga, si
\[ a_n\to -\infty, \]
entonces toda subsucesión \((a_{k_n})\) diverge a \(-\infty\).
En efecto, para todo \(m\in\mathbb{R}\), de \(a_n\to -\infty\) se sigue que existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ a_n<m. \]
Si \(n\ge N\), entonces \(k_n\ge n\ge N\), y por tanto
\[ a_{k_n}<m. \]
Por consiguiente
\[ a_{k_n}\to -\infty. \]
Conclusión
Las subsucesiones son una herramienta fundamental para estudiar el comportamiento asintótico de una sucesión, pues permiten aislar partes significativas de la sucesión sin alterar el orden de sus términos.
En resumen, una subsucesión de \((a_n)\) es una sucesión de la forma
\[ (a_{k_n}), \]
donde \((k_n)\) es una sucesión estrictamente creciente de números naturales.
Si una sucesión converge a un límite real \(\ell\), entonces toda subsucesión suya converge al mismo límite \(\ell\). En consecuencia, si una sucesión posee dos subsucesiones que convergen a límites distintos, entonces la sucesión no converge.
En cambio, la existencia de una subsucesión convergente no implica que la sucesión de partida converja, como muestra el ejemplo de la sucesión \(((-1)^n)\).
Las subsucesiones son, por tanto, fundamentales tanto para reconocer el comportamiento local de una sucesión como para demostrar de manera rigurosa la falta de convergencia.