El teorema de comparación para sucesiones es una herramienta fundamental en el estudio de los límites. Permite deducir el comportamiento de una sucesión comparándola con una o varias sucesiones cuyos límites ya conocemos.
La idea de fondo es sencilla: si, a partir de un cierto índice, los términos de una sucesión mantienen una relación de orden con los términos de otra, entonces también sus límites deben respetar dicho orden, cuando existen. En una de sus formas más importantes, conocida como teorema del sándwich, una sucesión queda encerrada entre dos sucesiones que tienden al mismo límite: en tal caso, la sucesión intermedia se ve obligada a tender también a ese límite.
En esta página estudiaremos el teorema de comparación en sus formas principales: la comparación entre sucesiones convergentes, la comparación con sucesiones divergentes a \(+\infty\) o a \(-\infty\) y el teorema del sándwich. Prestaremos especial atención al significado de la expresión a partir de cierto índice, es decir, al hecho de que las desigualdades exigidas no tienen por qué cumplirse para todos los índices, sino únicamente a partir de uno de ellos.
Índice
- Comparación entre sucesiones y significado de la expresión «a partir de cierto índice»
- Teorema de comparación para sucesiones convergentes
- Demostración del teorema de comparación
- Teorema del sándwich para sucesiones
- Demostración del teorema del sándwich
- Comparación con sucesiones divergentes a infinito
- Ejemplos resueltos sobre el teorema de comparación
- Errores frecuentes en la aplicación del teorema
Comparación entre sucesiones y significado de la expresión «a partir de cierto índice»
El teorema de comparación se refiere a sucesiones reales cuyos términos pueden ordenarse entre sí, al menos a partir de un cierto índice. Por este motivo, antes de enunciar el teorema, conviene precisar con exactitud qué significa comparar dos sucesiones.
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales. Decir que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de cierto índice significa que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), se cumple
\[ a_n \le b_n. \]
En símbolos:
\[ \exists N\in\mathbb{N}\ \text{tal que}\ \forall n\ge N,\quad a_n\le b_n. \]
Por tanto, la desigualdad no tiene por qué cumplirse para todos los índices \(n\), sino solo a partir de cierto punto. Los primeros términos de las sucesiones pueden incluso no respetar la comparación, ya que un número finito de términos iniciales no altera el límite.
Por ejemplo, si \(a_n\le b_n\) para todo \(n\ge 5\), entonces podemos afirmar que \(a_n\le b_n\) a partir de cierto índice. No importa que la desigualdad sea falsa para \(n=0,1,2,3,4\), porque el comportamiento en el límite depende de los términos de la sucesión cuando \(n\) se hace arbitrariamente grande.
Esta observación es esencial: los teoremas sobre los límites de sucesiones no describen el comportamiento de los primeros términos, sino el comportamiento de la sucesión en el infinito. Por ello, en las aplicaciones del teorema de comparación, lo que importa es establecer un orden entre las sucesiones para todos los índices suficientemente grandes.
De modo análogo, escribir
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
a partir de cierto índice significa que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\), se cumplen simultáneamente las dos desigualdades
\[ a_n \le b_n \qquad\text{y}\qquad b_n \le c_n. \]
En este caso, la sucesión \((b_n)\) queda comprendida, a partir de cierto índice, entre \((a_n)\) y \((c_n)\). Esta es la situación típica del teorema del sándwich: si las dos sucesiones externas tienden al mismo límite, entonces la sucesión intermedia se ve obligada a tender a ese límite.
La comparación entre sucesiones no es, pues, una simple comparación término a término considerada de forma aislada. Es una comparación estable a partir de cierto índice, y es precisamente esa estabilidad la que permite transferir información sobre el límite de una sucesión a otra.
Teorema de comparación para sucesiones convergentes
La primera forma del teorema de comparación se refiere a dos sucesiones reales convergentes. Afirma que un orden válido a partir de cierto índice entre los términos de las sucesiones se conserva al pasar al límite.
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de cierto índice. Si
\[ \lim_{n\to+\infty} a_n=\ell \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty} b_n=m, \]
entonces
\[ \ell \le m. \]
Dicho de otro modo, si a partir de cierto índice cada término de \((a_n)\) es menor o igual que el término correspondiente de \((b_n)\), entonces el límite de \((a_n)\) no puede ser mayor que el límite de \((b_n)\).
Este resultado es muy natural, pero debe interpretarse con cuidado: el teorema no afirma que, conociendo únicamente \(a_n\le b_n\), podamos calcular los dos límites. Lo que afirma es que, si los dos límites existen, entonces deben respetar el mismo orden.
Conviene observar también que una desigualdad estricta entre los términos no produce necesariamente una desigualdad estricta entre los límites. Si
\[ a_n < b_n \]
a partir de cierto índice y las dos sucesiones convergen respectivamente a \(\ell\) y \(m\), solo podemos concluir que
\[ \ell \le m, \]
pero no necesariamente que \(\ell<m\).
Por ejemplo, para todo \(n\ge 1\) se tiene
\[ 0 < \frac{1}{n}. \]
Sin embargo,
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Así pues, la desigualdad estricta entre los términos puede convertirse en una igualdad entre los límites.
El teorema de comparación para sucesiones convergentes expresa, por tanto, una propiedad de compatibilidad entre el orden de los números reales y el paso al límite: el orden que se mantiene a partir de cierto índice entre sucesiones convergentes no puede invertirse al pasar al límite.
Demostración del teorema de comparación
Demostremos el teorema en la forma enunciada en la sección anterior. Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de cierto índice, y supongamos que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}b_n=m. \]
Queremos demostrar que
\[ \ell \le m. \]
Razonemos por reducción al absurdo. Supongamos, pues, que la tesis es falsa, es decir, supongamos que
\[ \ell>m. \]
Consideremos el punto medio entre \(\ell\) y \(m\):
\[ \alpha=\frac{\ell+m}{2}. \]
Como \(\ell>m\), se tiene
\[ m<\alpha<\ell. \]
De la convergencia de \((a_n)\) a \(\ell\) y del hecho de que \(\alpha<\ell\), existe un índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\), se cumple
\[ a_n>\alpha. \]
En efecto, siendo
\[ \varepsilon=\ell-\alpha>0, \]
de la definición de límite se sigue que, a partir de cierto índice,
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon, \]
y por tanto
\[ a_n>\ell-\varepsilon=\alpha. \]
Análogamente, de la convergencia de \((b_n)\) a \(m\) y del hecho de que \(m<\alpha\), existe un índice \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_2\), se cumple
\[ b_n<\alpha. \]
En efecto, siendo
\[ \varepsilon=\alpha-m>0, \]
de la definición de límite se sigue que, a partir de cierto índice,
\[ |b_n-m|<\varepsilon, \]
y por tanto
\[ b_n<m+\varepsilon=\alpha. \]
Además, por hipótesis, \(a_n\le b_n\) a partir de cierto índice. Existe, pues, un índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Tomemos ahora un índice \(n\) mayor o igual que los tres índices \(N_0\), \(N_1\) y \(N_2\). Para tal \(n\) se cumplen simultáneamente las desigualdades
\[ \alpha<a_n\le b_n<\alpha. \]
Esto es imposible, pues una cantidad no puede ser a la vez mayor y menor que \(\alpha\). El absurdo proviene de haber supuesto \(\ell>m\).
Por consiguiente, debe cumplirse
\[ \ell\le m. \]
Con esto concluye la demostración.
Teorema del sándwich para sucesiones
Una de las formas más importantes del teorema de comparación es el teorema del sándwich. Permite calcular el límite de una sucesión cuando esta queda comprendida, a partir de cierto índice, entre dos sucesiones que tienen el mismo límite.
Sean \((a_n)\), \((b_n)\) y \((c_n)\) tres sucesiones reales tales que
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
a partir de cierto índice. Si
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell, \]
entonces también la sucesión intermedia \((b_n)\) converge a \(\ell\), es decir,
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
El significado del teorema es el siguiente: si una sucesión queda comprendida, a partir de cierto índice, entre dos sucesiones que se aproximan al mismo número real, entonces no tiene ninguna posibilidad de tender a un límite distinto. Las dos sucesiones externas obligan a la sucesión intermedia a aproximarse a ese mismo valor.
La hipótesis fundamental es que las dos sucesiones externas tengan el mismo límite. No basta con saber que \((a_n)\) y \((c_n)\) sean convergentes: si sus límites son distintos, la sucesión intermedia puede presentar comportamientos diferentes.
Por ejemplo, de la sola comparación
\[ 0\le b_n\le 1 \]
no podemos concluir que \((b_n)\) sea convergente. La sucesión podría oscilar, como ocurre con
\[ b_n=\frac{1+(-1)^n}{2}, \]
que toma de forma alternada los valores \(1\) y \(0\). En este caso, las dos sucesiones externas son constantes, pero tienen límites distintos:
\[ \lim_{n\to+\infty}0=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}1=1. \]
Una forma muy utilizada del teorema del sándwich es la siguiente. Si \((r_n)\) es una sucesión real tal que
\[ r_n\ge 0 \]
a partir de cierto índice,
\[ \lim_{n\to+\infty}r_n=0 \]
y
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
a partir de cierto índice, entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
En efecto, la desigualdad
\[ |b_n-\ell|\le r_n \]
equivale a afirmar que
\[ \ell-r_n\le b_n\le \ell+r_n. \]
Como ambas sucesiones externas \((\ell-r_n)\) y \((\ell+r_n)\) tienden a \(\ell\), el teorema del sándwich obliga a \((b_n)\) a tender a \(\ell\).
Esta formulación resulta especialmente útil cuando no es sencillo estudiar directamente \(b_n\), pero sí es posible estimar la distancia entre \(b_n\) y el límite candidato \(\ell\) mediante una sucesión positiva infinitésima.
Demostración del teorema del sándwich
Demostremos el teorema del sándwich. Sean \((a_n)\), \((b_n)\) y \((c_n)\) tres sucesiones reales tales que
\[ a_n \le b_n \le c_n \]
a partir de cierto índice. Supongamos además que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\ell \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}c_n=\ell. \]
Queremos demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Por definición de límite, debemos probar que, para todo \(\varepsilon>0\), existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Sea, pues, \(\varepsilon>0\). Como \(a_n\to \ell\), existe un índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\),
\[ |a_n-\ell|<\varepsilon. \]
En particular, para todo \(n\ge N_1\),
\[ \ell-\varepsilon<a_n. \]
Como \(c_n\to \ell\), existe un índice \(N_2\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_2\),
\[ |c_n-\ell|<\varepsilon. \]
En particular, para todo \(n\ge N_2\),
\[ c_n<\ell+\varepsilon. \]
Además, por hipótesis, \(a_n\le b_n\le c_n\) a partir de cierto índice. Existe, pues, un índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n\le c_n. \]
Consideremos ahora
\[ N=\max\{N_0,N_1,N_2\}. \]
Entonces, para todo \(n\ge N\), se cumplen simultáneamente las desigualdades
\[ \ell-\varepsilon<a_n\le b_n\le c_n<\ell+\varepsilon. \]
En particular,
\[ \ell-\varepsilon<b_n<\ell+\varepsilon. \]
Esta doble desigualdad equivale a
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Hemos mostrado, por tanto, que para todo \(\varepsilon>0\) existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N\),
\[ |b_n-\ell|<\varepsilon. \]
Por definición de límite, se sigue que
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\ell. \]
Con esto concluye la demostración.
Comparación con sucesiones divergentes a infinito
El teorema de comparación admite también formas muy útiles para sucesiones que divergen a \(+\infty\) o a \(-\infty\). En estos casos, la comparación no sirve para establecer el orden entre dos límites finitos, sino para deducir que una sucesión diverge cuando está acotada, en el sentido adecuado, por otra sucesión divergente.
La primera forma se refiere a la divergencia a \(+\infty\). Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de cierto índice. Si
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty, \]
entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=+\infty. \]
En efecto, si \((a_n)\) tiende a \(+\infty\), sus términos llegan a ser, a partir de cierto índice, mayores que cualquier número real prefijado. Como, a partir de cierto índice, \(b_n\) es mayor o igual que \(a_n\), también \(b_n\) debe llegar a ser, a partir de cierto índice, mayor que cualquier número real prefijado.
Más explícitamente, sea \(M\in\mathbb{R}\). Como \(a_n\to+\infty\), existe un índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\),
\[ a_n>M. \]
Además, como \(a_n\le b_n\) a partir de cierto índice, existe un índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Por tanto, para todo \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), se tiene
\[ b_n\ge a_n>M. \]
Por definición de divergencia a \(+\infty\), se sigue que
\[ b_n\to+\infty. \]
La segunda forma se refiere a la divergencia a \(-\infty\). Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ a_n \le b_n \]
a partir de cierto índice. Si
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=-\infty, \]
entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
En este caso, el razonamiento es simétrico: si \((b_n)\) tiende a \(-\infty\), sus términos llegan a ser, a partir de cierto índice, menores que cualquier número real prefijado. Como, a partir de cierto índice, \(a_n\) es menor o igual que \(b_n\), también \(a_n\) debe tender a \(-\infty\).
Más explícitamente, sea \(M\in\mathbb{R}\). Como \(b_n\to-\infty\), existe un índice \(N_1\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_1\),
\[ b_n<M. \]
Además, como \(a_n\le b_n\) a partir de cierto índice, existe un índice \(N_0\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\ge N_0\),
\[ a_n\le b_n. \]
Por tanto, para todo \(n\ge \max\{N_0,N_1\}\), se tiene
\[ a_n\le b_n<M. \]
Por definición de divergencia a \(-\infty\), se sigue que
\[ a_n\to-\infty. \]
Es importante observar el sentido de las desigualdades. Para demostrar que una sucesión tiende a \(+\infty\), basta hallar una sucesión menor o igual que tienda a \(+\infty\). Análogamente, para demostrar que una sucesión tiende a \(-\infty\), basta hallar una sucesión mayor o igual que tienda a \(-\infty\).
En símbolos:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
y
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Dicho de otro modo, para \(+\infty\) se necesita una acotación inferior, mientras que para \(-\infty\) se necesita una acotación superior.
Ejemplos resueltos sobre el teorema de comparación
Veamos ahora algunos ejemplos típicos. El objetivo no es solo calcular los límites, sino comprender qué forma del teorema de comparación se emplea en cada caso y por qué se cumplen las hipótesis.
Ejemplo 1. Calculemos el límite
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}. \]
Para todo \(n\ge 1\) sabemos que
\[ -1\le \sin n\le 1. \]
Dividiendo todos los miembros entre \(n\), que es positivo para todo \(n\ge 1\), obtenemos
\[ -\frac{1}{n}\le \frac{\sin n}{n}\le \frac{1}{n}. \]
Ahora bien,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad\text{y}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
La sucesión \(\displaystyle \frac{\sin n}{n}\) queda así comprendida entre dos sucesiones que tienden ambas a \(0\). Por el teorema del sándwich,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin n}{n}=0. \]
Ejemplo 2. Calculemos el límite
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right). \]
La parte oscilante es \((-1)^n\), pero está multiplicada por \(\displaystyle \frac{1}{n}\), que tiende a \(0\). Para hacer rigurosa esta observación, consideremos la distancia de la sucesión al límite candidato \(2\):
\[ \left|2+\frac{(-1)^n}{n}-2\right| = \left|\frac{(-1)^n}{n}\right| = \frac{1}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
se sigue que la distancia entre \(\displaystyle 2+\frac{(-1)^n}{n}\) y \(2\) tiende a \(0\). Por la forma del teorema del sándwich con valor absoluto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{(-1)^n}{n}\right)=2. \]
Ejemplo 3. Estudiemos el límite de la sucesión
\[ b_n=n^2+\sin n. \]
Como
\[ \sin n\ge -1, \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\) se tiene
\[ n^2+\sin n\ge n^2-1. \]
Además,
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2-1)=+\infty. \]
Por tanto, \((b_n)\) está acotada inferiormente por una sucesión que tiende a \(+\infty\). Por la comparación con sucesiones divergentes a \(+\infty\), obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}(n^2+\sin n)=+\infty. \]
Ejemplo 4. Estudiemos el límite de la sucesión
\[ c_n=-n+\cos n. \]
Como
\[ \cos n\le 1, \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\) se tiene
\[ -n+\cos n\le -n+1. \]
Además,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+1)=-\infty. \]
Por tanto, \((c_n)\) está acotada superiormente por una sucesión que tiende a \(-\infty\). Por la comparación con sucesiones divergentes a \(-\infty\), obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n+\cos n)=-\infty. \]
Estos ejemplos muestran que el teorema de comparación no resulta útil únicamente cuando una sucesión aparece explícitamente encerrada entre otras dos. A menudo, el punto decisivo es construir una estimación adecuada: una estimación bilateral para aplicar el teorema del sándwich, una acotación inferior para demostrar la divergencia a \(+\infty\), o bien una acotación superior para demostrar la divergencia a \(-\infty\).
Errores frecuentes en la aplicación del teorema
El teorema de comparación es muy potente, pero debe aplicarse respetando con precisión sus hipótesis. Muchos errores surgen al descuidar el sentido de las desigualdades, el significado de la expresión a partir de cierto índice o el papel que desempeñan los límites de las sucesiones comparadas.
Confundir una desigualdad estricta con una desigualdad estricta entre los límites
Si \(a_n<b_n\) a partir de cierto índice y las dos sucesiones convergen respectivamente a \(\ell\) y \(m\), no se puede concluir necesariamente que \(\ell<m\). Solo se puede concluir que
\[ \ell\le m. \]
En efecto, una desigualdad estricta entre los términos puede convertirse en una igualdad entre los límites. Por ejemplo, para todo \(n\ge 1\),
\[ 0<\frac{1}{n}, \]
pero ambas sucesiones tienden a \(0\).
Emplear el sentido equivocado en la comparación en el infinito
Para demostrar que una sucesión tiende a \(+\infty\), no basta con hallar una sucesión mayorante que tienda a \(+\infty\). Lo que se necesita es una acotación inferior mediante una sucesión que tienda a \(+\infty\).
Análogamente, para demostrar que una sucesión tiende a \(-\infty\), no basta con hallar una sucesión minorante que tienda a \(-\infty\). Lo que se necesita es una acotación superior mediante una sucesión que tienda a \(-\infty\).
En símbolos:
\[ a_n\le b_n,\quad a_n\to+\infty \quad\Longrightarrow\quad b_n\to+\infty, \]
mientras que
\[ a_n\le b_n,\quad b_n\to-\infty \quad\Longrightarrow\quad a_n\to-\infty. \]
Aplicar el teorema del sándwich sin que los extremos tengan el mismo límite
En el teorema del sándwich no basta con tener
\[ a_n\le b_n\le c_n \]
a partir de cierto índice. Es necesario que las dos sucesiones externas tiendan al mismo límite:
\[ a_n\to \ell \qquad\text{y}\qquad c_n\to \ell. \]
Si, por el contrario, los límites de las sucesiones externas son distintos, la comparación solo puede proporcionar una franja en la que se encuentran los términos de \((b_n)\), pero no determina necesariamente el límite de \((b_n)\).
Olvidar que la comparación debe cumplirse a partir de cierto índice
Las desigualdades que exige el teorema no tienen por qué cumplirse para todos los índices, pero sí deben cumplirse a partir de uno de ellos. Sin embargo, no basta con comprobarlas para muchos valores de \(n\) ni para unos cuantos ejemplos numéricos: hay que demostrar que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que la desigualdad sea cierta para todo \(n\ge N\).
Este punto es esencial, porque el límite describe el comportamiento de la sucesión para índices arbitrariamente grandes. Los primeros términos pueden ser irrelevantes, pero la comparación debe estabilizarse a partir de cierto índice.
Usar una estimación demasiado débil
Una estimación solo es útil si contiene suficiente información para aplicar el teorema. Por ejemplo, saber que una sucesión está acotada no basta para concluir que sea convergente. Del mismo modo, saber que una sucesión está comprendida entre dos sucesiones convergentes no basta si estas no tienen el mismo límite.
El teorema de comparación no sustituye al estudio del límite: proporciona un criterio riguroso cuando la comparación se construye en el sentido correcto y con sucesiones de comportamiento conocido.
En conclusión, aplicar correctamente el teorema consiste en identificar tres elementos: una desigualdad válida a partir de cierto índice, el sentido correcto de la comparación y el límite de las sucesiones empleadas como referencia.