El teorema de conservación del signo para sucesiones es un resultado fundamental sobre los límites de las sucesiones reales. Afirma que, si una sucesión converge a un límite real no nulo, entonces sus términos tienen, a partir de un cierto índice, el mismo signo que el límite.
En otras palabras, si una sucesión \((a_n)\) tiende a un número positivo, entonces, a partir de un cierto índice, todos sus términos son positivos. Si, por el contrario, tiende a un número negativo, entonces, a partir de un cierto índice, todos sus términos son negativos.
La expresión a partir de un cierto índice es esencial: el teorema no afirma que todos los términos de la sucesión tengan el mismo signo que el límite, sino únicamente que esta propiedad se cumple para todos los índices suficientemente grandes.
En general, decir que una propiedad se cumple a partir de un cierto índice para una sucesión significa que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que la propiedad se cumple para todo \(n\geq N\).
El caso \(L=0\) debe excluirse. En efecto, si el límite es nulo, el teorema no permite concluir nada acerca del signo de los términos de la sucesión a partir de un cierto índice.
Índice
- Teorema de conservación del signo para sucesiones
- Demostración del teorema
- Interpretación del teorema
- Por qué se excluye el caso \(L=0\)
- Ejemplos
Teorema de conservación del signo para sucesiones
Sea \((a_n)\) una sucesión real y sea \(L\in\mathbb{R}\) con \(L\neq0\). Supongamos que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Entonces la sucesión \((a_n)\) tiene, a partir de un cierto índice, el mismo signo que \(L\).
Más concretamente:
- si \(L>0\), entonces existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene \(a_n>0\);
- si \(L<0\), entonces existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene \(a_n<0\).
En símbolos, si \(L>0\), entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n>0. \]
Si, por el contrario, \(L<0\), entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}\ :\ \forall n\geq N,\ a_n<0. \]
El teorema puede resumirse diciendo que, cuando el límite es distinto de cero, el signo del límite se conserva, a partir de un cierto índice, en los términos de la sucesión.
La condición \(L\neq0\) es indispensable. Si el límite fuera igual a cero, no sería posible elegir un entorno de \(0\) contenido por completo en los números positivos o por completo en los números negativos.
Demostración del teorema
Supongamos que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L \]
con \(L\neq0\). Por la definición de límite, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene
\[ |a_n-L|<\varepsilon. \]
Puesto que \(L\neq0\), se tiene \(|L|>0\). Podemos, por tanto, elegir
\[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}. \]
Por la definición de límite, existe entonces \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\),
\[ |a_n-L|<\frac{|L|}{2}. \]
Esta desigualdad equivale a afirmar que
\[ -\frac{|L|}{2}<a_n-L<\frac{|L|}{2}. \]
Sumando \(L\) en toda la desigualdad, obtenemos
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2}. \]
Llegados a este punto, distinguimos los dos casos posibles.
Caso \(L>0\)
Si \(L>0\), entonces \(|L|=L\). La desigualdad anterior se convierte en
\[ L-\frac{L}{2}<a_n<L+\frac{L}{2}. \]
Así pues, para todo \(n\geq N\),
\[ \frac{L}{2}<a_n<\frac{3L}{2}. \]
En particular,
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\geq N\). Por tanto, si el límite \(L\) es positivo, entonces los términos de la sucesión son positivos a partir de un cierto índice.
Observemos, además, que hemos obtenido una estimación más fuerte: a partir de un cierto índice no solo se cumple \(a_n>0\), sino también \(a_n>\frac{L}{2}\).
Caso \(L<0\)
Si \(L<0\), entonces \(|L|=-L\). La desigualdad
\[ L-\frac{|L|}{2}<a_n<L+\frac{|L|}{2} \]
se convierte en
\[ L-\frac{-L}{2}<a_n<L+\frac{-L}{2}. \]
Es decir,
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2}. \]
Puesto que \(L<0\), se tiene
\[ \frac{3L}{2}<\frac{L}{2}<0. \]
De la desigualdad
\[ \frac{3L}{2}<a_n<\frac{L}{2} \]
se sigue, en particular, que
\[ a_n<0 \]
para todo \(n\geq N\).
Por tanto, si el límite \(L\) es negativo, entonces los términos de la sucesión son negativos a partir de un cierto índice.
En ambos casos hemos demostrado que, si una sucesión real converge a un límite no nulo, entonces sus términos tienen, a partir de un cierto índice, el mismo signo que el límite.
Interpretación del teorema
El teorema de la permanencia del signo no afecta necesariamente a todos los términos de la sucesión, sino únicamente a los términos a partir de un cierto índice.
Decir que \(a_n>0\) a partir de un cierto índice significa que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\geq N\). Los términos con índice menor que \(N\), en cambio, pueden tener cualquier signo.
Por ejemplo, una sucesión puede tener algunos términos iniciales negativos y volverse después positiva a partir de un cierto índice. Si su límite es positivo, el teorema garantiza que, a partir de un cierto punto, los términos ya no pueden ser negativos ni nulos.
Del mismo modo, si el límite es negativo, a partir de un cierto índice todos los términos deben ser negativos.
La idea geométrica es sencilla: si \(L>0\), puede elegirse un entorno de \(L\) contenido por completo en los números positivos. Como \(a_n\to L\), a partir de un cierto índice todos los términos \(a_n\) pertenecen a ese entorno y, por tanto, son positivos.
Si, por el contrario, \(L<0\), puede elegirse un entorno de \(L\) contenido por completo en los números negativos. A partir de un cierto índice todos los términos de la sucesión pertenecen a ese entorno y, por tanto, son negativos.
Por qué se excluye el caso \(L=0\)
La condición \(L\neq0\) es esencial. Si una sucesión converge a \(0\), el teorema de la permanencia del signo no permite determinar el signo de sus términos a partir de un cierto índice.
En efecto, alrededor de \(0\) no existe ningún intervalo abierto contenido por completo en los números positivos o por completo en los números negativos. Todo intervalo abierto centrado en \(0\) contiene tanto números positivos como números negativos.
Por este motivo, si
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=0, \]
no puede concluirse, en general, que \(a_n\) sea, a partir de un cierto índice, positivo o negativo.
Por ejemplo, la sucesión
\[ a_n=\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge a \(0\) y es positiva para todo \(n\geq 1\). En cambio, la sucesión
\[ b_n=-\frac{1}{n}, \qquad n\geq 1. \]
también converge a \(0\) y es negativa para todo \(n\geq 1\).
Además, la sucesión
\[ c_n=\frac{(-1)^n}{n}, \qquad n\geq 1. \]
converge a \(0\), pero cambia de signo infinitas veces. Así pues, en el caso de límite nulo, son posibles comportamientos distintos.
Ejemplos
Ejemplo 1. Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{3}{n}-2. \]
Puesto que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2, \]
y el límite es negativo, el teorema de la permanencia del signo garantiza que \(a_n\) es negativa a partir de un cierto índice.
Verifiquémoslo directamente. Queremos hallar un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tenga
\[ \frac{3}{n}-2<0. \]
Resolviendo la desigualdad,
\[ \frac{3}{n}<2. \]
Puesto que \(n>0\), podemos multiplicar por \(n\) sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ 3<2n. \]
Luego
\[ n>\frac{3}{2}. \]
Por consiguiente, para todo \(n\geq2\), se tiene
\[ a_n<0. \]
La sucesión es, por tanto, negativa a partir de un cierto índice, de acuerdo con el teorema.
Ejemplo 2. Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{5}{n}+1. \]
Puesto que
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1, \]
y el límite es positivo, el teorema de la permanencia del signo garantiza que \(a_n\) es positiva a partir de un cierto índice.
En realidad, en este caso la sucesión es positiva para todo \(n\geq 1\), porque
\[ \frac{5}{n}>0 \]
para todo \(n\geq 1\), y por tanto
\[ \frac{5}{n}+1>0. \]
Esto es coherente con el teorema: si una propiedad se cumple para todo índice, entonces se cumple, desde luego, también a partir de un cierto índice.
Ejemplo 3. Consideremos la sucesión
\[ a_n=(-1)^n+\frac{1}{n}. \]
Esta sucesión no converge. En efecto, el término \((-1)^n\) oscila entre \(-1\) y \(1\), mientras que \(\displaystyle \frac{1}{n}\to0\). Más precisamente, la subsucesión de índices pares tiende a \(1\), mientras que la subsucesión de índices impares tiende a \(-1\).
En consecuencia, no podemos aplicar el teorema de la permanencia del signo.
Este ejemplo muestra que el teorema requiere realmente la existencia de un límite real no nulo. Si la sucesión no tiene límite, el teorema no proporciona ninguna información sobre el signo de sus términos a partir de un cierto índice.
Ejemplo 4. Consideremos la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Se tiene
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Sin embargo, la sucesión cambia de signo infinitas veces: es positiva para los índices pares y negativa para los índices impares.
El teorema de la permanencia del signo no es aplicable, porque el límite es igual a \(0\). Este ejemplo muestra por qué la hipótesis \(L\neq0\) es indispensable.
Una versión análoga es válida también para los límites infinitos: si \(a_n\to+\infty\), entonces \(a_n>0\) a partir de un cierto índice; si \(a_n\to-\infty\), entonces \(a_n<0\) a partir de un cierto índice.
En conclusión, el teorema de conservación del signo para sucesiones afirma que el signo de un límite real no nulo se conserva, a partir de un cierto índice, en los términos de la sucesión. Los términos iniciales pueden comportarse de manera distinta, pero a partir de un cierto índice el signo debe coincidir con el del límite.