El teorema de permanencia del signo para sucesiones establece que, si una sucesión real \(a_n\) converge a un límite \(L\neq 0\), entonces existe un índice \(N\in\mathbb{N}\) tal que todos los términos de la sucesión, a partir de ese índice, tienen el mismo signo que \(L\). En otras palabras:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \quad \text{con } L>0 \,\implies\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, a_n>0 \]
Si en cambio \(L<0\), entonces:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \quad \text{con } L<0 \,\implies\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, a_n<0 \]
Por definición:
\[ \lim_{n\to\infty} a_n = L \,\iff\, \forall \varepsilon>0 \,\, \exists N\in\mathbb{N} \,:\, \forall n\geq N \, , \, |a_n-L|<\varepsilon \]
En particular, eligiendo \[ \varepsilon=\frac{|L|}{2}, \] obtenemos:
\[ L-\frac{|L|}{2} < a_n < L+\frac{|L|}{2} \]
Consideremos ahora los dos casos posibles.
- Si \(L>0\), entonces \( |L|=L \), y por tanto:
\[ \frac{L}{2} < a_n < \frac{3L}{2} \qquad \forall n\geq N \]
En particular:
\[ a_n>0 \qquad \forall n\geq N \]
- Si \(L<0\), entonces \( |L|=-L \), y por tanto:
\[ -\frac{3|L|}{2} < a_n < -\frac{|L|}{2} \qquad \forall n\geq N \]
y en consecuencia:
\[ a_n<0 \qquad \forall n\geq N \]
En ambos casos, a partir de cierto índice \(N\), todos los términos de la sucesión tienen el mismo signo que el límite \(L\).
Ejercicio 1. Consideremos la sucesión:
\[ a_n=\frac{1}{n} \]
Calculemos el límite:
\[ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \]
Como el límite es cero, el teorema de permanencia del signo no puede aplicarse. En efecto, el teorema exige explícitamente que \(L\neq 0\).
Ejercicio 2. Consideremos la sucesión:
\[ a_n=\frac{3}{n}-2 \]
Calculemos el límite:
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}-2\right)=-2 \]
Elegimos:
\[ \varepsilon=1 \]
Debemos encontrar un índice \(N\) tal que:
\[ |a_n+2|<1 \qquad \forall n\geq N \]
Observamos que:
\[ |a_n+2| = \left| \frac{3}{n} \right| = \frac{3}{n} \]
Por tanto, imponemos:
\[ \frac{3}{n}<1 \]
lo cual equivale a:
\[ n>3 \]
En consecuencia, para todo:
\[ n\geq 4 \]
se tiene:
\[ a_n<0 \]
Por lo tanto, a partir del índice \(4\), todos los términos de la sucesión son negativos, en concordancia con el teorema de permanencia del signo.
Ejercicio 3. Consideremos la sucesión:
\[ a_n=\frac{5}{n}+1 \]
Calculemos el límite:
\[ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{n}+1\right)=1 \]
Elegimos:
\[ \varepsilon=\frac{1}{2} \]
Debemos encontrar un índice \(N\) tal que:
\[ |a_n-1|<\frac{1}{2} \qquad \forall n\geq N \]
Observamos que:
\[ |a_n-1| = \left| \frac{5}{n} \right| = \frac{5}{n} \]
Por tanto, imponemos:
\[ \frac{5}{n}<\frac{1}{2} \]
lo cual equivale a:
\[ n>10 \]
En consecuencia, para todo:
\[ n\geq 11 \]
se tiene:
\[ a_n>0 \]
Por lo tanto, a partir del índice \(11\), todos los términos de la sucesión son positivos, en concordancia con el teorema de permanencia del signo.