Los siguientes ejercicios permiten comprender y aplicar, paso a paso, el teorema de conservación del signo. Se parte de aplicaciones directas, en las que basta calcular un límite y observar su signo, para llegar progresivamente a consecuencias más relevantes del teorema, como la no anulación de una función, el estudio del signo de productos y cocientes, y la comparación entre dos funciones.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Sea
\[ f(x)=x+3. \]
Utilizando el teorema de conservación del signo, determinar el signo de \(f(x)\) en un entorno adecuado de \(x=0\).
Resultado
Existe un entorno de \(0\) en el que
\[ f(x)>0. \]
Solución
Para aplicar el teorema de conservación del signo debemos, en primer lugar, calcular el límite de la función en el punto considerado.
Puesto que \(f(x)=x+3\), tenemos
\[ \lim_{x\to0}(x+3)=3. \]
El valor del límite es, por tanto,
\[ L=3>0. \]
El teorema de conservación del signo afirma que, cuando el límite es estrictamente positivo, la función también es positiva para todos los \(x\) suficientemente próximos al punto hacia el que tiende \(x\).
Por lo tanto, existe \(\delta>0\) tal que
\[ f(x)>0 \]
para todo \(x\in(-\delta,\delta)\setminus\{0\}\).
En este caso sencillo podemos incluso determinar directamente un entorno posible. En efecto,
\[ x+3>0 \]
equivale a
\[ x>-3. \]
Por ejemplo, tomando \(\delta=1\), si \(-1<x<1\) entonces ciertamente \(x>-3\), luego
\[ x+3>0. \]
Hemos comprobado así, de forma concreta, la conclusión garantizada por el teorema.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Sea
\[ f(x)=2x-5. \]
Determinar el signo de \(f(x)\) en un entorno adecuado de \(x=1\).
Resultado
Existe un entorno de \(1\) en el que
\[ f(x)<0. \]
Solución
Calculemos primero el límite de la función cuando \(x\to1\):
\[ \lim_{x\to1}(2x-5)=2\cdot1-5=-3. \]
El límite es, por tanto,
\[ L=-3<0. \]
Puesto que el límite es estrictamente negativo, el teorema de conservación del signo garantiza que \(f(x)\) es negativa para todos los \(x\) suficientemente próximos a \(1\).
Existe, por tanto, \(\delta>0\) tal que
\[ 2x-5<0 \]
para todo \(x\in(1-\delta,1+\delta)\setminus\{1\}\).
Podemos comprobar directamente esta conclusión. La inecuación
\[ 2x-5<0 \]
equivale a
\[ x<\frac52. \]
Basta entonces elegir un entorno de \(1\) que quede íntegramente a la izquierda de \(\displaystyle\frac{5}{2}\). Por ejemplo, con \(\delta=1\) se obtiene
\[ 0<x<2, \]
y por tanto \(x<\displaystyle\frac{5}{2}\). En consecuencia, \(f(x)<0\) en dicho entorno.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos
\[ f(x)=x^2+1. \]
Utilizar el teorema de conservación del signo para determinar el signo de la función en un entorno de \(x=2\).
Resultado
Existe un entorno de \(2\) en el que
\[ f(x)>0. \]
Solución
Calculamos el límite:
\[ \lim_{x\to2}(x^2+1)=2^2+1=5. \]
Tenemos, por tanto,
\[ L=5>0. \]
Puesto que el límite es estrictamente positivo, el teorema de conservación del signo asegura que existe un entorno de \(2\) en el que \(f(x)\) también es positiva.
Por consiguiente, para un cierto \(\delta>0\),
\[ x^2+1>0 \]
para todo \(x\in(2-\delta,2+\delta)\setminus\{2\}\).
En este caso podemos observar además algo más fuerte: como \(x^2\geq0\) para todo \(x\in\mathbb R\), se tiene
\[ x^2+1\geq1>0 \]
para todo número real \(x\). La función es, por tanto, positiva no solo cerca de \(2\), sino en todo \(\mathbb R\).
El teorema, sin embargo, solo exige una conclusión local: a partir de la positividad del límite podemos deducir con certeza la positividad de la función en un entorno adecuado de \(2\).
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Sea
\[ f(x)=\frac{x+1}{x+2}. \]
Determinar el signo de \(f(x)\) en un entorno adecuado de \(x=0\).
Resultado
Existe un entorno de \(0\) en el que
\[ f(x)>0. \]
Solución
Calculamos el límite cuando \(x\to0\). Como el denominador tiende a \(2\neq0\), podemos sustituir directamente \(x=0\):
\[ \lim_{x\to0}\frac{x+1}{x+2} = \frac{1}{2}. \]
El valor del límite es
\[ L=\frac12>0. \]
El teorema de conservación del signo nos permite entonces concluir que la función toma valores positivos para todos los \(x\) suficientemente próximos a \(0\).
En símbolos, existe \(\delta>0\) tal que
\[ \frac{x+1}{x+2}>0 \]
para todo \(x\in(-\delta,\delta)\setminus\{0\}\).
Conviene observar que no ha sido necesario resolver directamente una inecuación racional: el signo positivo del límite basta para garantizar el signo positivo de la función en un entorno adecuado del punto.
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Consideremos
\[ f(x)=\ln(x)-1. \]
Determinar el signo de \(f(x)\) en un entorno adecuado de \(x=1\).
Resultado
Existe un entorno de \(1\) en el que
\[ f(x)<0. \]
Solución
La función está definida para \(x>0\), luego, en particular, está definida en un entorno suficientemente pequeño de \(1\).
Calculamos el límite:
\[ \lim_{x\to1}(\ln(x)-1)=\ln(1)-1=0-1=-1. \]
Tenemos, por tanto,
\[ L=-1<0. \]
Por el teorema de conservación del signo, existe entonces \(\delta>0\) tal que, si
\[ 0<|x-1|<\delta, \]
entonces
\[ \ln(x)-1<0. \]
En otras palabras, la función tiene el mismo signo que su límite y es negativa en un entorno adecuado de \(1\).
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Sabiendo que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=4, \]
demostrar que existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)>2. \]
Resultado
Existe \(\delta>0\) tal que
\[ f(x)>2 \]
para todo \(x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\setminus\{x_0\}\).
Solución
No queremos demostrar solamente que \(f(x)\) es positiva cerca de \(x_0\), sino la propiedad más precisa
\[ f(x)>2. \]
Sabemos que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=4. \]
Por la definición de límite, para todo \(\epsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que
\[ |f(x)-4|<\epsilon \]
cuando \(0<|x-x_0|<\delta\).
Queremos obtener precisamente \(2\) como cota inferior. Elegimos entonces
\[ \epsilon=2. \]
La definición de límite garantiza la existencia de \(\delta>0\) tal que
\[ |f(x)-4|<2. \]
Eliminando el valor absoluto obtenemos
\[ -2<f(x)-4<2. \]
Sumando \(4\) a todos los miembros:
\[ 2<f(x)<6. \]
En particular,
\[ f(x)>2. \]
Hemos obtenido así no solo la positividad de \(f(x)\), sino una estimación cuantitativa más fuerte.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Sabiendo que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-6, \]
demostrar que existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)<-3. \]
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)<-3. \]
Solución
Sabemos que \(f(x)\) tiende a \(-6\). Queremos mostrar que, al acercarnos suficientemente a \(x_0\), los valores de \(f(x)\) permanecen por debajo de \(-3\).
Por la definición de límite, fijado cualquier \(\epsilon>0\), para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\) se verifica
\[ |f(x)+6|<\epsilon. \]
Elegimos
\[ \epsilon=3. \]
Obtenemos
\[ |f(x)+6|<3. \]
Esto equivale a
\[ -3<f(x)+6<3. \]
Restando \(6\) a todos los miembros:
\[ -9<f(x)<-3. \]
De esta doble desigualdad se sigue inmediatamente
\[ f(x)<-3. \]
En particular, \(f(x)\) es negativa en un entorno adecuado de \(x_0\), tal como predice el teorema de conservación del signo.
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Sea
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
con \(L>0\). Demostrar que existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)>\frac{L}{2}. \]
Resultado
Existe \(\delta>0\) tal que, si \(0<|x-x_0|<\delta\), entonces
\[ f(x)>\frac{L}{2}>0. \]
Solución
Puesto que \(L>0\), también
\[ \frac{L}{2}>0. \]
Elegimos, en la definición de límite,
\[ \epsilon=\frac{L}{2}. \]
Existe entonces \(\delta>0\) tal que, si
\[ 0<|x-x_0|<\delta, \]
entonces
\[ |f(x)-L|<\frac{L}{2}. \]
Eliminando el valor absoluto:
\[ -\frac{L}{2}<f(x)-L<\frac{L}{2}. \]
Sumando \(L\) a los tres miembros:
\[ \frac{L}{2}<f(x)<\frac{3L}{2}. \]
En particular,
\[ f(x)>\frac{L}{2}. \]
Como \(\displaystyle\frac{L}{2}>0\), se sigue también
\[ f(x)>0. \]
Este es precisamente el caso positivo de la demostración del teorema de conservación del signo.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Sea
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L \]
con \(L<0\). Demostrar que, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)<\frac{L}{2}<0. \]
Resultado
Existe \(\delta>0\) tal que
\[ f(x)<\frac{L}{2}<0 \]
para todo \(x\) con \(0<|x-x_0|<\delta\).
Solución
Puesto que \(L<0\), tenemos
\[ |L|=-L. \]
Elegimos
\[ \epsilon=\frac{|L|}{2}=-\frac{L}{2}. \]
Este número es positivo, por lo que constituye una elección admisible en la definición de límite.
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\) se verifica entonces
\[ |f(x)-L|<\frac{|L|}{2}. \]
De esta desigualdad obtenemos, en particular,
\[ f(x)<L+\frac{|L|}{2}. \]
Puesto que \(|L|=-L\),
\[ L+\frac{|L|}{2} = L-\frac{L}{2} = \frac{L}{2}. \]
Por lo tanto,
\[ f(x)<\frac{L}{2}. \]
Siendo \(L<0\), también \(\displaystyle\frac{L}{2}<0\). En consecuencia,
\[ f(x)<\frac{L}{2}<0, \]
y la función es negativa en un entorno adecuado de \(x_0\).
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Demostrar que, si
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=L\neq0, \]
entonces \(f(x)\neq0\) para todos los \(x\) suficientemente próximos a \(x_0\).
Resultado
Existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)\neq0. \]
Solución
La hipótesis fundamental es
\[ L\neq0. \]
Un número real distinto de cero solo puede ser positivo o negativo. Debemos, por tanto, distinguir dos casos.
Si
\[ L>0, \]
el teorema de conservación del signo garantiza que, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)>0. \]
Un número estrictamente positivo no puede ser cero, luego
\[ f(x)\neq0. \]
Si, en cambio,
\[ L<0, \]
el mismo teorema garantiza
\[ f(x)<0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\). También en este caso \(f(x)\) no puede ser igual a cero.
En ambos casos existe, por tanto, un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)\neq0. \]
Esta consecuencia es especialmente importante cuando \(f(x)\) aparece en el denominador de un cociente.
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=2, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-3. \]
Determinar el signo de \(f(x)g(x)\) para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)g(x)<0. \]
Solución
Analicemos por separado ambas funciones.
Puesto que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=2>0, \]
por el teorema de conservación del signo existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)>0. \]
Análogamente,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-3<0, \]
luego existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ g(x)<0. \]
Podemos elegir un entorno suficientemente pequeño en el que ambas propiedades sean ciertas simultáneamente.
En dicho entorno \(f(x)\) es positiva y \(g(x)\) es negativa. El producto de un número positivo y uno negativo es negativo. Por lo tanto,
\[ f(x)g(x)<0. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Sean \(f\) y \(g\) tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-4, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-2. \]
Determinar el signo del producto \(f(x)g(x)\) cerca de \(x_0\).
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)g(x)>0. \]
Solución
El límite de \(f(x)\) es
\[ -4<0. \]
Por el teorema de conservación del signo, \(f(x)<0\) para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
El límite de \(g(x)\) también es negativo:
\[ -2<0. \]
Por tanto, de nuevo por el teorema de conservación del signo,
\[ g(x)<0 \]
en un entorno adecuado de \(x_0\).
Reduciendo el entorno si fuera necesario, podemos lograr que ambas desigualdades se cumplan simultáneamente.
El producto de dos números negativos es positivo. De ello se sigue que
\[ f(x)g(x)>0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=5, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=-2. \]
Determinar el signo del cociente
\[ \frac{f(x)}{g(x)} \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ \frac{f(x)}{g(x)}<0. \]
Solución
De la primera hipótesis tenemos
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=5>0. \]
El teorema de conservación del signo implica, por tanto, que
\[ f(x)>0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Para la segunda función,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=-2<0. \]
De ello se sigue que
\[ g(x)<0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
En particular \(g(x)\neq0\) en dicho entorno, por lo que el cociente está bien definido.
Puesto que el numerador es positivo y el denominador negativo, su cociente es negativo:
\[ \frac{f(x)}{g(x)}<0. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Sea
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-3. \]
Determinar el signo de la función recíproca
\[ \frac{1}{f(x)} \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ \frac{1}{f(x)}<0. \]
Solución
Tenemos
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-3<0. \]
Por el teorema de conservación del signo existe, por tanto, un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)<0. \]
Puesto que \(f(x)\) es estrictamente negativa, en dicho entorno no puede ser igual a cero. En consecuencia, la función recíproca
\[ \frac{1}{f(x)} \]
está bien definida.
El recíproco de un número negativo es también negativo. Por lo tanto,
\[ \frac{1}{f(x)}<0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Consideremos
\[ f(x)=x^2. \]
Cuando \(x\to0\) se tiene
\[ \lim_{x\to0}x^2=0. \]
¿Es posible aplicar directamente el teorema de conservación del signo? ¿Qué podemos afirmar, en cualquier caso, sobre el signo de \(f(x)\) en un entorno de \(0\)?
Resultado
El teorema de conservación del signo, en la forma relativa a un límite \(L\neq0\), no es aplicable. Sin embargo,
\[ x^2>0 \]
para todo \(x\neq0\).
Solución
El límite de la función es
\[ \lim_{x\to0}x^2=0. \]
El teorema de conservación del signo estudiado exige que el límite sea distinto de cero:
\[ L\neq0. \]
En este ejercicio, en cambio,
\[ L=0. \]
No podemos, por tanto, utilizar directamente el teorema para deducir el signo de la función.
Esto no significa que \(f(x)\) carezca de un signo determinado cerca de \(0\); simplemente debemos estudiarlo con otros argumentos.
Para todo número real \(x\),
\[ x^2\geq0. \]
Además,
\[ x^2=0 \]
únicamente cuando \(x=0\). Por lo tanto, en un entorno de \(0\), para \(x\neq0\), se tiene siempre
\[ x^2>0. \]
Este ejercicio muestra un aspecto importante: tener un límite distinto de cero es una condición suficiente para aplicar el teorema de conservación del signo, pero una función puede mantener un signo determinado incluso cuando su límite es igual a cero.
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Consideremos
\[ f(x)=x \]
cuando \(x\to0\). Determinar si la función mantiene un signo constante en un entorno de \(0\).
Resultado
No. En todo entorno de \(0\), la función toma tanto valores negativos como positivos.
Solución
El límite es
\[ \lim_{x\to0}x=0. \]
También en este caso el límite es igual a cero, por lo que el teorema de conservación del signo, en la forma estudiada, no es aplicable.
Examinemos directamente el comportamiento de la función.
Si \(x<0\), entonces
\[ f(x)=x<0. \]
Si, en cambio, \(x>0\), entonces
\[ f(x)=x>0. \]
Todo entorno de \(0\) contiene tanto números negativos como positivos. En consecuencia, en todo entorno de \(0\), la función toma valores de ambos signos.
No existe, por tanto, ningún entorno de \(0\) en el que \(f(x)\) sea siempre positiva o siempre negativa.
Comparando este ejercicio con el anterior, vemos que, cuando el límite es igual a cero, no es posible determinar el signo de la función conociendo solamente el valor del límite: \(x^2\) es positiva en un entorno de \(0\), mientras que \(x\) cambia de signo.
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Sea
\[ f_a(x)=x^2+a, \]
donde \(a\in\mathbb R\). Estudiar, utilizando el teorema de conservación del signo siempre que sea posible, el signo de \(f_a(x)\) en un entorno de \(x=0\) en los casos \(a>0\), \(a<0\) y \(a=0\).
Resultado
Si \(a>0\), entonces \(f_a(x)>0\) cerca de \(0\).
Si \(a<0\), entonces \(f_a(x)<0\) cerca de \(0\).
Si \(a=0\), el teorema no es directamente aplicable, pero \(f_0(x)=x^2>0\) para todo \(x\neq0\).
Solución
Calculemos primero el límite en función del parámetro \(a\):
\[ \lim_{x\to0}(x^2+a)=a. \]
El signo del límite depende, por tanto, directamente del valor de \(a\).
Si
\[ a>0, \]
el límite es estrictamente positivo. Por el teorema de conservación del signo existe, por tanto, un entorno de \(0\) en el que
\[ f_a(x)=x^2+a>0. \]
Si, en cambio,
\[ a<0, \]
el límite es estrictamente negativo. El teorema garantiza entonces que, para \(x\) suficientemente próximo a \(0\),
\[ f_a(x)=x^2+a<0. \]
Esta última conclusión puede parecer menos inmediata, ya que \(x^2\) es siempre no negativo. Sin embargo, cuando \(x\) está muy próximo a \(0\), también \(x^2\) es muy pequeño y no basta para compensar el término constante negativo \(a\).
Queda el caso
\[ a=0. \]
En este caso
\[ \lim_{x\to0}f_0(x)=0. \]
El teorema no es directamente aplicable, porque el límite es cero. Sin embargo,
\[ f_0(x)=x^2>0 \]
para todo \(x\neq0\).
El ejercicio muestra, así, con claridad, el papel de la hipótesis \(L\neq0\).
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=7, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=3. \]
Demostrar que, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)>g(x). \]
Resultado
Existe un entorno de \(x_0\) en el que
\[ f(x)>g(x). \]
Solución
Para comparar \(f(x)\) y \(g(x)\), conviene considerar su diferencia:
\[ h(x)=f(x)-g(x). \]
Afirmar que
\[ f(x)>g(x) \]
equivale, en efecto, a afirmar que
\[ f(x)-g(x)>0. \]
Calculamos entonces el límite de la diferencia:
\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)] = \lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}g(x). \]
Sustituyendo los valores dados:
\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)] = 7-3 = 4. \]
Puesto que
\[ 4>0, \]
el teorema de conservación del signo, aplicado a la función \(h(x)=f(x)-g(x)\), garantiza que
\[ f(x)-g(x)>0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Sumando \(g(x)\) a ambos miembros obtenemos
\[ f(x)>g(x). \]
Ejercicio 19 — nivel ★★★★☆
Sean \(f\) y \(g\) dos funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-2, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=3. \]
Determinar, para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\), el signo de las expresiones
\[ f(x),\qquad g(x),\qquad f(x)g(x),\qquad \frac{f(x)}{g(x)}. \]
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ f(x)<0,\qquad g(x)>0,\qquad f(x)g(x)<0,\qquad \frac{f(x)}{g(x)}<0. \]
Solución
Partamos de la función \(f\). Puesto que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-2<0, \]
el teorema de conservación del signo garantiza que
\[ f(x)<0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Para la función \(g\), en cambio,
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=3>0. \]
Por lo tanto,
\[ g(x)>0 \]
en un entorno adecuado de \(x_0\).
Reduciendo eventualmente el entorno, podemos suponer que ambas propiedades se cumplen simultáneamente.
Puesto que \(f(x)\) es negativa y \(g(x)\) es positiva, su producto es negativo:
\[ f(x)g(x)<0. \]
Además, \(g(x)>0\), luego en particular
\[ g(x)\neq0. \]
El cociente está, por tanto, bien definido. Siendo el numerador negativo y el denominador positivo, obtenemos
\[ \frac{f(x)}{g(x)}<0. \]
Hemos utilizado así el teorema de conservación del signo para controlar simultáneamente el signo de varias expresiones construidas a partir de las dos funciones.
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Sean \(f\), \(g\) y \(h\) tres funciones tales que
\[ \lim_{x\to x_0}f(x)=-2, \qquad \lim_{x\to x_0}g(x)=5, \qquad \lim_{x\to x_0}h(x)=-1. \]
Determinar el signo de la expresión
\[ \frac{[f(x)-g(x)]h(x)}{g(x)} \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Resultado
Para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\),
\[ \frac{[f(x)-g(x)]h(x)}{g(x)}>0. \]
Solución
La expresión contiene varios factores, por lo que procedemos con orden y determinamos por separado el signo de cada parte.
Comenzamos por la diferencia
\[ f(x)-g(x). \]
Utilizando las operaciones con límites:
\[ \lim_{x\to x_0}[f(x)-g(x)] = -2-5 = -7. \]
Puesto que
\[ -7<0, \]
el teorema de conservación del signo garantiza que
\[ f(x)-g(x)<0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
Consideremos ahora \(h(x)\). Tenemos
\[ \lim_{x\to x_0}h(x)=-1<0. \]
En consecuencia,
\[ h(x)<0 \]
cerca de \(x_0\).
El numerador de la expresión es, por tanto, el producto
\[ [f(x)-g(x)]h(x) \]
de dos cantidades negativas. El producto de dos números negativos es positivo, luego
\[ [f(x)-g(x)]h(x)>0. \]
Pasemos, finalmente, al denominador. Puesto que
\[ \lim_{x\to x_0}g(x)=5>0, \]
el teorema de conservación del signo implica
\[ g(x)>0 \]
para \(x\) suficientemente próximo a \(x_0\).
En particular \(g(x)\neq0\), por lo que el cociente está bien definido.
Tenemos, pues, un numerador positivo y un denominador positivo. Su cociente es positivo:
\[ \frac{[f(x)-g(x)]h(x)}{g(x)}>0. \]
Conviene observar que cada información sobre el signo podría ser válida, en principio, en un entorno distinto de \(x_0\). Sin embargo, como los entornos que hay que considerar son en número finito, podemos elegir un único entorno suficientemente pequeño en el que todas las propiedades obtenidas sean ciertas simultáneamente.