El supremo y el ínfimo generalizan las nociones de máximo y mínimo, y constituyen una de las herramientas fundamentales para el estudio de los conjuntos numéricos.
En los siguientes ejercicios aprenderemos a determinar las cotas superiores, las cotas inferiores, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo mediante ejemplos resueltos y comentados paso a paso.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el conjunto de las cotas superiores, el conjunto de las cotas inferiores, el supremo y el ínfimo de:
\[ A=(2,7). \]
Resultado
\[ \sup A=7,\qquad \inf A=2. \]
Conjunto de las cotas superiores:
\[ [7,+\infty). \]
Conjunto de las cotas inferiores:
\[ (-\infty,2]. \]
Resolución
Los elementos del conjunto \(A=(2,7)\) son todos los números reales —y solo ellos— que están estrictamente comprendidos entre \(2\) y \(7\).
Por definición, una cota superior de \(A\) es un número real mayor o igual que todos los elementos del conjunto.
Como cada elemento de \(A\) es estrictamente menor que \(7\), el número \(7\) es una cota superior.
También lo es cualquier número mayor que \(7\). Por lo tanto, el conjunto de todas las cotas superiores es:
\[ [7,+\infty). \]
El supremo es la menor de las cotas superiores. Puesto que \(7\) es el primer elemento del conjunto de las cotas superiores, se concluye que:
\[ \sup A=7. \]
Consideremos ahora las cotas inferiores.
Una cota inferior es un número real menor o igual que todos los elementos del conjunto.
Como cada elemento de \(A\) es estrictamente mayor que \(2\), el número \(2\) es una cota inferior.
Asimismo, cualquier número menor que \(2\) sigue siendo una cota inferior. En consecuencia, el conjunto de todas las cotas inferiores es:
\[ (-\infty,2]. \]
El ínfimo es la mayor de las cotas inferiores. Por lo tanto:
\[ \inf A=2. \]
Observemos, finalmente, que \(2\notin A\) y \(7\notin A\). Por esta razón el conjunto no posee ni mínimo ni máximo, aun cuando tenga ínfimo y supremo.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el conjunto de las cotas superiores, el conjunto de las cotas inferiores, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de:
\[ A=[-3,4]. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Conjunto de las cotas superiores:
\[ [4,+\infty). \]
Conjunto de las cotas inferiores:
\[ (-\infty,-3]. \]
Resolución
Los elementos del conjunto \(A=[-3,4]\) son todos los números reales comprendidos entre \(-3\) y \(4\), incluidos los extremos.
Por lo tanto:
\[ -3\leq x\leq 4 \qquad \forall x\in A. \]
Como cada elemento del conjunto es menor o igual que \(4\), el número \(4\) es una cota superior de \(A\).
También son cotas superiores todos los números mayores que \(4\). De ello se deduce que el conjunto de las cotas superiores es:
\[ [4,+\infty). \]
La menor de las cotas superiores es \(4\). Por lo tanto:
\[ \sup A=4. \]
De forma análoga, como cada elemento de \(A\) es mayor o igual que \(-3\), el número \(-3\) es una cota inferior.
También son cotas inferiores todos los números menores que \(-3\). El conjunto de las cotas inferiores es, pues:
\[ (-\infty,-3]. \]
La mayor de las cotas inferiores es \(-3\), de modo que:
\[ \inf A=-3. \]
Observemos ahora que tanto \(4\) como \(-3\) pertenecen al conjunto.
En consecuencia:
\[ \max A=4, \qquad \min A=-3. \]
Este ejemplo muestra que, cuando el supremo pertenece al conjunto, coincide con el máximo, y cuando el ínfimo pertenece al conjunto, coincide con el mínimo.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el conjunto de las cotas superiores, el conjunto de las cotas inferiores, el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo de:
\[ A=[0,5). \]
Resultado
\[ \sup A=5, \qquad \inf A=\min A=0. \]
El máximo no existe.
Conjunto de las cotas superiores:
\[ [5,+\infty). \]
Conjunto de las cotas inferiores:
\[ (-\infty,0]. \]
Resolución
Los elementos de \(A=[0,5)\) satisfacen:
\[ 0\leq x<5. \]
En consecuencia, \(5\) es una cota superior del conjunto.
Además, cualquier número mayor que \(5\) sigue siendo una cota superior. El conjunto de las cotas superiores es, pues:
\[ [5,+\infty). \]
Ningún número menor que \(5\) puede ser una cota superior, ya que existen elementos del conjunto arbitrariamente próximos a \(5\).
Por lo tanto:
\[ \sup A=5. \]
En cuanto a las cotas inferiores, cada elemento del conjunto es mayor o igual que \(0\).
Así pues:
\[ (-\infty,0] \]
es el conjunto de todas las cotas inferiores.
La mayor de ellas es \(0\), de modo que:
\[ \inf A=0. \]
Como \(0\in A\), se sigue de inmediato:
\[ \min A=0. \]
En cambio, \(5\notin A\). Por esta razón el conjunto no posee máximo.
Ejercicio 4 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=1. \]
\[ \inf A=0. \]
El mínimo no existe.
Resolución
Los elementos del conjunto son:
\[ 1,\ \frac12,\ \frac13,\ \frac14,\ldots \]
Se trata de una sucesión estrictamente decreciente de números positivos.
El valor más grande es el primero:
\[ 1=\frac11. \]
Por lo tanto:
\[ \sup A=\max A=1. \]
Todos los elementos del conjunto son positivos, por lo que \(0\) es una cota inferior.
Veamos que es la mayor de las cotas inferiores.
Sea \(\varepsilon>0\). Por el principio de Arquímedes existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
De aquí se sigue:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Hemos encontrado, pues, un elemento de \(A\) menor que \(0+\varepsilon\).
Por la caracterización del ínfimo:
\[ \inf A=0. \]
Sin embargo, \(0\notin A\), de modo que el mínimo no existe.
Este es uno de los ejemplos clásicos en los que el ínfimo existe pero no pertenece al conjunto.
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
\[ \sup A=1. \]
El máximo no existe.
Resolución
Observemos en primer lugar que:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Los elementos del conjunto son, por tanto:
\[ \frac12,\ \frac23,\ \frac34,\ \frac45,\ldots \]
La sucesión es creciente, ya que el término \(\displaystyle \frac1{n+1}\) disminuye a medida que \(n\) aumenta.
El primer elemento es:
\[ \frac12. \]
Al ser la sucesión creciente, ningún elemento puede ser menor que \(\frac12\).
Además, \(\displaystyle\frac12\in A\), por lo que:
\[ \inf A=\min A=\frac12. \]
Para todo \(n\) se cumple:
\[ \frac{n}{n+1}<1. \]
Por consiguiente, \(1\) es una cota superior del conjunto.
Veamos que es la menor de las cotas superiores.
Sea \(\varepsilon>0\).
Por el principio de Arquímedes existe \(n\) tal que:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Entonces:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1} > 1-\varepsilon. \]
Por la caracterización del supremo se sigue que:
\[ \sup A=1. \]
Sin embargo, \(1\notin A\), de modo que el máximo no existe.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
\[ \inf A=-1. \]
El mínimo no existe.
Resolución
Conviene distinguir los casos en que \(n\) es par de aquellos en que \(n\) es impar.
Si \(n\) es par, entonces:
\[ (-1)^n+\frac1n = 1+\frac1n. \]
Obtenemos así los valores:
\[ \frac32,\ \frac54,\ \frac76,\ldots \]
Estos números son todos mayores que \(1\) y decrecen hacia \(1\).
El mayor se obtiene para \(n=2\):
\[ 1+\frac12=\frac32. \]
Por lo tanto:
\[ \sup A=\max A=\frac32. \]
Si, en cambio, \(n\) es impar:
\[ (-1)^n+\frac1n = -1+\frac1n. \]
Obtenemos:
\[ 0,\ -\frac23,\ -\frac45,\ldots \]
El primer valor es \(0\), obtenido para \(n=1\). Para los índices impares siguientes se obtienen, en cambio, valores negativos que se aproximan progresivamente a \(-1\) sin alcanzarlo nunca.
El número \(-1\) es, pues, una cota inferior del conjunto.
Además, para todo \(\varepsilon>0\), eligiendo \(n\) impar suficientemente grande se obtiene:
\[ -1+\frac1n<-1+\varepsilon. \]
Por la caracterización del ínfimo:
\[ \inf A=-1. \]
Como ningún elemento del conjunto es igual a \(-1\), el mínimo no existe.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2<9\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=3, \qquad \inf A=-3. \]
El conjunto no posee ni máximo ni mínimo.
Resolución
La condición:
\[ x^2<9 \]
equivale a:
\[ -3<x<3 \]
Por lo tanto:
\[ A=(-3,3). \]
Todos los elementos del conjunto son menores que \(3\), de modo que \(3\) es una cota superior.
Además, existen elementos del conjunto arbitrariamente próximos a \(3\), por ejemplo:
\[ 3-\frac1n. \]
Ningún número menor que \(3\) puede ser, por tanto, una cota superior.
Así pues:
\[ \sup A=3. \]
Con un razonamiento completamente análogo se obtiene:
\[ \inf A=-3. \]
Como ni \(3\) ni \(-3\) pertenecen al conjunto, no existen máximo ni mínimo.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2\leq9\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=3. \]
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Resolución
La inecuación:
\[ x^2\leq9 \]
equivale a:
\[ -3\leq x\leq3. \]
Por lo tanto:
\[ A=[-3,3]. \]
El número \(3\) es una cota superior del conjunto.
Además, pertenece al propio conjunto.
De ello se sigue que:
\[ \sup A=\max A=3. \]
Análogamente, el número \(-3\) es una cota inferior y pertenece al conjunto.
Por lo tanto:
\[ \inf A=\min A=-3. \]
Este ejercicio pone de manifiesto la diferencia entre intervalos abiertos e intervalos cerrados: al añadir los extremos al conjunto aparecen automáticamente el máximo y el mínimo.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:1<x\leq 6\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=6. \]
\[ \inf A=1. \]
El mínimo no existe.
Resolución
El conjunto está formado por todos los números reales mayores que \(1\) y menores o iguales que \(6\).
Podemos, pues, escribir:
\[ A=(1,6]. \]
Cada elemento de \(A\) es menor o igual que \(6\), de modo que \(6\) es una cota superior del conjunto.
Como \(6\in A\), el número \(6\) es también el máximo del conjunto.
Por lo tanto:
\[ \sup A=\max A=6. \]
Consideremos ahora el ínfimo.
Cada elemento de \(A\) es mayor que \(1\), de modo que \(1\) es una cota inferior.
Además, ningún número mayor que \(1\) puede ser una cota inferior, porque los elementos del conjunto pueden elegirse arbitrariamente próximos a \(1\) por la derecha.
Así pues:
\[ \inf A=1. \]
Sin embargo, \(1\notin A\), pues la desigualdad es estricta.
Por tanto, el mínimo no existe.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x>-2\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=-2. \]
\[ \sup A=+\infty. \]
El conjunto no posee ni máximo ni mínimo.
Resolución
El conjunto contiene todos los números reales mayores que \(-2\). Así pues:
\[ A=(-2,+\infty). \]
El conjunto no está acotado superiormente. En efecto, cualquiera que sea el número real \(M\) que se elija, podemos tomar un número \(x\) mayor tanto que \(M\) como que \(-2\). De este modo \(x\in A\) y \(x>M\).
Por lo tanto, no existe ninguna cota superior real de \(A\).
Con el convenio habitual:
\[ \sup A=+\infty. \]
Estudiemos ahora las cotas inferiores.
Cada elemento del conjunto es mayor que \(-2\), de modo que \(-2\) es una cota inferior.
Además, ningún número mayor que \(-2\) puede ser una cota inferior, porque los elementos del conjunto pueden acercarse cuanto se quiera a \(-2\) por la derecha.
Por lo tanto:
\[ \inf A=-2. \]
Como \(-2\notin A\), el mínimo no existe.
Además, al no estar el conjunto acotado superiormente, tampoco existe el máximo.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{2-\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=2. \]
El máximo no existe.
Resolución
Escribamos algunos elementos del conjunto:
\[ 1,\ \frac32,\ \frac53,\ \frac74,\ldots \]
En efecto, para \(n=1\) se obtiene:
\[ 2-\frac11=1. \]
Al crecer \(n\), el término \(\displaystyle \frac1n\) disminuye, de modo que \(2-\frac1n\) aumenta.
El valor más pequeño es, pues, el primer valor, es decir, \(1\).
Como \(1\in A\), se sigue:
\[ \inf A=\min A=1. \]
Además, para todo \(n\geq1\), se tiene:
\[ 2-\frac1n<2. \]
Por lo tanto, \(2\) es una cota superior de \(A\).
Veamos que es la menor de las cotas superiores.
Sea \(\varepsilon>0\). Por el principio de Arquímedes existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Entonces:
\[ 2-\frac1n>2-\varepsilon. \]
Por consiguiente, existe un elemento de \(A\) mayor que \(2-\varepsilon\).
Por la caracterización del supremo:
\[ \sup A=2. \]
Como \(2\notin A\), el máximo no existe.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{\frac{2n+1}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
\[ \sup A=2. \]
El máximo no existe.
Resolución
Reescribamos el término general en una forma más útil:
\[ \frac{2n+1}{n+1} = \frac{2n+2-1}{n+1} = 2-\frac1{n+1}. \]
Así pues:
\[ A=\left\{2-\frac1{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Calculemos el primer elemento:
\[ 2-\frac12=\frac32. \]
Al crecer \(n\), el término \(\displaystyle \frac1{n+1}\) disminuye, de modo que \(2-\displaystyle \frac1{n+1}\) aumenta.
Por lo tanto, el valor más pequeño del conjunto es:
\[ \frac32. \]
Como este valor pertenece al conjunto, tenemos:
\[ \inf A=\min A=\frac32. \]
Además, para todo \(n\geq1\), se cumple:
\[ 2-\frac1{n+1}<2. \]
Por lo tanto, \(2\) es una cota superior.
Para demostrar que \(2\) es el supremo, usamos la caracterización con \(\varepsilon\).
Sea \(\varepsilon>0\). Elijamos \(n\) suficientemente grande de modo que:
\[ \frac1{n+1}<\varepsilon. \]
Entonces:
\[ 2-\frac1{n+1}>2-\varepsilon. \]
Por consiguiente, existe un elemento de \(A\) mayor que \(2-\varepsilon\).
De ello se sigue:
\[ \sup A=2. \]
Por último, \(2\notin A\), porque \(\displaystyle \frac1{n+1}\) nunca es igual a \(0\). Por eso el máximo no existe.
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{\frac{n}{n+2}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
\[ \sup A=1. \]
El máximo no existe.
Resolución
Reescribamos el término general en una forma más legible:
\[ \frac{n}{n+2} = \frac{n+2-2}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2}. \]
Los elementos del conjunto son:
\[ \frac13,\ \frac24,\ \frac35,\ \frac46,\ldots \]
Al crecer \(n\), el término \(\displaystyle \frac{2}{n+2}\) disminuye; por tanto, \(1-\displaystyle \frac{2}{n+2}\) aumenta.
El valor más pequeño se obtiene para \(n=1\):
\[ \frac{1}{1+2}=\frac13. \]
Como \(\displaystyle \frac13\in A\), se sigue:
\[ \inf A=\min A=\frac13. \]
Además, para todo \(n\geq1\), se cumple:
\[ \frac{n}{n+2}<1. \]
Por lo tanto, \(1\) es una cota superior de \(A\).
Veamos que \(1\) es la menor de las cotas superiores.
Sea \(\varepsilon>0\). Queremos encontrar un elemento de \(A\) mayor que \(1-\varepsilon\).
Como:
\[ \frac{n}{n+2}=1-\frac{2}{n+2}, \]
basta elegir \(n\) tal que:
\[ \frac{2}{n+2}<\varepsilon. \]
Esto es posible por el principio de Arquímedes.
Con tal elección se obtiene:
\[ \frac{n}{n+2} = 1-\frac{2}{n+2} > 1-\varepsilon. \]
Por la caracterización del supremo:
\[ \sup A=1. \]
Por último, \(1\notin A\), porque la igualdad \(\displaystyle \frac{n}{n+2}=1\) implicaría \(n=n+2\), lo cual es imposible. Por tanto, el máximo no existe.
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{3+\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=\max A=4. \]
\[ \inf A=3. \]
El mínimo no existe.
Resolución
Los elementos del conjunto son:
\[ 4,\ \frac72,\ \frac{10}{3},\ \frac{13}{4},\ldots \]
En efecto, para \(n=1\), se obtiene:
\[ 3+\frac11=4. \]
Al crecer \(n\), el término \(\displaystyle \frac1n\) disminuye. Por tanto, también \(3+\displaystyle \frac1n\) disminuye.
El primer elemento es, pues, el mayor del conjunto.
Por lo tanto:
\[ \sup A=\max A=4. \]
Además, para todo \(n\geq1\), se cumple:
\[ 3+\frac1n>3. \]
Por lo tanto, \(3\) es una cota inferior de \(A\).
Veamos que es la mayor de las cotas inferiores.
Sea \(\varepsilon>0\). Por el principio de Arquímedes existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Entonces:
\[ 3+\frac1n<3+\varepsilon. \]
Hemos encontrado, pues, un elemento de \(A\) menor que \(3+\varepsilon\).
Por la caracterización del ínfimo:
\[ \inf A=3. \]
Como \(3\notin A\), el mínimo no existe.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{2+\frac{(-1)^n}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=\min A=1. \]
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Resolución
Separemos los casos en que \(n\) es par de aquellos en que \(n\) es impar.
Si \(n\) es par, entonces \((-1)^n=1\), de modo que los elementos correspondientes son:
\[ 2+\frac1n. \]
Para \(n=2\) se obtiene:
\[ 2+\frac12=\frac52. \]
Para los demás valores pares de \(n\), el término \(\displaystyle \frac1n\) es más pequeño. Por tanto, el valor máximo entre los términos de índice par es \(\displaystyle \frac52\).
Si \(n\) es impar, entonces \((-1)^n=-1\), de modo que los elementos correspondientes son:
\[ 2-\frac1n. \]
Para \(n=1\) se obtiene:
\[ 2-1=1. \]
Para los demás valores impares de \(n\), el término \(\displaystyle \frac1n\) es más pequeño, y por tanto \(2-\displaystyle \frac1n\) es mayor que \(1\).
De ello se sigue que el valor más pequeño de todo el conjunto es:
\[ 1. \]
Como \(1\in A\), tenemos:
\[ \inf A=\min A=1. \]
El valor más grande del conjunto es, en cambio:
\[ \frac52. \]
También este valor pertenece a \(A\), pues se obtiene para \(n=2\).
Por lo tanto:
\[ \sup A=\max A=\frac52. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:0<x<1\right\}\cup\{2\}. \]
Resultado
\[ \inf A=0. \]
\[ \sup A=\max A=2. \]
El mínimo no existe.
Resolución
El conjunto está formado por dos partes:
\[ (0,1) \]
y por el único elemento:
\[ 2. \]
Todos los elementos del intervalo \((0,1)\) son menores que \(1\), mientras que \(2\) pertenece al conjunto.
El valor más grande del conjunto es, pues, \(2\).
En consecuencia:
\[ \sup A=\max A=2. \]
Estudiemos ahora el comportamiento inferior.
Todos los elementos del conjunto son positivos, de modo que \(0\) es una cota inferior.
Además, los elementos del intervalo \((0,1)\) pueden elegirse arbitrariamente próximos a \(0\) por la derecha.
Por tanto, ningún número mayor que \(0\) puede ser una cota inferior.
Así pues:
\[ \inf A=0. \]
Como \(0\notin A\), el mínimo no existe.
El elemento aislado \(2\) modifica el supremo, pero no modifica el ínfimo del conjunto.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x^2>4,\ -5<x<3\right\}. \]
Resultado
\[ \inf A=-5, \qquad \sup A=3. \]
El conjunto no posee ni máximo ni mínimo.
Resolución
Estudiemos por separado las dos condiciones que definen el conjunto.
La inecuación:
\[ x^2>4 \]
equivale a:
\[ x<-2 \qquad\text{o bien}\qquad x>2. \]
Además, debe cumplirse:
\[ -5<x<3. \]
Intersecando las condiciones obtenemos:
\[ A=(-5,-2)\cup(2,3). \]
El conjunto está formado, pues, por dos intervalos abiertos.
El valor más pequeño al que pueden aproximarse los elementos es \(-5\), pero \(-5\notin A\). Por eso:
\[ \inf A=-5. \]
El valor más grande al que pueden aproximarse los elementos es \(3\), pero \(3\notin A\). Así pues:
\[ \sup A=3. \]
Como el ínfimo no pertenece al conjunto, el mínimo no existe.
Como el supremo no pertenece al conjunto, el máximo no existe.
Observemos que el «hueco» entre \(-2\) y \(2\) no modifica ni el ínfimo ni el supremo: estos dependen únicamente del comportamiento más bajo y más alto del conjunto.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Determinar el supremo, el ínfimo, el máximo y el mínimo del conjunto:
\[ A=\left\{\frac{(-1)^n n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Resultado
\[ \sup A=1. \]
\[ \inf A=-1. \]
El conjunto no posee ni máximo ni mínimo.
Resolución
Para determinar el supremo y el ínfimo conviene distinguir los términos de índice par de los de índice impar.
Si \(n\) es par, entonces:
\[ (-1)^n=1. \]
Los elementos correspondientes del conjunto son, pues:
\[ \frac{n}{n+1}. \]
Para \(n=2,4,6,\ldots\) obtenemos:
\[ \frac23,\ \frac45,\ \frac67,\ \frac89,\ldots \]
Podemos reescribir tales términos en la forma:
\[ \frac{n}{n+1} = 1-\frac1{n+1}. \]
Como \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), cada término es estrictamente menor que \(1\).
Además, al crecer \(n\), el término \(\displaystyle \frac1{n+1}\) se hace cada vez más pequeño y tiende a \(0\). En consecuencia, los valores
\[ \frac{n}{n+1} \]
se aproximan arbitrariamente a \(1\) sin alcanzarlo nunca.
El número \(1\) es, pues, una cota superior del conjunto.
Además, para todo \(\varepsilon>0\), existe un índice par suficientemente grande tal que:
\[ \frac{n}{n+1}>1-\varepsilon. \]
Por la caracterización del supremo se sigue que:
\[ \sup A=1. \]
Como ningún elemento del conjunto es igual a \(1\), el máximo no existe.
Consideremos ahora los índices impares.
Si \(n\) es impar, entonces:
\[ (-1)^n=-1. \]
Los elementos correspondientes del conjunto son:
\[ -\frac{n}{n+1}. \]
Para \(n=1,3,5,\ldots\) obtenemos:
\[ -\frac12,\ -\frac34,\ -\frac56,\ -\frac78,\ldots \]
Reescribimos estos términos como:
\[ -\frac{n}{n+1} = -1+\frac1{n+1}. \]
Como \(\displaystyle \frac1{n+1}>0\), todos estos valores son estrictamente mayores que \(-1\).
Además, al crecer \(n\), el término \(\frac1{n+1}\) tiende a \(0\), y por tanto los valores
\[ -\frac{n}{n+1} \]
se aproximan arbitrariamente a \(-1\) sin alcanzarlo nunca.
El número \(-1\) es, pues, una cota inferior del conjunto.
Además, para todo \(\varepsilon>0\), existe un índice impar suficientemente grande tal que:
\[ -\frac{n}{n+1}< -1+\varepsilon. \]
Por la caracterización del ínfimo se sigue que:
\[ \inf A=-1. \]
Como ningún elemento del conjunto es igual a \(-1\), el mínimo no existe.
Concluimos, pues, que:
\[ \sup A=1, \qquad \inf A=-1. \]
mientras que el conjunto no posee ni máximo ni mínimo.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Verificar, usando la caracterización del supremo, que:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Resultado
\[ \sup(2,7)=7. \]
Resolución
Para demostrar que \(7\) es el supremo del conjunto \(A=(2,7)\), debemos verificar dos condiciones.
La primera condición exige que \(7\) sea una cota superior de \(A\).
En efecto, si \(x\in(2,7)\), entonces:
\[ x<7. \]
Con mayor razón:
\[ x\leq 7. \]
Por lo tanto, \(7\) es una cota superior.
La segunda condición exige que, para todo \(\varepsilon>0\), exista un elemento \(x\in A\) tal que:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Sea, pues, \(\varepsilon>0\).
Si \(0<\varepsilon<10\), consideremos:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}. \]
Entonces:
\[ 2<x<7 \]
por lo que \(x\in(2,7)\).
Además:
\[ x=7-\frac{\varepsilon}{2}>7-\varepsilon. \]
Hemos encontrado, pues, un elemento del conjunto mayor que \(7-\varepsilon\).
Si, en cambio, \(\varepsilon\geq10\), basta elegir \(x=3\).
En efecto:
\[ 3\in(2,7) \]
y
\[ 3>7-\varepsilon. \]
En todos los casos, para todo \(\varepsilon>0\), existe \(x\in A\) tal que:
\[ 7-\varepsilon<x. \]
Por la caracterización del supremo concluimos que:
\[ \sup(2,7)=7. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Verificar, usando la caracterización del ínfimo, que:
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Resultado
\[ \inf\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}=0. \]
Resolución
Pongamos:
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\geq1\right\}. \]
Para demostrar que \(0\) es el ínfimo de \(A\), debemos verificar dos condiciones.
La primera condición exige que \(0\) sea una cota inferior de \(A\).
En efecto, para todo \(n\geq1\), se tiene:
\[ \frac1n>0. \]
Por lo tanto:
\[ 0\leq \frac1n \qquad \forall n\geq1. \]
Así pues, \(0\) es una cota inferior del conjunto.
La segunda condición exige que, para todo \(\varepsilon>0\), exista un elemento de \(A\) menor que:
\[ 0+\varepsilon=\varepsilon. \]
Sea, pues, \(\varepsilon>0\).
Por el principio de Arquímedes existe \(n\in\mathbb N\) tal que:
\[ n>\frac1\varepsilon. \]
De esta desigualdad se sigue:
\[ \frac1n<\varepsilon. \]
Pero \(\frac1n\in A\). Por tanto, para todo \(\varepsilon>0\), hemos encontrado un elemento \(x\in A\) tal que:
\[ x<0+\varepsilon. \]
Por la caracterización del ínfimo se sigue:
\[ \inf A=0. \]
Por último, observemos que \(0\notin A\), de modo que \(A\) no posee mínimo.