En esta página presentamos 20 ejercicios resueltos paso a paso sobre el teorema de conservación del signo para sucesiones. El objetivo es aprender a reconocer cuándo una sucesión es definitivamente positiva o definitivamente negativa a partir del comportamiento de su límite.
Los ejercicios están pensados para aclarar el significado preciso del término definitivamente, el papel fundamental de la hipótesis \(L\neq 0\) y los casos en los que el teorema no puede aplicarse, como las sucesiones con límite nulo o las que carecen de límite.
En algunos ejercicios aplicaremos directamente el teorema de conservación del signo; en otros determinaremos además un posible índice \(N\) a partir del cual el signo de la sucesión se estabiliza. De este modo, el resultado teórico queda conectado de forma concreta con el estudio del signo de los términos de una sucesión.
Recordemos que, si \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) con \(L>0\), entonces existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene \(a_n>0\). Si, en cambio, \(\lim_{n\to+\infty}a_n=L\) con \(L<0\), entonces existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene \(a_n<0\).
En símbolos:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L>0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n>0, \]
mientras que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L<0 \quad\Longrightarrow\quad \exists N\in\mathbb{N}:\forall n\geq N,\ a_n<0. \]
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=2+\frac{1}{n} \]
es definitivamente positiva, justificando la respuesta mediante el teorema de conservación del signo.
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva.
Resolución
Calculamos el límite de la sucesión:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right)=2. \]
El límite existe, es real y distinto de cero. Además es positivo, porque
\[ 2>0. \]
Por el teorema de conservación del signo, si una sucesión converge a un límite positivo, sus términos son definitivamente positivos.
Por tanto, existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene
\[ a_n>0. \]
Además, en este caso se comprueba directamente que
\[ 2+\frac{1}{n}>0 \]
para todo \(n\geq1\). Así pues, la sucesión no solo es definitivamente positiva: es positiva en todos los índices de su dominio.
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{3}{n}-5 \]
es definitivamente negativa.
Resultado
La sucesión es definitivamente negativa.
Resolución
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3}{n}-5\right)=-5. \]
El límite es un número real negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, una sucesión que converge a un límite negativo es definitivamente negativa.
Por tanto, existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
También podemos comprobar directamente a partir de qué índice ocurre esto. Resolvemos:
\[ \frac{3}{n}-5<0. \]
Pasando \(5\) al segundo miembro, obtenemos
\[ \frac{3}{n}<5. \]
Como \(n>0\), podemos multiplicar por \(n\) sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ 3<5n. \]
Por tanto,
\[ n>\frac{3}{5}. \]
Para todo \(n\geq1\) esta desigualdad se cumple. Así pues, la sucesión es negativa para todo \(n\geq1\) y, por tanto, ciertamente definitivamente negativa.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=-1+\frac{4}{n} \]
es definitivamente negativa y hallar un posible índice \(N\).
Resultado
La sucesión es definitivamente negativa. Un posible índice es \(N=5\).
Resolución
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-1+\frac{4}{n}\right)=-1. \]
El límite es negativo y distinto de cero. Por tanto, por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente negativa.
Para hallar explícitamente un índice \(N\), resolvemos la desigualdad
\[ -1+\frac{4}{n}<0. \]
Pasando \(-1\) al segundo miembro:
\[ \frac{4}{n}<1. \]
Como \(n>0\), multiplicamos por \(n\):
\[ 4<n. \]
Por tanto, la desigualdad se cumple para todo \(n>4\), es decir, para todo \(n\geq5\).
Así, eligiendo \(N=5\), se tiene
\[ a_n<0 \]
para todo \(n\geq5\).
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=7-\frac{10}{n} \]
es definitivamente positiva y hallar un posible índice \(N\).
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva. Un posible índice es \(N=2\).
Resolución
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(7-\frac{10}{n}\right)=7. \]
El límite es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente positiva.
Hallamos ahora un índice explícito. Debemos resolver:
\[ 7-\frac{10}{n}>0. \]
Pasando la fracción al segundo miembro:
\[ 7>\frac{10}{n}. \]
Como \(n>0\), multiplicamos por \(n\):
\[ 7n>10. \]
Por tanto,
\[ n>\frac{10}{7}. \]
El menor entero \(n\geq1\) que cumple esta condición es \(n=2\).
Así, eligiendo \(N=2\), se tiene
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\geq2\).
Ejercicio 5 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{2n+1}{n+3} \]
es definitivamente positiva.
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva.
Resolución
Dividimos numerador y denominador por \(n\):
\[ a_n=\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{3}{n}}. \]
Pasando al límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2+\displaystyle \frac{1}{n}}{1+\displaystyle \frac{3}{n}}=\frac{2+0}{1+0}=2. \]
El límite es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signoo, la sucesión es definitivamente positiva.
En realidad, incluso sin el teorema podemos observar que, para todo \(n\geq1\),
\[ 2n+1>0 \qquad \text{y} \qquad n+3>0. \]
Por tanto,
\[ \frac{2n+1}{n+3}>0 \]
para todo \(n\geq1\).
Esto confirma lo que predice el teorema: la sucesión es ciertamente definitivamente positiva.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{1-3n}{2n+5} \]
es definitivamente negativa.
Resultado
La sucesión es definitivamente negativa.
Resolución
Dividimos numerador y denominador por \(n\):
\[ a_n=\frac{\displaystyle \frac{1}{n}-3}{2+\displaystyle \frac{5}{n}}. \]
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\displaystyle \frac{1}{n}-3}{2+\displaystyle \frac{5}{n}}=\frac{0-3}{2+0}=-\frac{3}{2}. \]
El límite es negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente negativa.
También podemos comprobar el signo directamente. Para \(n\geq1\), el denominador \(2n+5\) es positivo. Por tanto, el signo de la fracción depende del numerador:
\[ 1-3n<0. \]
Esta desigualdad equivale a
\[ 1<3n, \]
es decir,
\[ n>\frac{1}{3}. \]
Se cumple para todo \(n\geq1\). Así pues, la sucesión es negativa para todo \(n\geq1\) y, por tanto, definitivamente negativa.
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2-4n+1}{n^2+1} \]
es definitivamente positiva.
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva.
Resolución
Dividimos numerador y denominador por \(n^2\):
\[ a_n=\frac{1-\displaystyle \frac{4}{n}+\displaystyle \frac{1}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{1}{n^2}}. \]
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1-\displaystyle \frac{4}{n}+\displaystyle \frac{1}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{1}{n^2}}=\frac{1-0+0}{1+0}=1. \]
El límite es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente positiva.
Observemos que el teorema no afirma necesariamente que la sucesión sea positiva para todo \(n\). Solo afirma que existe un índice \(N\) a partir del cual todos los términos son positivos.
En efecto, el numerador
\[ n^2-4n+1 \]
puede tomar valores negativos en algunos índices iniciales, pero esto no contradice el teorema.
Como el límite es \(1>0\), a partir de un cierto índice se tiene con seguridad
\[ a_n>0. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{-2n^2+n+4}{n^2+3} \]
es definitivamente negativa.
Resultado
La sucesión es definitivamente negativa.
Resolución
Dividimos numerador y denominador por \(n^2\):
\[ a_n=\frac{-2+\displaystyle \frac{1}{n}+\displaystyle \frac{4}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{3}{n^2}}. \]
Pasando al límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-2+\displaystyle \frac{1}{n}+\displaystyle \frac{4}{n^2}}{1+\displaystyle \frac{3}{n^2}}=\frac{-2+0+0}{1+0}=-2. \]
El límite es negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente negativa.
Por tanto, existe \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\),
\[ a_n<0. \]
Aunque hubiera que comprobar por separado los términos iniciales, esto sería irrelevante a efectos del teorema, ya que el teorema se refiere al comportamiento definitivo de la sucesión.
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el teorema de conservación del signo es aplicable a la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Determinar, además, si la sucesión es definitivamente positiva o definitivamente negativa.
Resultado
El teorema no es aplicable, porque el límite es \(0\). La sucesión no es ni definitivamente positiva ni definitivamente negativa.
Resolución
Calculamos el límite de la sucesión:
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}. \]
Como
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
dividiendo por \(n>0\) obtenemos
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
por el teorema del sándwich se sigue que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
El límite existe, pero es nulo.
El teorema de conservación del signo exige que el límite sea real y distinto de cero. En este caso, la hipótesis \(L\neq 0\) no se cumple, de modo que el teorema no es aplicable.
Estudiamos ahora directamente el signo de la sucesión. Si \(n\) es par, entonces \((-1)^n=1\), de modo que
\[ a_n=\frac{1}{n}>0. \]
Si, por el contrario, \(n\) es impar, entonces \((-1)^n=-1\), de modo que
\[ a_n=-\frac{1}{n}<0. \]
Así pues, la sucesión cambia de signo infinitas veces.
Recordemos que decir que una sucesión es definitivamente positiva significa que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\geq N\). Pero esto no ocurre, ya que más allá de cualquier índice siguen apareciendo infinitos índices impares, para los cuales \(a_n<0\).
Del mismo modo, la sucesión no es definitivamente negativa, porque más allá de cualquier índice siguen apareciendo infinitos índices pares, para los cuales \(a_n>0\).
Por tanto, el teorema no es aplicable y la sucesión no es ni definitivamente positiva ni definitivamente negativa.
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si el teorema de conservación del signo es aplicable a la sucesión
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Determinar, además, si la sucesión es definitivamente positiva.
Resultado
El teorema no es aplicable, porque la sucesión no tiene límite. No obstante, la sucesión es positiva para todo \(n\), de modo que es definitivamente positiva.
Resolución
Observamos el comportamiento de la sucesión:
\[ a_n=(-1)^n+2. \]
Si \(n\) es par, entonces \((-1)^n=1\), de modo que
\[ a_n=1+2=3. \]
Si \(n\) es impar, entonces \((-1)^n=-1\), de modo que
\[ a_n=-1+2=1. \]
Por tanto, la sucesión toma alternativamente los valores \(3\) y \(1\). En particular, la subsucesión de los términos de índice par tiende a \(3\), mientras que la subsucesión de los términos de índice impar tiende a \(1\).
Como estos dos valores son distintos, la sucesión no converge a un único límite real.
El teorema de conservación del signo exige que exista un límite real no nulo. En este caso, el límite no existe, de modo que el teorema no es aplicable.
No obstante, podemos estudiar el signo directamente. Hemos visto que, para todo \(n\), la sucesión toma únicamente los valores \(1\) y \(3\). Por tanto,
\[ a_n>0 \]
para todo \(n\).
De ello se sigue que la sucesión es definitivamente positiva. En efecto, podemos elegir, por ejemplo, \(N=1\), y para todo \(n\geq1\) se tiene \(a_n>0\).
Este ejercicio muestra que una sucesión puede ser definitivamente positiva incluso cuando el teorema de conservación del signo no es aplicable. En tal caso, sin embargo, la positividad definitiva debe demostrarse directamente, y no deducirse del teorema.
Ejercicio 11 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n-5}{n+2} \]
es definitivamente positiva y hallar un posible índice \(N\).
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva. Un posible índice es \(N=6\).
Resolución
Calculamos el límite de la sucesión:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n-5}{n+2}=1. \]
En efecto, numerador y denominador tienen el mismo grado y el cociente de los coeficientes principales es
\[ \frac{1}{1}=1. \]
El límite es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente positiva.
Hallamos ahora explícitamente un índice \(N\). Debemos resolver:
\[ \frac{n-5}{n+2}>0. \]
Para \(n\geq1\), el denominador es positivo, porque
\[ n+2>0. \]
Por tanto, el signo de la fracción depende del numerador:
\[ n-5>0. \]
Obtenemos
\[ n>5. \]
Así, para todo \(n\geq6\), se tiene
\[ a_n>0. \]
Por tanto, podemos elegir \(N=6\).
Ejercicio 12 — nivel ★★☆☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{4-2n}{n+1} \]
es definitivamente negativa y hallar un posible índice \(N\).
Resultado
La sucesión es definitivamente negativa. Un posible índice es \(N=3\).
Resolución
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{4-2n}{n+1}=-2. \]
El límite es negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente negativa.
Hallamos ahora un índice explícito. Debemos resolver:
\[ \frac{4-2n}{n+1}<0. \]
Para \(n\geq1\), el denominador es positivo:
\[ n+1>0. \]
Por tanto, la fracción es negativa cuando el numerador es negativo:
\[ 4-2n<0. \]
Pasando \(2n\) al segundo miembro:
\[ 4<2n. \]
Dividiendo por \(2\), obtenemos
\[ 2<n. \]
Por tanto,
\[ n>2. \]
Para todo \(n\geq3\), la sucesión es negativa. Podemos, pues, elegir \(N=3\).
Ejercicio 13 — nivel ★★☆☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=3-\frac{2}{n} \]
es definitivamente mayor que \(1\).
Resultado
La sucesión es definitivamente mayor que \(1\). Un posible índice es \(N=2\).
Resolución
El teorema de conservación del signo se refiere al signo de una sucesión. Para estudiar la desigualdad
\[ a_n>1, \]
pasamos todo al primer miembro y consideramos la sucesión auxiliar
\[ b_n=a_n-1. \]
Como
\[ a_n=3-\frac{2}{n}, \]
tenemos
\[ b_n=3-\frac{2}{n}-1=2-\frac{2}{n}. \]
Calculamos el límite de \(b_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(2-\frac{2}{n}\right)=2. \]
El límite es positivo y distinto de cero. Por tanto, por el teorema de conservación del signo,
\[ b_n>0 \]
definitivamente.
Pero \(b_n>0\) significa exactamente
\[ a_n-1>0, \]
es decir,
\[ a_n>1. \]
Por tanto, \(a_n\) es definitivamente mayor que \(1\).
Hallamos también un índice explícito:
\[ 3-\frac{2}{n}>1. \]
Pasando \(1\) al primer miembro:
\[ 2-\frac{2}{n}>0. \]
Por tanto,
\[ 2>\frac{2}{n}. \]
Como \(n>0\), multiplicamos por \(n\):
\[ 2n>2. \]
Dividiendo por \(2\), obtenemos
\[ n>1. \]
En consecuencia, para todo \(n\geq2\), se tiene
\[ a_n>1. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★☆☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=-3+\frac{5}{n} \]
es definitivamente menor que \(-1\).
Resultado
La sucesión es definitivamente menor que \(-1\). Un posible índice es \(N=3\).
Resolución
Queremos demostrar que
\[ a_n<-1 \]
definitivamente.
Pasamos todo al primer miembro:
\[ a_n+1<0. \]
Consideramos, pues, la sucesión auxiliar
\[ b_n=a_n+1. \]
Como
\[ a_n=-3+\frac{5}{n}, \]
obtenemos
\[ b_n=-3+\frac{5}{n}+1=-2+\frac{5}{n}. \]
Calculamos el límite:
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-2+\frac{5}{n}\right)=-2. \]
El límite es negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, se tiene
\[ b_n<0 \]
definitivamente.
Pero \(b_n<0\) significa
\[ a_n+1<0, \]
es decir,
\[ a_n<-1. \]
Por tanto, \(a_n\) es definitivamente menor que \(-1\).
Hallamos ahora un índice explícito:
\[ -3+\frac{5}{n}<-1. \]
Sumamos \(3\) a ambos miembros:
\[ \frac{5}{n}<2. \]
Como \(n>0\), multiplicamos por \(n\):
\[ 5<2n. \]
Por tanto,
\[ n>\frac{5}{2}. \]
El menor entero \(n\geq1\) que cumple esta condición es \(n=3\).
Por tanto, podemos elegir \(N=3\).
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1} \]
es definitivamente mayor que \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
Resultado
La sucesión es definitivamente mayor que \(\displaystyle \frac{1}{2}\).
Resolución
Queremos demostrar que
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
definitivamente.
Para aplicar el teorema de conservación del signo, consideramos la diferencia
\[ b_n=a_n-\frac{1}{2}. \]
Si demostramos que \(b_n>0\) definitivamente, habremos demostrado que
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
definitivamente.
Calculamos el límite de \(a_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}=1. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}\left(a_n-\frac{1}{2}\right)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}. \]
El límite de \(b_n\) es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión \(b_n\) es definitivamente positiva.
Por tanto,
\[ a_n-\frac{1}{2}>0 \]
definitivamente, es decir,
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
definitivamente.
También podemos comprobarlo directamente:
\[ \frac{n^2+2n}{n^2+n+1}>\frac{1}{2}. \]
Como \(n^2+n+1>0\) para todo \(n\), podemos multiplicar por \(2(n^2+n+1)\), que es positivo:
\[ 2(n^2+2n)>n^2+n+1. \]
Desarrollando:
\[ 2n^2+4n>n^2+n+1. \]
Pasando todo al primer miembro:
\[ n^2+3n-1>0. \]
Para \(n\geq1\), se tiene
\[ n^2+3n-1\geq 1+3-1=3>0. \]
Por tanto, en realidad,
\[ a_n>\frac{1}{2} \]
para todo \(n\geq1\).
Ejercicio 16 — nivel ★★★☆☆
Demostrar que la sucesión
\[ a_n=\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4} \]
es definitivamente menor que \(-2\).
Resultado
La sucesión es definitivamente menor que \(-2\).
Resolución
Queremos demostrar que
\[ a_n<-2 \]
definitivamente.
Pasamos todo al primer miembro:
\[ a_n+2<0. \]
Consideramos, pues, la sucesión auxiliar
\[ b_n=a_n+2. \]
Si \(b_n<0\) definitivamente, entonces \(a_n<-2\) definitivamente.
Calculamos el límite de \(a_n\):
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}=-3. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}b_n=\lim_{n\to+\infty}(a_n+2)=-3+2=-1. \]
El límite de \(b_n\) es negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, \(b_n\) es definitivamente negativa.
Por tanto,
\[ a_n+2<0 \]
definitivamente, es decir,
\[ a_n<-2 \]
definitivamente.
Comprobémoslo también directamente:
\[ \frac{-3n^2+n+1}{n^2+4}<-2. \]
Como \(n^2+4>0\), podemos multiplicar sin cambiar el sentido de la desigualdad:
\[ -3n^2+n+1<-2(n^2+4). \]
Desarrollando el segundo miembro:
\[ -3n^2+n+1<-2n^2-8. \]
Pasamos todo al primer miembro:
\[ -n^2+n+9<0. \]
Multiplicando por \(-1\), y cambiando el sentido de la desigualdad:
\[ n^2-n-9>0. \]
Esta desigualdad es ciertamente cierta para \(n\) suficientemente grande. Por ejemplo, para \(n\geq4\) se tiene
\[ n^2-n-9\geq 16-4-9=3>0. \]
Por tanto, un posible índice es \(N=4\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4 \]
es definitivamente positiva.
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva.
Resolución
La sucesión contiene el término oscilante \((-1)^n\), pero esto no impide necesariamente la existencia del límite.
En efecto,
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Dividiendo por \(n>0\), obtenemos
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
por el teorema del sándwich se tiene
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}+4\right)=4. \]
El límite es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente positiva.
En realidad, en este caso podemos observar también directamente que
\[ \frac{(-1)^n}{n}\geq -\frac{1}{n}\geq -1 \]
para todo \(n\geq1\). Por tanto,
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}+4\geq -1+4=3>0. \]
Así pues, la sucesión es positiva para todo \(n\geq1\) y, por consiguiente, también definitivamente positiva.
Ejercicio 18 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2 \]
es definitivamente negativa.
Resultado
La sucesión es definitivamente negativa.
Resolución
Estudiamos primero el límite. Como
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1, \]
dividiendo por \(n>0\) obtenemos
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Ambos extremos tienden a \(0\), de modo que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0. \]
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{(-1)^n}{n}-2\right)=-2. \]
El límite es negativo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente negativa.
También directamente, como
\[ \frac{(-1)^n}{n}\leq \frac{1}{n}\leq 1 \]
para todo \(n\geq1\), se sigue que
\[ a_n=\frac{(-1)^n}{n}-2\leq 1-2=-1<0. \]
Así pues, la sucesión es negativa para todo \(n\geq1\) y, por tanto, ciertamente definitivamente negativa.
Ejercicio 19 — nivel ★★★☆☆
Determinar si la sucesión
\[ a_n=\frac{n+(-1)^n}{n} \]
es definitivamente positiva.
Resultado
La sucesión es definitivamente positiva. Un posible índice es \(N=2\).
Resolución
Reescribimos la sucesión separando los dos términos:
\[ a_n=\frac{n}{n}+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Por tanto,
\[ a_n=1+\frac{(-1)^n}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0, \]
obtenemos
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=1+0=1. \]
El límite es positivo y distinto de cero.
Por el teorema de conservación del signo, la sucesión es definitivamente positiva.
Esto significa que existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq N\), se tiene
\[ a_n>0. \]
Atención, sin embargo: el teorema garantiza la existencia de tal índice \(N\), pero no afirma que pueda elegirse necesariamente \(N=1\).
En efecto, para \(n=1\) tenemos
\[ a_1=\frac{1+(-1)^1}{1}=\frac{1-1}{1}=0. \]
Por tanto, la sucesión no es positiva en todos los índices de su dominio, ya que el primer término es nulo.
No obstante, esto no contradice el teorema, porque el teorema se refiere al comportamiento definitivo de la sucesión, es decir, a lo que ocurre a partir de un cierto índice.
Para hallar un índice explícito, observamos que, para todo \(n\),
\[ -1\leq (-1)^n\leq 1. \]
Por tanto,
\[ n+(-1)^n\geq n-1. \]
Si \(n\geq2\), entonces
\[ n-1>0. \]
Además \(n>0\). Por consiguiente, para todo \(n\geq2\),
\[ \frac{n+(-1)^n}{n}>0. \]
Así pues, podemos elegir \(N=2\).
Este ejemplo ilustra claramente que «definitivamente positiva» no significa «positiva desde el primer índice», sino «positiva a partir de un cierto índice».
Ejercicio 20 — nivel ★★★★☆
Determinar si el teorema de conservación del signo es aplicable a la sucesión
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Determinar, además, si la sucesión es definitivamente positiva o definitivamente negativa.
Resultado
El teorema no es aplicable, porque el límite es \(0\). La sucesión no es ni definitivamente positiva ni definitivamente negativa.
Resolución
Estudiamos primero el límite de la sucesión:
\[ a_n=\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}. \]
Para todo \(n\) sabemos que
\[ -1\leq \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)\leq 1. \]
Como \(n>0\), dividiendo por \(n\) obtenemos
\[ -\frac{1}{n}\leq \frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}\leq \frac{1}{n}. \]
Como
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(-\frac{1}{n}\right)=0 \qquad \text{y} \qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0, \]
por el teorema del sándwich se sigue que
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)}{n}=0. \]
El límite existe, pero es igual a \(0\). Por tanto, el teorema de conservación del signo no es aplicable, ya que exige un límite real distinto de cero.
Ahora estudiamos el signo de la sucesión. Los valores de
\[ \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) \]
se repiten cíclicamente:
\[ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\dots \]
En efecto:
- si \(n=4k+1\), entonces \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=1\);
- si \(n=4k+2\), entonces \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\);
- si \(n=4k+3\), entonces \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=-1\);
- si \(n=4k\), entonces \(\sin\left(\frac{n\pi}{2}\right)=0\).
Como el denominador \(n\) es siempre positivo, el signo de \(a_n\) depende del numerador.
Por tanto, la sucesión toma infinitas veces valores positivos, infinitas veces valores negativos e infinitas veces el valor \(0\).
No puede ser definitivamente positiva, porque más allá de cualquier índice siguen apareciendo términos nulos y términos negativos.
No puede ser definitivamente negativa, porque más allá de cualquier índice siguen apareciendo términos nulos y términos positivos.
Por tanto, la sucesión no es ni definitivamente positiva ni definitivamente negativa.
Este ejercicio resume bien el papel de la hipótesis \(L\neq 0\): cuando el límite es \(0\), el teorema no permite concluir nada sobre el signo definitivo, y el signo debe estudiarse directamente.