En esta colección proponemos 20 ejercicios resueltos sobre los límites de sucesiones numéricas, prestando especial atención a la distinción entre sucesiones convergentes, sucesiones divergentes y sucesiones oscilantes.
Cada ejercicio está resuelto paso a paso, recordando las definiciones fundamentales y mostrando cómo reconocer el comportamiento de la sucesión cuando el índice \(n\) tiende a \(+\infty\).
En todos los ejercicios consideramos sucesiones definidas para índices naturales \(n\geq 1\).
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=\frac{1}{n}. \]
Sus primeros términos son
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ \ldots \]
A medida que \(n\) crece, el denominador se hace cada vez mayor, mientras que el numerador permanece igual a \(1\). Por tanto, los términos se hacen cada vez más pequeños y se aproximan a \(0\).
Para demostrarlo mediante la definición, fijamos un número arbitrario
\[ \varepsilon>0. \]
Queremos hallar un índice \(n_\varepsilon\) tal que, para todo \(n\geq n_\varepsilon\), se cumpla
\[ \left|\frac1n-0\right|<\varepsilon. \]
Puesto que
\[ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n, \]
debemos imponer
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Esta desigualdad equivale a
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Elegimos, pues, \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Entonces, para todo \(n\geq n_\varepsilon\), se tiene
\[ n\geq n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
y, por tanto,
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Hemos demostrado que, para todo \(\varepsilon>0\), a partir de cierto índice todos los términos de la sucesión distan de \(0\) menos de \(\varepsilon\).
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac1n=0. \]
La sucesión es, pues, convergente.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
Resolución
Consideramos la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n+1}. \]
Reescribimos el término general del siguiente modo:
\[ \frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{n+1}\to0 \]
cuando \(n\to+\infty\), es de esperar que
\[ 1-\frac{1}{n+1}\to1. \]
Comprobémoslo mediante la definición. Debemos estudiar la distancia entre \(a_n\) y \(1\):
\[ |a_n-1|=\left|\frac{n}{n+1}-1\right|. \]
Calculamos:
\[ \frac{n}{n+1}-1=\frac{n-(n+1)}{n+1}=-\frac{1}{n+1}. \]
Por tanto,
\[ |a_n-1|=\left|-\frac{1}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}. \]
Fijado \(\varepsilon>0\), queremos que
\[ \frac{1}{n+1}<\varepsilon. \]
Esta desigualdad se cumple cuando
\[ n+1>\frac1\varepsilon, \]
es decir, cuando
\[ n>\frac1\varepsilon-1. \]
Eligiendo \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon-1, \]
para todo \(n\geq n_\varepsilon\) obtenemos
\[ |a_n-1|<\varepsilon. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n+1}=1. \]
La sucesión es convergente.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=3. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}3=3. \]
Resolución
La sucesión es constante:
\[ a_n=3 \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Todos los términos de la sucesión son iguales a \(3\). Así pues, la sucesión no se limita a aproximarse a \(3\): es siempre exactamente igual a \(3\).
Comprobémoslo mediante la definición. Debemos mostrar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe un índice \(n_\varepsilon\) tal que, para todo \(n\geq n_\varepsilon\),
\[ |a_n-3|<\varepsilon. \]
Como \(a_n=3\), tenemos
\[ |a_n-3|=|3-3|=0. \]
Pero
\[ 0<\varepsilon \]
para todo \(\varepsilon>0\).
Por tanto, la desigualdad se cumple para todo \(n\). Podemos elegir, por ejemplo,
\[ n_\varepsilon=1. \]
De ello se sigue que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=3. \]
La sucesión es, pues, convergente.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
Resolución
Reescribimos el término general separando las fracciones:
\[ a_n=\frac{2n+1}{n}=\frac{2n}{n}+\frac1n=2+\frac1n. \]
Puesto que
\[ \frac1n\to0, \]
es de esperar que
\[ 2+\frac1n\to2. \]
Comprobamos la distancia a \(2\):
\[ |a_n-2|=\left|2+\frac1n-2\right|=\frac1n. \]
Fijado \(\varepsilon>0\), queremos que
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Como
\[ |a_n-2|=\frac1n, \]
basta con imponer
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Esta desigualdad se cumple si
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Elegimos, pues, \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon. \]
Entonces, para todo \(n\geq n_\varepsilon\), resulta
\[ |a_n-2|<\varepsilon. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n+1}{n}=2. \]
La sucesión es convergente.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Resolución
Consideramos
\[ a_n=\frac{3n-2}{2n+5}. \]
El numerador y el denominador son polinomios de primer grado en \(n\). Cuando \(n\to+\infty\), el comportamiento principal lo determinan los términos de mayor grado:
\[ 3n \quad \text{y} \quad 2n. \]
Dividimos el numerador y el denominador entre \(n\):
\[ \frac{3n-2}{2n+5}=\frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}. \]
Puesto que
\[ \frac2n\to0 \qquad\text{y}\qquad \frac5n\to0, \]
obtenemos
\[ \frac{3-\displaystyle \frac2n}{2+\displaystyle \frac5n}\to\frac{3-0}{2+0}=\frac32. \]
Así pues,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{3n-2}{2n+5}=\frac32. \]
Como el límite es un número real finito, la sucesión es convergente.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=n. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es divergente a \(+\infty\) y
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=n. \]
Sus términos son
\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots \]
y se hacen arbitrariamente grandes.
Para demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty, \]
utilizamos la definición de divergencia a \(+\infty\). Debemos mostrar que, para todo \(M>0\), existe \(n_M\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ a_n>M. \]
Como \(a_n=n\), debemos obtener
\[ n>M. \]
Elegimos \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>M. \]
Entonces, si \(n\geq n_M\), se tiene
\[ n\geq n_M>M. \]
Por tanto,
\[ a_n=n>M. \]
Esto demuestra que la sucesión diverge a \(+\infty\).
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=n^2. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es divergente a \(+\infty\) y
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=n^2. \]
Sus primeros términos son
\[ 1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \ldots \]
y crecen sin límite.
Demostramos que la sucesión diverge a \(+\infty\). Fijamos un número arbitrario \(M>0\). Queremos hallar un índice \(n_M\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ n^2>M. \]
Como \(n\) es positivo, la desigualdad
\[ n^2>M \]
se cumple cuando
\[ n>\sqrt{M}. \]
Elegimos, pues, \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>\sqrt{M}. \]
Entonces, para todo \(n\geq n_M\), tenemos
\[ n\geq n_M>\sqrt{M}. \]
Elevando al cuadrado, obtenemos
\[ n^2>M. \]
Por tanto, para todo umbral positivo \(M\), a partir de cierto índice los términos de la sucesión superan a \(M\).
En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty. \]
La sucesión es divergente a \(+\infty\).
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=-n. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es divergente a \(-\infty\) y
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=-n. \]
Sus términos son
\[ -1,\ -2,\ -3,\ -4,\ \ldots \]
y se hacen cada vez más pequeños.
Para demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty, \]
utilizamos la definición de divergencia a \(-\infty\). Fijamos \(M>0\). Debemos hallar \(n_M\in\mathbb N\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ -n<-M. \]
Multiplicando ambos miembros por \(-1\), el sentido de la desigualdad cambia:
\[ n>M. \]
Elegimos entonces \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>M. \]
Si \(n\geq n_M\), entonces
\[ n\geq n_M>M. \]
Por tanto,
\[ -n<-M. \]
Esto muestra que los términos de la sucesión se hacen menores que cualquier umbral negativo.
En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
La sucesión es divergente a \(-\infty\).
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=-2n+5. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es divergente a \(-\infty\) y
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=-2n+5. \]
El término dominante es \(-2n\), que tiende a \(-\infty\). El término constante \(5\) no altera el comportamiento en el infinito.
Demostrémoslo mediante la definición. Fijamos \(M>0\). Queremos hallar \(n_M\) tal que, para todo \(n\geq n_M\),
\[ -2n+5<-M. \]
Resolvemos la desigualdad:
\[ -2n+5<-M. \]
Restando \(5\) a ambos miembros, obtenemos
\[ -2n<-M-5. \]
Dividiendo entre \(-2\), el sentido de la desigualdad cambia:
\[ n>\frac{M+5}{2}. \]
Elegimos \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>\frac{M+5}{2}. \]
Entonces, para todo \(n\geq n_M\), se tiene
\[ -2n+5<-M. \]
Por tanto, la sucesión diverge a \(-\infty\).
En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-2n+5)=-\infty. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es oscilante.
Resolución
Consideramos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n. \]
Sus términos son
\[ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots \]
La sucesión oscila entre los valores \(-1\) y \(1\), por lo que no parece aproximarse a un único número real.
Consideremos los índices pares. Si \(n=2k\), entonces
\[ a_{2k}=(-1)^{2k}=1. \]
Así pues, la subsucesión de los términos de índice par es constante e igual a \(1\), de modo que
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Consideremos ahora los índices impares. Si \(n=2k-1\), entonces
\[ a_{2k-1}=(-1)^{2k-1}=-1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
Hemos hallado dos subsucesiones convergentes a límites distintos:
\[ 1 \qquad\text{y}\qquad -1. \]
Por consiguiente, la sucesión no puede ser convergente.
Además, está acotada, ya que para todo \(n\in\mathbb N\) se tiene
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Al estar acotada, no puede divergir ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\).
Así pues, la sucesión ni es convergente ni es divergente. Por tanto, es oscilante.
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es oscilante.
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=1+(-1)^n. \]
Estudiamos por separado los índices pares y los índices impares.
Si \(n=2k\), entonces
\[ a_{2k}=1+(-1)^{2k}=1+1=2. \]
Por tanto,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=2. \]
Si, en cambio, \(n=2k-1\), entonces
\[ a_{2k-1}=1+(-1)^{2k-1}=1-1=0. \]
Por tanto,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=0. \]
La sucesión posee dos subsucesiones con límites distintos:
\[ 2 \qquad\text{y}\qquad 0. \]
Por consiguiente, la sucesión no es convergente.
Además, sus términos son únicamente \(0\) y \(2\). Así pues, la sucesión está acotada:
\[ 0\leq a_n\leq 2 \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Como está acotada, no puede divergir ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\).
Por tanto, la sucesión es oscilante.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
El factor \((-1)^n\) hace oscilar el signo de los términos, pero el denominador \(n\) se hace cada vez mayor.
Estudiamos el valor absoluto:
\[ |a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{|(-1)^n|}{n}. \]
Puesto que
\[ |(-1)^n|=1, \]
se tiene
\[ |a_n|=\frac1n. \]
Como
\[ \frac1n\to0, \]
también \(a_n\) tiende a \(0\).
Comprobémoslo directamente. Fijado \(\varepsilon>0\), queremos que
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Pero
\[ |a_n-0|=|a_n|=\frac1n. \]
Basta, pues, con imponer
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Como ya hemos visto, esta condición se cumple para
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
Eligiendo \(n_\varepsilon\in\mathbb N\) tal que
\[ n_\varepsilon>\frac1\varepsilon, \]
para todo \(n\geq n_\varepsilon\) tenemos
\[ |a_n-0|<\varepsilon. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
La sucesión es convergente. Este ejemplo muestra que una sucesión puede oscilar en sus signos y, sin embargo, converger, siempre que la amplitud de la oscilación tienda a cero.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es divergente a \(+\infty\) y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+1}{n}=+\infty. \]
Resolución
Reescribimos el término general:
\[ a_n=\frac{n^2+1}{n}=n+\frac1n. \]
El término \(n\) tiende a \(+\infty\), mientras que el término \(\displaystyle \frac1n\) tiende a \(0\). El comportamiento dominante es, por tanto, el de \(n\).
Demostramos que \(a_n\to+\infty\). Fijado \(M>0\), queremos que
\[ n+\frac1n>M. \]
Puesto que
\[ \frac1n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb N\), se tiene
\[ n+\frac1n>n. \]
Así pues, si imponemos
\[ n>M, \]
obtenemos automáticamente
\[ n+\frac1n>M. \]
Elegimos \(n_M\in\mathbb N\) tal que
\[ n_M>M. \]
Entonces, para todo \(n\geq n_M\), resulta
\[ a_n=n+\frac1n>n\geq n_M>M. \]
Por tanto, la sucesión diverge a \(+\infty\).
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
Resolución
Consideramos
\[ a_n=\frac{n}{n^2+1}. \]
El denominador tiene grado \(2\), mientras que el numerador tiene grado \(1\). Para \(n\to+\infty\), el denominador crece más rápidamente que el numerador.
Dividimos el numerador y el denominador entre \(n^2\):
\[ \frac{n}{n^2+1} = \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}. \]
Puesto que
\[ \frac1n\to0 \qquad\text{y}\qquad \frac1{n^2}\to0, \]
obtenemos
\[ \frac{\frac1n}{1+\frac1{n^2}}\to\frac0{1+0}=0. \]
Por consiguiente,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n}{n^2+1}=0. \]
El límite es finito, por lo que la sucesión es convergente.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es oscilante.
Resolución
Consideramos
\[ a_n=\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right). \]
Calculamos algunos términos:
\[ a_1=\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1, \]
\[ a_2=\sin(\pi)=0, \]
\[ a_3=\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1, \]
\[ a_4=\sin(2\pi)=0. \]
Así pues, los términos se repiten según el esquema
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \ldots \]
La sucesión no se aproxima a un único número real.
En efecto, considerando los índices de la forma \(4k+1\), obtenemos
\[ a_{4k+1}=1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+1}=1. \]
Considerando, en cambio, los índices de la forma \(4k+2\), obtenemos
\[ a_{4k+2}=0. \]
Por tanto,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{4k+2}=0. \]
La sucesión posee dos subsucesiones convergentes a límites distintos. En consecuencia, no es convergente.
Además, para todo \(n\in\mathbb N\), se tiene
\[ -1\leq a_n\leq 1. \]
La sucesión está, pues, acotada y no puede divergir ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\).
Por tanto, es oscilante.
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es oscilante.
Resolución
La sucesión es
\[ a_n=n(-1)^n. \]
Estudiamos por separado los índices pares y los índices impares.
Si \(n=2k\), entonces
\[ a_{2k}=2k(-1)^{2k}=2k. \]
Por tanto,
\[ a_{2k}\to+\infty \]
cuando \(k\to+\infty\).
Si, en cambio, \(n=2k-1\), entonces
\[ a_{2k-1}=(2k-1)(-1)^{2k-1}=-(2k-1). \]
Por tanto,
\[ a_{2k-1}\to-\infty \]
cuando \(k\to+\infty\).
La sucesión no puede converger a un número real, porque una parte de sus términos crece sin límite positivo y otra parte decrece sin límite negativo.
No diverge a \(+\infty\), porque los términos de índice impar se hacen cada vez más negativos y, por tanto, no pueden ser, a partir de cierto punto, mayores que cualquier umbral positivo.
Tampoco diverge a \(-\infty\), porque los términos de índice par se hacen cada vez más positivos y, por tanto, no pueden ser, a partir de cierto punto, menores que cualquier umbral negativo.
Así pues, la sucesión ni es convergente ni diverge a \(+\infty\) o a \(-\infty\).
Por tanto, es oscilante.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es oscilante.
Resolución
Consideramos
\[ a_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
El factor
\[ \frac{n}{n+1} \]
tiende a \(1\), mientras que el factor \((-1)^n\) alterna el signo.
Estudiamos las subsucesiones par e impar.
Si \(n=2k\), entonces
\[ a_{2k}=\frac{(-1)^{2k}\,2k}{2k+1}=\frac{2k}{2k+1}. \]
Puesto que
\[ \frac{2k}{2k+1}\to1, \]
tenemos
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=1. \]
Si, en cambio, \(n=2k-1\), entonces
\[ a_{2k-1}=\frac{(-1)^{2k-1}(2k-1)}{2k}=-\frac{2k-1}{2k}. \]
Puesto que
\[ \frac{2k-1}{2k}\to1, \]
obtenemos
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=-1. \]
La sucesión posee, pues, dos subsucesiones convergentes a límites distintos:
\[ 1 \qquad\text{y}\qquad -1. \]
Por consiguiente, la sucesión no es convergente.
Además, está acotada, ya que
\[ \left|\frac{(-1)^n n}{n+1}\right|=\frac{n}{n+1}<1. \]
Al estar acotada, no diverge ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\).
Así pues, la sucesión es oscilante.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es convergente y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Resolución
Consideramos
\[ a_n=\frac{n^2+3n}{2n^2-1}. \]
El numerador y el denominador son polinomios del mismo grado, es decir, de grado \(2\).
En estos casos, el límite es el cociente entre los coeficientes de los términos de mayor grado. Comprobémoslo dividiendo el numerador y el denominador entre \(n^2\):
\[ \frac{n^2+3n}{2n^2-1} = \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}. \]
Ahora bien,
\[ \frac3n\to0 \qquad\text{y}\qquad \frac1{n^2}\to0. \]
Por tanto,
\[ \frac{1+\frac3n}{2-\frac1{n^2}}\to\frac{1+0}{2-0}=\frac12. \]
En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+3n}{2n^2-1}=\frac12. \]
Como el límite es real y finito, la sucesión es convergente.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es divergente a \(+\infty\) y
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
Resolución
Consideramos
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}. \]
El numerador tiene grado \(3\), mientras que el denominador tiene grado \(2\). Así pues, el numerador crece más rápidamente que el denominador.
Dividimos el numerador y el denominador entre \(n^2\):
\[ \frac{n^3+1}{n^2+1} = \frac{n+\frac1{n^2}}{1+\frac1{n^2}}. \]
Para \(n\to+\infty\), tenemos
\[ n+\frac1{n^2}\to+\infty \]
y
\[ 1+\frac1{n^2}\to1. \]
Por tanto, la sucesión tiende a \(+\infty\).
Demostremos también una estimación sencilla. Para todo \(n\geq1\), se tiene
\[ n^2+1\leq 2n^2. \]
Además,
\[ n^3+1\geq n^3. \]
Por tanto,
\[ a_n=\frac{n^3+1}{n^2+1}\geq\frac{n^3}{2n^2}=\frac n2. \]
Puesto que
\[ \frac n2\to+\infty, \]
también \(a_n\to+\infty\).
En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^3+1}{n^2+1}=+\infty. \]
La sucesión es divergente a \(+\infty\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Estudiar el comportamiento de la sucesión
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ es par},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]
Determinar si es convergente, divergente u oscilante.
Resultado
La sucesión es oscilante.
Resolución
La sucesión está definida de manera distinta según que el índice \(n\) sea par o impar:
\[ a_n= \begin{cases} \dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ es par},\\[6pt] 2+\dfrac{1}{n} & \text{si } n \text{ es impar}. \end{cases} \]
Estudiamos la subsucesión de los índices pares. Si \(n=2k\), entonces
\[ a_{2k}=\frac{1}{2k}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{2k}\to0 \]
cuando \(k\to+\infty\), obtenemos
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k}=0. \]
Estudiamos ahora la subsucesión de los índices impares. Si \(n=2k-1\), entonces
\[ a_{2k-1}=2+\frac{1}{2k-1}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{2k-1}\to0, \]
se sigue que
\[ 2+\frac{1}{2k-1}\to2. \]
Por tanto,
\[ \lim_{k\to+\infty}a_{2k-1}=2. \]
La sucesión posee, pues, dos subsucesiones convergentes a límites distintos:
\[ 0 \qquad\text{y}\qquad 2. \]
Por este motivo, la sucesión no puede ser convergente.
Además, la sucesión está acotada. En efecto, para \(n\) par se tiene
\[ a_n=\frac1n, \]
de modo que \(0<a_n\leq \frac12\), mientras que para \(n\) impar se tiene
\[ a_n=2+\frac1n, \]
de modo que \(2<a_n\leq3\).
En cualquier caso, los términos permanecen comprendidos en un intervalo acotado. Por ejemplo,
\[ 0<a_n\leq3 \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Al estar acotada, la sucesión no puede divergir ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\).
Así pues, la sucesión no es convergente y no diverge ni a \(+\infty\) ni a \(-\infty\).
Por tanto, es oscilante.