El teorema de Bolzano-Weierstrass afirma que toda sucesión real acotada contiene al menos una subsucesión convergente.
Este teorema expresa una propiedad profunda de la recta real: una sucesión que permanece confinada en un intervalo cerrado y acotado no puede dispersarse por completo. Aunque la sucesión no converja, siempre es posible extraer de ella una parte que sí converge.
Índice
- Enunciado del teorema de Bolzano-Weierstrass
- Significado del teorema
- Demostración mediante intervalos encajados
- Por qué es necesaria la hipótesis de acotación
- Ejemplos de aplicación
- Relación con los puntos de acumulación
Enunciado del teorema de Bolzano-Weierstrass
Consideremos una sucesión real
\[ (x_n)_{n\in\mathbb N}. \]
Recordemos que una sucesión se dice acotada si existen dos números reales \(a\) y \(b\), con \(a\leq b\), tales que
\[ a\leq x_n\leq b \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Dicho de otro modo, todos los términos de la sucesión están contenidos en un mismo intervalo cerrado y acotado \([a,b]\).
Teorema de Bolzano-Weierstrass. Toda sucesión real acotada admite una subsucesión convergente.
De manera equivalente, si \((x_n)\) es una sucesión real acotada, entonces existen una sucesión estrictamente creciente de índices
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots \]
y un número real \(x_0\) tales que
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
La sucesión \((x_{n_k})\) recibe el nombre de subsucesión de \((x_n)\).
Significado del teorema
El teorema no afirma que toda sucesión acotada sea convergente; eso sería falso. Tomemos, por ejemplo, la sucesión
\[ x_n=(-1)^n, \]
que es acotada, pero no converge, ya que oscila sin cesar entre \(1\) y \(-1\).
Aun así, contiene subsucesiones convergentes. En efecto, tomando los índices pares se obtiene
\[ x_{2k}=1 \]
para todo \(k\), y por tanto
\[ x_{2k}\longrightarrow 1. \]
Tomando en cambio los índices impares se obtiene
\[ x_{2k-1}=-1 \]
para todo \(k\), y por tanto
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
Esto es justamente lo que afirma el teorema de Bolzano-Weierstrass: aunque una sucesión acotada no converja en su conjunto, en su interior existe siempre una subsucesión que sí lo hace.
Demostración mediante intervalos encajados
Demostramos el teorema utilizando el teorema de los intervalos encajados.
Sea \((x_n)\) una sucesión real acotada. Entonces existen \(a,b\in\mathbb R\), con \(a\leq b\), tales que
\[ x_n\in[a,b] \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Pongamos
\[ I_1=[a,b]. \]
El intervalo \(I_1\) contiene todos los términos de la sucesión, de modo que contiene con certeza infinitos términos de la misma.
Dividamos \(I_1\) en dos intervalos cerrados de igual longitud:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Como \(I_1\) contiene infinitos términos de la sucesión, al menos uno de los dos subintervalos ha de contener también infinitos términos. Elegimos uno de tales subintervalos y lo llamamos \(I_2\).
Repitamos el mismo procedimiento. Supongamos haber construido un intervalo cerrado \(I_k\) que contiene infinitos términos de la sucesión. Dividimos \(I_k\) en dos intervalos cerrados de igual longitud. Al menos uno de ellos contiene infinitos términos; lo elegimos y lo llamamos \(I_{k+1}\).
De este modo obtenemos una sucesión de intervalos cerrados y acotados
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots \]
tal que cada \(I_k\) contiene infinitos términos de la sucesión \((x_n)\).
Además, en cada paso la longitud del intervalo se reduce a la mitad. Si \(I_1=[a,b]\), entonces la longitud de \(I_k\) es
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Puesto que
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow 0, \]
por el teorema de los intervalos encajados existe un único punto \(x_0\in\mathbb R\) tal que
\[ \bigcap_{k=1}^{+\infty} I_k=\{x_0\}. \]
Resta construir una subsucesión de \((x_n)\) que converja a \(x_0\).
Para construir dicha subsucesión, procedemos por inducción sobre los intervalos \(I_k\).
Como \(I_1\) contiene infinitos términos de la sucesión, elegimos un índice \(n_1\) tal que
\[ x_{n_1}\in I_1. \]
Como \(I_2\) contiene infinitos términos, podemos elegir un índice \(n_2\) mayor que \(n_1\) tal que
\[ x_{n_2}\in I_2. \]
En general, supongamos haber elegido los índices
\[ n_1\lt n_2\lt\cdots\lt n_k \]
de manera que
\[ x_{n_j}\in I_j \qquad \text{para todo } j=1,\ldots,k. \]
Como \(I_{k+1}\) contiene infinitos términos, podemos elegir un índice \(n_{k+1}\gt n_k\) tal que
\[ x_{n_{k+1}}\in I_{k+1}. \]
Obtenemos así una subsucesión
\[ (x_{n_k})_{k\in\mathbb N} \]
tal que
\[ x_{n_k}\in I_k \qquad \forall k\in\mathbb N. \]
Demostremos ahora que esta subsucesión converge a \(x_0\).
Como \(x_0\) pertenece a todos los intervalos \(I_k\) y también \(x_{n_k}\in I_k\), la distancia entre \(x_{n_k}\) y \(x_0\) es a lo sumo igual a la longitud de \(I_k\). Por tanto
\[ |x_{n_k}-x_0|\leq \frac{b-a}{2^{k-1}}. \]
Puesto que
\[ \frac{b-a}{2^{k-1}}\longrightarrow0, \]
por el teorema del emparedado se sigue que
\[ |x_{n_k}-x_0|\longrightarrow0. \]
En consecuencia,
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0. \]
Hemos construido así una subsucesión convergente de la sucesión inicial. Con esto concluye la demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass.
Por qué es necesaria la hipótesis de acotación
La hipótesis de acotación es esencial. Si una sucesión no es acotada, no tiene por qué admitir subsucesión convergente alguna.
Consideremos, por ejemplo, la sucesión
\[ x_n=n. \]
No está acotada superiormente. Además, cada una de sus subsucesiones es de la forma
\[ x_{n_k}=n_k, \]
donde
\[ n_1\lt n_2\lt n_3\lt\cdots. \]
Como los índices \(n_k\) tienden a \(+\infty\), se tiene
\[ x_{n_k}=n_k\longrightarrow+\infty. \]
Ninguna subsucesión puede, por tanto, converger a un número real.
Este ejemplo muestra que la acotación no es una condición accesoria: es precisamente lo que impide que los términos de la sucesión se escapen al infinito.
Ejemplos de aplicación
Ejemplo 1. Consideremos la sucesión
\[ x_n=(-1)^n. \]
La sucesión es acotada, puesto que
\[ -1\leq x_n\leq1 \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, admite al menos una subsucesión convergente.
En efecto, los términos de índice par dan
\[ x_{2k}=1 \]
para todo \(k\in\mathbb N\), de modo que
\[ x_{2k}\longrightarrow1, \]
mientras que los de índice impar dan
\[ x_{2k-1}=-1, \]
y por tanto
\[ x_{2k-1}\longrightarrow -1. \]
La sucesión inicial no converge, pero posee dos subsucesiones convergentes naturales.
Ejemplo 2. Consideremos la sucesión
\[ x_n=\frac{(-1)^n n}{n+1}. \]
Es acotada, porque
\[ -1\lt x_n\lt1 \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Por Bolzano-Weierstrass, debe admitir una subsucesión convergente.
Separemos los índices pares e impares. Si \(n=2k\), entonces
\[ x_{2k}=\frac{2k}{2k+1}\longrightarrow1. \]
Si en cambio \(n=2k-1\), entonces
\[ x_{2k-1}=-\frac{2k-1}{2k}\longrightarrow -1. \]
También en este caso la sucesión no converge, pero contiene subsucesiones convergentes.
Ejemplo 3. Consideremos una sucesión cualquiera \((x_n)\) contenida en el intervalo \([0,1]\).
No hace falta conocer una fórmula explícita de la sucesión. El solo hecho de que
\[ 0\leq x_n\leq1 \]
para todo \(n\in\mathbb N\) garantiza, por el teorema de Bolzano-Weierstrass, la existencia de una subsucesión convergente.
Este es uno de los aspectos más importantes del teorema: proporciona un resultado de existencia incluso cuando no sabemos calcular explícitamente una subsucesión.
Relación con los puntos de acumulación
El teorema de Bolzano-Weierstrass puede interpretarse también en términos de puntos de acumulación.
Si una sucesión real acotada toma infinitos valores distintos, entonces el conjunto de sus valores es un subconjunto infinito y acotado de \(\mathbb R\). En ese caso el teorema garantiza la existencia de al menos un punto de acumulación.
Más concretamente, si una subsucesión
\[ x_{n_k}\longrightarrow x_0 \]
y los términos \(x_{n_k}\) son distintos de \(x_0\) para infinitos índices, entonces \(x_0\) es un punto de acumulación del conjunto de valores de la sucesión.
En el caso en que la sucesión tome solo un número finito de valores, el teorema sigue siendo cierto: al menos uno de esos valores ha de alcanzarse infinitas veces. En tal caso existe una subsucesión constante y, por consiguiente, convergente.
Así pues, Bolzano-Weierstrass puede leerse de dos modos complementarios:
- toda sucesión real acotada posee una subsucesión convergente;
- todo conjunto infinito y acotado de números reales posee al menos un punto de acumulación.
Esta segunda formulación vincula el teorema con el estudio topológico de la recta real y prepara el terreno para los resultados sobre compacidad.