En esta página proponemos 20 ejercicios resueltos paso a paso sobre sucesiones acotadas. Los ejercicios están pensados para aprender a reconocer cuándo una sucesión está acotada superiormente, acotada inferiormente o acotada tanto inferior como superiormente.
En cada ejercicio trabajaremos con sucesiones reales definidas en \(\mathbb{N}\), donde
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}. \]
Recordemos que una sucesión \((a_n)\) está acotada superiormente si existe \(M\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Análogamente, está acotada inferiormente si existe \(m\in\mathbb{R}\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por último, una sucesión está acotada si está acotada tanto inferior como superiormente. De forma equivalente, \((a_n)\) está acotada si existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 0\le a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
La sucesión viene dada por
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \qquad n\in\mathbb{N}. \]
Puesto que en esta colección de ejercicios suponemos
\[ \mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}, \]
se tiene
\[ n\ge 0. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros, obtenemos
\[ n+1\ge 1. \]
Por tanto, el denominador \(n+1\) es siempre positivo y al menos igual a \(1\).
De \(n+1\ge 1\) se sigue que
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
Como
\[ a_n=\frac{1}{n+1}, \]
podemos escribir
\[ 0<a_n\le 1. \]
En particular, de \(a_n\le 1\) se sigue que \(1\) es una cota superior de la sucesión. Así pues, la sucesión está acotada superiormente.
Además, de \(a_n>0\) se sigue también que
\[ a_n\ge 0. \]
Por tanto, \(0\) es una cota inferior de la sucesión, y la sucesión está acotada inferiormente.
La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En particular, \(0\) es una cota inferior y \(1\) es una cota superior.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), tenemos
\[ n\ge 0. \]
Además
\[ n+1>0. \]
El numerador es, por tanto, no negativo, mientras que el denominador es positivo. En consecuencia
\[ \frac{n}{n+1}\ge 0. \]
Por tanto
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Esto prueba que la sucesión está acotada inferiormente.
Estudiemos ahora si la sucesión está acotada superiormente. Como
\[ n<n+1 \]
y como \(n+1>0\), dividiendo ambos miembros por \(n+1\) obtenemos
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Por consiguiente
\[ a_n<1. \]
En particular, \(1\) es una cota superior de la sucesión, ya que todo término es menor que \(1\). Así pues, la sucesión está acotada superiormente.
Hemos probado que
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1} \]
está acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. En efecto,
\[ |a_n|\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por tanto
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Solución
La sucesión es
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n+1}. \]
Para decidir si está acotada, conviene estimar el valor absoluto de sus términos.
Calculamos:
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n+1}\right|. \]
El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos, de modo que
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n|}{|n+1|}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ |(-1)^n|=1. \]
Además, puesto que \(n+1>0\), se cumple
\[ |n+1|=n+1. \]
Por tanto
\[ |a_n|=\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1\ge 1\), se tiene
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Por consiguiente
\[ |a_n|\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por la caracterización mediante el valor absoluto, una sucesión real está acotada si existe \(K>0\) tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En este caso podemos tomar \(K=1\).
La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=n+3 \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada inferiormente, pero no está acotada superiormente. Por tanto, no está acotada.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n+3. \]
Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ n\ge 0. \]
Sumando \(3\) a ambos miembros, obtenemos
\[ n+3\ge 3. \]
Como \(a_n=n+3\), se sigue que
\[ a_n\ge 3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por tanto, \(3\) es una cota inferior de la sucesión, y, en consecuencia, la sucesión está acotada inferiormente.
Comprobemos ahora si la sucesión está acotada superiormente.
Para que estuviera acotada superiormente, debería existir un número real \(M\) tal que
\[ a_n\le M \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Veamos que esto no ocurre.
Sea \(M\in\mathbb{R}\) un número real cualquiera. Como los números naturales no están acotados superiormente, podemos elegir \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>M-3. \]
Sumando \(3\) a ambos miembros, obtenemos
\[ n+3>M. \]
Pero \(a_n=n+3\), de modo que
\[ a_n>M. \]
Hemos probado que, sea cual sea \(M\in\mathbb{R}\), existe un término de la sucesión mayor que \(M\). Por tanto, la sucesión no está acotada superiormente.
Como está acotada inferiormente pero no superiormente, la sucesión no está acotada.
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=-n^2 \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada superiormente, pero no está acotada inferiormente. Por tanto, no está acotada.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=-n^2. \]
Como el cuadrado de un número real es siempre no negativo, para todo \(n\in\mathbb{N}\) se tiene
\[ n^2\ge 0. \]
Al multiplicar ambos miembros por \(-1\), la desigualdad cambia de sentido. Obtenemos así
\[ -n^2\le 0. \]
Como \(a_n=-n^2\), se sigue que
\[ a_n\le 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por tanto, \(0\) es una cota superior de la sucesión, y, en consecuencia, la sucesión está acotada superiormente.
Estudiemos ahora la acotación inferior.
Para que estuviera acotada inferiormente, debería existir un número real \(m\) tal que
\[ a_n\ge m \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Veamos que ningún número real \(m\) puede ser una cota inferior.
Sea \(m\in\mathbb{R}\). Queremos hallar un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n<m. \]
Basta elegir \(n\in\mathbb{N}\) suficientemente grande para que
\[ n^2>|m|+1. \]
Esta elección es posible porque \(n^2\) crece sin cota al crecer \(n\).
De
\[ n^2>|m|+1 \]
se sigue en particular que
\[ n^2>|m|. \]
Puesto que \(|m|\ge -m\) para todo \(m\in\mathbb{R}\), obtenemos
\[ n^2>-m. \]
Al multiplicar por \(-1\), la desigualdad cambia de sentido:
\[ -n^2<m. \]
Como \(a_n=-n^2\), se sigue que
\[ a_n<m. \]
Hemos probado que, para todo \(m\in\mathbb{R}\), existe un término de la sucesión menor que \(m\). Por tanto, la sucesión no está acotada inferiormente.
Como está acotada superiormente pero no inferiormente, la sucesión no está acotada.
Ejercicio 6 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En particular, \(0\) es una cota inferior y \(1\) es una cota superior.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2}{n^2+1}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ n^2\ge 0. \]
Además
\[ n^2+1>0. \]
El numerador es, por tanto, no negativo, mientras que el denominador es positivo. En consecuencia
\[ \frac{n^2}{n^2+1}\ge 0. \]
Por tanto
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Esto prueba que la sucesión está acotada inferiormente.
Estudiemos ahora si la sucesión está acotada superiormente. Como
\[ n^2<n^2+1 \]
y como \(n^2+1>0\), dividiendo ambos miembros por \(n^2+1\) obtenemos
\[ \frac{n^2}{n^2+1}<1. \]
Por consiguiente
\[ a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En particular, \(1\) es una cota superior de la sucesión, y, en consecuencia, la sucesión está acotada superiormente.
Hemos probado que
\[ 0\le a_n<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=(-1)^n n \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión no está acotada superiormente ni acotada inferiormente. Por tanto, no está acotada.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n n. \]
El factor \((-1)^n\) cambia de signo según la paridad de \(n\).
Si \(n\) es par, entonces \((-1)^n=1\), y por tanto
\[ a_n=n. \]
Si, en cambio, \(n\) es impar, entonces \((-1)^n=-1\), y por tanto
\[ a_n=-n. \]
Estudiemos primero la acotación superior.
Para demostrar que la sucesión no está acotada superiormente, debemos probar que, sea cual sea \(M\in\mathbb{R}\), existe un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Sea, pues, \(M\in\mathbb{R}\). Elegimos un índice par \(n=2q\) suficientemente grande para que
\[ 2q>M. \]
Esta elección es posible porque los números naturales pares crecen sin cota.
Para tal índice \(n=2q\), al ser \(n\) par, se tiene
\[ (-1)^n=1. \]
Por tanto
\[ a_n=(-1)^n n=n=2q>M. \]
Hemos probado, así, que ningún número real \(M\) puede ser una cota superior. La sucesión no está acotada superiormente.
Estudiemos ahora la acotación inferior.
Para demostrar que la sucesión no está acotada inferiormente, debemos probar que, sea cual sea \(m\in\mathbb{R}\), existe un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n<m. \]
Sea, pues, \(m\in\mathbb{R}\). Elegimos un índice impar \(n=2q+1\) suficientemente grande para que
\[ -(2q+1)<m. \]
Esta elección es posible porque los números de la forma \(-(2q+1)\) decrecen sin cota al crecer \(q\).
Para tal índice \(n=2q+1\), al ser \(n\) impar, se tiene
\[ (-1)^n=-1. \]
Por tanto
\[ a_n=(-1)^n n=-n=-(2q+1)<m. \]
Hemos probado, así, que ningún número real \(m\) puede ser una cota inferior. La sucesión no está acotada inferiormente.
Como la sucesión no está acotada superiormente ni acotada inferiormente, no está acotada.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1} \]
está acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. En efecto,
\[ |a_n|<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por tanto, en particular,
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n\frac{n}{n+1}. \]
Como la sucesión contiene el factor alternante \((-1)^n\), es natural estimar el valor absoluto de sus términos.
Calculamos:
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n}{n+1}\right|. \]
Usando las propiedades del valor absoluto, obtenemos
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n}{n+1}\right|. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ |(-1)^n|=1. \]
Además \(n\ge 0\) y \(n+1>0\), de modo que
\[ \left|\frac{n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}. \]
Por tanto
\[ |a_n|=\frac{n}{n+1}. \]
Como
\[ n<n+1 \]
y \(n+1>0\), dividiendo por \(n+1\) obtenemos
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Por consiguiente
\[ |a_n|<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
En particular, también se cumple
\[ |a_n|\le 1. \]
Por la caracterización mediante el valor absoluto, como existe \(K>0\), por ejemplo \(K=1\), tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), la sucesión está acotada.
De la desigualdad \(|a_n|\le 1\) se sigue también que
\[ -1\le a_n\le 1. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+2}. \]
Para estudiar su acotación, reescribimos el numerador en función del denominador. Observemos que
\[ 2n+1=2(n+2)-3. \]
En efecto
\[ 2(n+2)-3=2n+4-3=2n+1. \]
Por tanto
\[ a_n=\frac{2(n+2)-3}{n+2}. \]
Separando la fracción, obtenemos
\[ a_n = \frac{2(n+2)}{n+2}-\frac{3}{n+2} = 2-\frac{3}{n+2}. \]
Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ n+2\ge 2. \]
Por tanto
\[ \frac{3}{n+2}>0. \]
De
\[ a_n=2-\frac{3}{n+2} \]
y de \(\displaystyle\frac{3}{n+2}>0\), se sigue que
\[ a_n<2. \]
Por tanto, \(2\) es una cota superior de la sucesión, y la sucesión está acotada superiormente.
Busquemos ahora una cota inferior. Como \(n+2\ge 2\), al dividir \(3\) por un número mayor o igual que \(2\) obtenemos
\[ \frac{3}{n+2}\le \frac{3}{2}. \]
Al cambiar de signo, la desigualdad invierte su sentido:
\[ -\frac{3}{n+2}\ge -\frac{3}{2}. \]
Sumando \(2\) a ambos miembros, obtenemos
\[ 2-\frac{3}{n+2}\ge 2-\frac{3}{2}. \]
Como
\[ 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}, \]
se sigue que
\[ a_n\ge \frac{1}{2}. \]
Por tanto, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) es una cota inferior de la sucesión, y la sucesión está acotada inferiormente.
Hemos probado que
\[ \frac{1}{2}\le a_n<2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 1<a_n\le 3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+3}{n^2+1}. \]
Para estudiar su acotación, reescribimos el numerador de modo que aparezca el denominador:
\[ n^2+3=(n^2+1)+2. \]
Por tanto
\[ a_n=\frac{(n^2+1)+2}{n^2+1}. \]
Separando la fracción, obtenemos
\[ a_n = \frac{n^2+1}{n^2+1} + \frac{2}{n^2+1} = 1+\frac{2}{n^2+1}. \]
Como \(n^2\ge 0\), se tiene
\[ n^2+1\ge 1. \]
En consecuencia
\[ \frac{2}{n^2+1}>0. \]
De
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1} \]
se sigue entonces que
\[ a_n>1. \]
En particular, \(1\) es una cota inferior de la sucesión, y, en consecuencia, la sucesión está acotada inferiormente.
Busquemos ahora una cota superior. De \(n^2+1\ge 1\) se sigue que
\[ \frac{2}{n^2+1}\le 2. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros, obtenemos
\[ 1+\frac{2}{n^2+1}\le 3. \]
Como
\[ a_n=1+\frac{2}{n^2+1}, \]
se sigue que
\[ a_n\le 3. \]
Por tanto, \(3\) es una cota superior de la sucesión, y la sucesión está acotada superiormente.
Hemos probado que
\[ 1<a_n\le 3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ -2\le a_n<3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{3n^2-2}{n^2+1}. \]
Para estudiar su acotación, reescribimos el numerador de modo que aparezca el denominador. Observemos que
\[ 3n^2-2=3(n^2+1)-5. \]
En efecto
\[ 3(n^2+1)-5=3n^2+3-5=3n^2-2. \]
Por tanto
\[ a_n=\frac{3(n^2+1)-5}{n^2+1}. \]
Separando la fracción, obtenemos
\[ a_n = \frac{3(n^2+1)}{n^2+1}-\frac{5}{n^2+1} = 3-\frac{5}{n^2+1}. \]
Como \(n^2\ge 0\), se tiene
\[ n^2+1\ge 1. \]
En particular, el denominador \(n^2+1\) es siempre positivo. Por tanto
\[ \frac{5}{n^2+1}>0. \]
De
\[ a_n=3-\frac{5}{n^2+1} \]
y de \(\displaystyle\frac{5}{n^2+1}>0\), se sigue que
\[ a_n<3. \]
Por tanto, \(3\) es una cota superior de la sucesión, y la sucesión está acotada superiormente.
Busquemos ahora una cota inferior. De \(n^2+1\ge 1\) se sigue que
\[ \frac{5}{n^2+1}\le 5. \]
Al cambiar de signo, la desigualdad invierte su sentido:
\[ -\frac{5}{n^2+1}\ge -5. \]
Sumando \(3\) a ambos miembros, obtenemos
\[ 3-\frac{5}{n^2+1}\ge 3-5. \]
Como
\[ 3-5=-2, \]
se sigue que
\[ a_n\ge -2. \]
Por tanto, \(-2\) es una cota inferior de la sucesión, y la sucesión está acotada inferiormente.
Hemos probado que
\[ -2\le a_n<3 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 12 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ n\ge 0. \]
Además
\[ n^2+1>0. \]
El numerador es no negativo, mientras que el denominador es positivo. En consecuencia
\[ \frac{n}{n^2+1}\ge 0. \]
Por tanto
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, pues, acotada inferiormente.
Estudiemos ahora si la sucesión está acotada superiormente. Queremos probar que
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2}. \]
Como \(n^2+1>0\), podemos multiplicar ambos miembros por \(2(n^2+1)\), que es positivo. La desigualdad anterior equivale a
\[ 2n\le n^2+1. \]
Pasando todo al segundo miembro, obtenemos
\[ 0\le n^2-2n+1. \]
Pero
\[ n^2-2n+1=(n-1)^2. \]
Así pues, la desigualdad se convierte en
\[ 0\le (n-1)^2. \]
Esto es siempre cierto, porque el cuadrado de un número real es siempre no negativo.
Por consiguiente
\[ \frac{n}{n^2+1}\le \frac{1}{2} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por tanto, \(\displaystyle\frac{1}{2}\) es una cota superior de la sucesión, y la sucesión está acotada superiormente.
Hemos probado que
\[ 0\le a_n\le \frac{1}{2} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 13 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1} \]
está acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. En efecto,
\[ |a_n|\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por tanto
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n\frac{n+2}{n+1}. \]
Como está presente el factor alternante \((-1)^n\), conviene estudiar el valor absoluto de los términos.
Calculamos:
\[ |a_n| = \left|(-1)^n\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Usando las propiedades del valor absoluto, obtenemos
\[ |a_n| = |(-1)^n|\left|\frac{n+2}{n+1}\right|. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), se cumple
\[ |(-1)^n|=1. \]
Además \(n+1>0\) y \(n+2>0\), de modo que
\[ \left|\frac{n+2}{n+1}\right|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Por tanto
\[ |a_n|=\frac{n+2}{n+1}. \]
Reescribamos ahora la fracción:
\[ \frac{n+2}{n+1} = \frac{(n+1)+1}{n+1} = 1+\frac{1}{n+1}. \]
Como \(n+1\ge 1\), se tiene
\[ \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Sumando \(1\) a ambos miembros, obtenemos
\[ 1+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Como
\[ |a_n|=1+\frac{1}{n+1}, \]
se sigue que
\[ |a_n|\le 2. \]
Por la caracterización mediante el valor absoluto, como existe \(K>0\), por ejemplo \(K=2\), tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), la sucesión está acotada.
En particular, de la desigualdad \(|a_n|\le 2\) se sigue que
\[ -2\le a_n\le 2. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada inferiormente, pero no está acotada superiormente. Por tanto, no está acotada.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{n^3}{n^2+1}. \]
Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), se tiene
\[ n\ge 0. \]
Por tanto
\[ n^3\ge 0. \]
Además
\[ n^2+1>0. \]
El numerador es no negativo, mientras que el denominador es positivo. Por consiguiente
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge 0. \]
Por tanto
\[ a_n\ge 0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, pues, acotada inferiormente.
Veamos ahora que la sucesión no está acotada superiormente.
Para \(n\ge 1\), se tiene
\[ n^2+1\le 2n^2. \]
En efecto, si \(n\ge 1\), entonces \(1\le n^2\), y por tanto
\[ n^2+1\le n^2+n^2=2n^2. \]
Como \(n^2+1\le 2n^2\) y todas las cantidades en juego son positivas, al pasar a los recíprocos la desigualdad invierte su sentido:
\[ \frac{1}{n^2+1}\ge \frac{1}{2n^2}. \]
Multiplicando por \(n^3\ge 0\), obtenemos
\[ \frac{n^3}{n^2+1}\ge \frac{n^3}{2n^2}. \]
Simplificando,
\[ \frac{n^3}{2n^2}=\frac{n}{2}. \]
Por tanto, para todo \(n\ge 1\),
\[ a_n\ge \frac{n}{2}. \]
Sea ahora \(M\in\mathbb{R}\). Queremos hallar un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Elegimos \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n\ge 1 \qquad \text{y} \qquad \frac{n}{2}>M. \]
Esta elección es posible porque \(\displaystyle\frac{n}{2}\) crece sin cota al crecer \(n\).
Para tal índice, usando la estimación anterior, se tiene
\[ a_n\ge \frac{n}{2}>M. \]
Hemos probado, así, que, sea cual sea \(M\in\mathbb{R}\), existe un término de la sucesión mayor que \(M\). Por tanto, la sucesión no está acotada superiormente.
Como la sucesión está acotada inferiormente pero no superiormente, no está acotada.
Ejercicio 15 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=n^2-4n \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada inferiormente, pero no está acotada superiormente. Por tanto, no está acotada.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=n^2-4n. \]
Para estudiar la acotación inferior, completamos el cuadrado:
\[ n^2-4n=n^2-4n+4-4. \]
Como
\[ n^2-4n+4=(n-2)^2, \]
obtenemos
\[ a_n=(n-2)^2-4. \]
Ahora bien, para todo \(n\in\mathbb{N}\), el cuadrado \((n-2)^2\) es no negativo. Por tanto
\[ (n-2)^2\ge 0. \]
Restando \(4\) a ambos miembros, obtenemos
\[ (n-2)^2-4\ge -4. \]
Como
\[ a_n=(n-2)^2-4, \]
se sigue que
\[ a_n\ge -4. \]
Por tanto, \(-4\) es una cota inferior de la sucesión, y la sucesión está acotada inferiormente.
Veamos ahora que la sucesión no está acotada superiormente.
Para \(n\ge 8\), se tiene
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Comprobemos esta estimación. La desigualdad
\[ n^2-4n\ge \frac{n^2}{2} \]
equivale a
\[ \frac{n^2}{2}-4n\ge 0. \]
Sacando factor común \(n\), obtenemos
\[ n\left(\frac{n}{2}-4\right)\ge 0. \]
Si \(n\ge 8\), entonces
\[ \frac{n}{2}-4\ge 0, \]
y, como \(n\ge 0\), el producto es no negativo. Por tanto, para todo \(n\ge 8\),
\[ a_n=n^2-4n\ge \frac{n^2}{2}. \]
Sea ahora \(M\in\mathbb{R}\). Queremos hallar un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Como \(\displaystyle\frac{n^2}{2}\) crece sin cota al crecer \(n\), podemos elegir \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n\ge 8 \qquad \text{y} \qquad \frac{n^2}{2}>M. \]
Para tal índice, de la estimación anterior se sigue que
\[ a_n\ge \frac{n^2}{2}>M. \]
Por tanto, sea cual sea \(M\in\mathbb{R}\), existe un término de la sucesión mayor que \(M\). En consecuencia, la sucesión no está acotada superiormente.
Como la sucesión está acotada inferiormente pero no superiormente, no está acotada.
Ejercicio 16 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}. \]
Como \(n+1>n\) y la función raíz cuadrada es creciente en \([0,+\infty)\), se tiene
\[ \sqrt{n+1}>\sqrt{n}. \]
Restando \(\sqrt{n}\) a ambos miembros, obtenemos
\[ \sqrt{n+1}-\sqrt{n}>0. \]
Por tanto
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En particular, \(0\) es una cota inferior de la sucesión, y, en consecuencia, la sucesión está acotada inferiormente.
Estudiemos ahora si la sucesión está acotada superiormente. Para estimar \(a_n\), racionalizamos:
\[ a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
En el numerador usamos la identidad
\[ (x-y)(x+y)=x^2-y^2. \]
Obtenemos así
\[ a_n= \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}. \]
Como \(n\ge 0\), se tiene
\[ \sqrt{n+1}\ge 1 \qquad \text{y} \qquad \sqrt{n}\ge 0. \]
Por tanto
\[ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}\ge 1. \]
En consecuencia
\[ \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\le 1. \]
Como
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}, \]
se sigue que
\[ a_n\le 1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior de la sucesión, y la sucesión está acotada superiormente.
Hemos probado que
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 17 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Más precisamente,
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n. \]
Como
\[ n^2+1>n^2, \]
y como la raíz cuadrada es creciente en \([0,+\infty)\), obtenemos
\[ \sqrt{n^2+1}>\sqrt{n^2}. \]
Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), se tiene \(n\ge 0\), de modo que
\[ \sqrt{n^2}=n. \]
Por tanto
\[ \sqrt{n^2+1}>n. \]
Restando \(n\) a ambos miembros, se sigue que
\[ \sqrt{n^2+1}-n>0. \]
Por tanto
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, pues, acotada inferiormente, por ejemplo por \(0\).
Estudiemos ahora si la sucesión está acotada superiormente. Racionalizamos la expresión:
\[ a_n=\sqrt{n^2+1}-n = \frac{(\sqrt{n^2+1}-n)(\sqrt{n^2+1}+n)}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
En el numerador obtenemos
\[ (\sqrt{n^2+1})^2-n^2=n^2+1-n^2=1. \]
Por tanto
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}. \]
Como \(n\ge 0\), se tiene
\[ \sqrt{n^2+1}\ge 1 \qquad \text{y} \qquad n\ge 0. \]
Por tanto
\[ \sqrt{n^2+1}+n\ge 1. \]
De ello se sigue que
\[ \frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}\le 1. \]
Como
\[ a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}+n}, \]
obtenemos
\[ a_n\le 1. \]
Por tanto, \(1\) es una cota superior de la sucesión, y la sucesión está acotada superiormente.
Hemos probado que
\[ 0<a_n\le 1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1} \]
está acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Por ejemplo,
\[ -1\le a_n\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}. \]
Para todo \(n\in\mathbb{N}\), el término \((-1)^n\) solo puede tomar los valores \(1\) y \(-1\). Por tanto
\[ -1\le (-1)^n\le 1. \]
Además, como \(n+1\ge 1\), se tiene
\[ 0<\frac{1}{n+1}\le 1. \]
De esta desigualdad se sigue, en particular, que
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Sumemos ahora las dos estimaciones:
\[ -1\le (-1)^n\le 1 \]
y
\[ 0\le \frac{1}{n+1}\le 1. \]
Sumando miembro a miembro, obtenemos
\[ -1+0\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 1+1. \]
Por tanto
\[ -1\le (-1)^n+\frac{1}{n+1}\le 2. \]
Como
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n+1}, \]
se sigue que
\[ -1\le a_n\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Por tanto, \(-1\) es una cota inferior y \(2\) es una cota superior de la sucesión. La sucesión está, por tanto, acotada.
Ejercicio 19 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1} \]
está acotada.
Resultado
La sucesión está acotada. Por ejemplo,
\[ |a_n|\le 2 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}. \]
Para demostrar que la sucesión está acotada, estimamos el valor absoluto:
\[ |a_n| = \left|\frac{(-1)^n n^2+n}{n^2+1}\right|. \]
Como \(n^2+1>0\), podemos escribir
\[ |a_n| = \frac{|(-1)^n n^2+n|}{n^2+1}. \]
Empleamos ahora la desigualdad triangular:
\[ |x+y|\le |x|+|y|. \]
En nuestro caso,
\[ |(-1)^n n^2+n| \le |(-1)^n n^2|+|n|. \]
Como
\[ |(-1)^n|=1 \]
y \(n\ge 0\), obtenemos
\[ |(-1)^n n^2|=n^2 \qquad \text{y} \qquad |n|=n. \]
Por tanto
\[ |(-1)^n n^2+n|\le n^2+n. \]
En consecuencia
\[ |a_n| \le \frac{n^2+n}{n^2+1}. \]
Queremos ahora acotar esta fracción por arriba. Puesto que \(n\in\mathbb{N}\), para todo \(n\) se cumple
\[ n\le n^2+1. \]
En efecto, esta desigualdad equivale a
\[ n^2-n+1\ge 0, \]
y se cumple para todo \(n\in\mathbb{N}\). Por ejemplo, si \(n=0\) es inmediata, mientras que si \(n\ge 1\) entonces \(n^2\ge n\), de donde \(n^2+1\ge n\).
De \(n\le n^2+1\) se sigue que
\[ n^2+n\le n^2+(n^2+1)=2n^2+1. \]
Como
\[ 2n^2+1\le 2n^2+2=2(n^2+1), \]
obtenemos
\[ n^2+n\le 2(n^2+1). \]
Dividiendo por \(n^2+1>0\), se sigue que
\[ \frac{n^2+n}{n^2+1}\le 2. \]
Por tanto
\[ |a_n|\le 2. \]
Como existe \(K>0\), por ejemplo \(K=2\), tal que
\[ |a_n|\le K \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), la sucesión está acotada.
Ejercicio 20 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1} \]
está acotada superiormente, acotada inferiormente y acotada.
Resultado
La sucesión no está acotada superiormente ni acotada inferiormente. Por tanto, no está acotada.
Solución
Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n n+\frac{1}{n+1}. \]
El término principal es \((-1)^n n\), que toma valores positivos cada vez mayores en los índices pares y valores negativos cada vez menores en los índices impares. El término
\[ \frac{1}{n+1} \]
es, en cambio, siempre positivo y está comprendido entre \(0\) y \(1\). Probemos de manera rigurosa que la sucesión no está acotada ni superior ni inferiormente.
Estudiemos primero la acotación superior. Sea \(M\in\mathbb{R}\). Queremos hallar un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>M. \]
Elegimos un índice par \(n=2q\). Entonces
\[ (-1)^n=(-1)^{2q}=1. \]
Para tales índices, la sucesión se convierte en
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}. \]
Como
\[ \frac{1}{2q+1}>0, \]
se sigue que
\[ a_{2q}=2q+\frac{1}{2q+1}>2q. \]
Elegimos ahora \(q\in\mathbb{N}\) suficientemente grande para que
\[ 2q>M. \]
Entonces
\[ a_{2q}>2q>M. \]
Hemos probado que, sea cual sea \(M\in\mathbb{R}\), existe un término de la sucesión mayor que \(M\). Por tanto, la sucesión no está acotada superiormente.
Estudiemos ahora la acotación inferior. Sea \(m\in\mathbb{R}\). Queremos hallar un índice \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n<m. \]
Elegimos un índice impar \(n=2q+1\). Entonces
\[ (-1)^n=(-1)^{2q+1}=-1. \]
Para tales índices, la sucesión se convierte en
\[ a_{2q+1}=-(2q+1)+\frac{1}{2q+2}. \]
Como
\[ 0<\frac{1}{2q+2}\le 1, \]
obtenemos
\[ a_{2q+1} = -(2q+1)+\frac{1}{2q+2} \le -(2q+1)+1. \]
Por tanto
\[ a_{2q+1}\le -2q. \]
Elegimos ahora \(q\in\mathbb{N}\) suficientemente grande para que
\[ -2q<m. \]
Esta elección es posible porque \(-2q\) tiende a \(-\infty\) al crecer \(q\).
Para tal elección de \(q\), se tiene
\[ a_{2q+1}\le -2q<m. \]
Hemos probado que, sea cual sea \(m\in\mathbb{R}\), existe un término de la sucesión menor que \(m\). Por tanto, la sucesión no está acotada inferiormente.
Como la sucesión no está acotada superiormente ni acotada inferiormente, no está acotada.