El teorema de Heine-Borel es uno de los resultados fundamentales del análisis real. Proporciona una caracterización completa de los conjuntos compactos de la recta real, mostrando que en \(\mathbb R\) la compacidad coincide exactamente con dos propiedades mucho más sencillas de reconocer: ser cerrado y ser acotado.
Dicho de otro modo, un subconjunto de \(\mathbb R\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Este resultado vuelve concreta la definición de compacidad mediante recubrimientos abiertos y explica por qué intervalos como \([a,b]\) son compactos, mientras que conjuntos como \((a,b)\) o \([0,+\infty)\) no lo son.
En esta exposición enunciaremos el teorema de Heine-Borel, aclararemos su significado, demostraremos ambas implicaciones y analizaremos ejemplos fundamentales y contraejemplos.
Índice
- Enunciado del teorema de Heine-Borel
- Significado del teorema
- Por qué la acotación es necesaria
- Por qué ser cerrado es necesario
- Demostración: todo compacto de \(\mathbb R\) es cerrado y acotado
- Demostración: todo cerrado y acotado de \(\mathbb R\) es compacto
- Ejemplos de conjuntos compactos mediante Heine-Borel
- Ejemplos de conjuntos no compactos mediante Heine-Borel
- Heine-Borel y sucesiones
- Resumen final
Enunciado del teorema de Heine-Borel
El teorema de Heine-Borel caracteriza por completo los conjuntos compactos de la recta real.
Teorema de Heine-Borel. Un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
En símbolos:
\[ K \subseteq \mathbb R \text{ es compacto} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ es cerrado y acotado}. \]
El teorema reúne dos afirmaciones distintas:
- si \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto, entonces \(K\) es cerrado y acotado;
- si \(K\subseteq\mathbb R\) es cerrado y acotado, entonces \(K\) es compacto.
La primera implicación muestra que la compacidad impide tanto la huida al infinito como la existencia de puntos de acumulación que no pertenezcan al conjunto. La segunda implicación muestra, en cambio, que en la recta real estas dos condiciones bastan para garantizar la compacidad.
Significado del teorema
La definición de conjunto compacto se formula mediante recubrimientos abiertos: un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto si todo recubrimiento abierto de \(K\) admite un subrecubrimiento finito.
Esta definición es muy general, pero no siempre resulta inmediata de verificar. El teorema de Heine-Borel vuelve la compacidad mucho más concreta en el caso de los conjuntos reales.
En efecto, gracias al teorema, para determinar si un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto no hace falta examinar directamente todos sus recubrimientos abiertos. Basta con comprobar dos propiedades:
- \(K\) es acotado, es decir, sus puntos no pueden alejarse indefinidamente;
- \(K\) es cerrado, es decir, contiene todos sus puntos de acumulación.
Por ejemplo, el intervalo
\[ [0,1] \]
es cerrado y acotado, de modo que es compacto.
El intervalo
\[ (0,1) \]
es acotado, pero no cerrado; por tanto no es compacto.
La semirrecta
\[ [0,+\infty) \]
es cerrada, pero no acotada; por tanto no es compacta.
El teorema de Heine-Borel muestra así que, en \(\mathbb R\), la compacidad significa exactamente esto: no hay huida al infinito y no faltan puntos de acumulación.
Por qué la acotación es necesaria
Veamos en primer lugar por qué un conjunto compacto no puede ser no acotado.
Un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) se dice acotado si existe \(M>0\) tal que
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
De manera equivalente, todos los puntos de \(K\) tienen valor absoluto menor o igual que una misma constante:
\[ |x|\leq M \qquad \text{para todo } x\in K. \]
Si, por el contrario, \(K\) no es acotado, entonces sus puntos pueden alejarse indefinidamente. En tal caso es posible construir un recubrimiento abierto de \(K\) que no admite ningún subrecubrimiento finito.
Consideremos, en efecto, la familia de abiertos
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
La unión de todos estos abiertos es toda la recta real:
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R. \]
Por tanto, en particular,
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
La familia \(\{(-n,n)\}_{n\geq 1}\) es, pues, un recubrimiento abierto de \(K\).
Si de este recubrimiento elegimos solo un número finito de abiertos, hay un índice máximo \(N\) entre los elegidos. Como los intervalos \((-n,n)\) crecen al crecer \(n\), la unión finita de los abiertos elegidos está contenida en
\[ (-N,N). \]
Pero, si \(K\) es no acotado, existe al menos un punto \(x\in K\) tal que
\[ |x|>N. \]
Tal punto no pertenece a \((-N,N)\). En consecuencia, ningún número finito de abiertos de la familia puede recubrir todo \(K\).
Por tanto, un conjunto no acotado no puede ser compacto.
En consecuencia, todo conjunto compacto de \(\mathbb R\) ha de ser acotado.
Por qué ser cerrado es necesario
Veamos ahora por qué un conjunto compacto de \(\mathbb R\) ha de ser cerrado.
Un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación. Dicho de otro modo, si una sucesión de puntos de \(K\) converge a un número real \(x\), entonces el límite \(x\) ha de pertenecer todavía a \(K\).
Si un conjunto no es cerrado, puede ocurrir que algunos de sus puntos se acerquen indefinidamente a un punto exterior al conjunto. Este fenómeno es incompatible con la compacidad.
Por ejemplo, el intervalo
\[ (0,1) \]
no es cerrado, porque \(0\) y \(1\) son puntos de acumulación del intervalo, pero no pertenecen al propio intervalo.
Consideremos la sucesión
\[ x_n=\frac{1}{n}. \]
Para todo \(n\geq 2\) se tiene
\[ x_n\in(0,1), \]
pero
\[ x_n\to 0. \]
El límite \(0\) no pertenece a \((0,1)\). Así pues, la sucesión \(\left(\displaystyle \frac{1}{n}\right)\), aun estando contenida en el intervalo abierto \((0,1)\), converge hacia un punto exterior al conjunto.
Esto muestra por qué ser cerrado es necesario: un conjunto compacto no puede perder los límites de las sucesiones que viven en su interior.
Más precisamente, si \(K\) es compacto, toda sucesión de puntos de \(K\) admite una subsucesión convergente a un punto de \(K\). Si \(K\) tuviera un punto de acumulación exterior, sería posible construir una sucesión de puntos de \(K\) convergente a ese punto exterior, en contradicción con la compacidad.
En consecuencia, todo conjunto compacto de \(\mathbb R\) ha de ser cerrado.
Demostración: todo compacto de \(\mathbb R\) es cerrado y acotado
Demostremos ahora la primera implicación del teorema de Heine-Borel:
\[ K \text{ compacto} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ cerrado y acotado}. \]
La demostración se divide de manera natural en dos partes:
- primero probamos que \(K\) es acotado;
- luego probamos que \(K\) es cerrado.
Un compacto de \(\mathbb R\) es acotado
Supongamos que \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto.
Consideremos la familia de abiertos
\[ U_n=(-n,n), \qquad n\in\mathbb N,\ n\geq 1. \]
Puesto que
\[ \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n)=\mathbb R, \]
se tiene con seguridad
\[ K\subseteq \bigcup_{n=1}^{+\infty}(-n,n). \]
Por tanto, \(\{U_n\}_{n\geq 1}\) es un recubrimiento abierto de \(K\).
Como \(K\) es compacto, de este recubrimiento abierto podemos extraer un subrecubrimiento finito. Existen, pues, índices
\[ n_1,n_2,\ldots,n_m \]
tales que
\[ K\subseteq (-n_1,n_1)\cup(-n_2,n_2)\cup\cdots\cup(-n_m,n_m). \]
Sea
\[ N=\max\{n_1,n_2,\ldots,n_m\}. \]
Como los intervalos \((-n,n)\) crecen al crecer \(n\), se tiene
\[ (-n_j,n_j)\subseteq (-N,N) \qquad \text{para todo } j=1,\ldots,m. \]
Por consiguiente
\[ K\subseteq (-N,N). \]
Así pues, todo punto \(x\in K\) satisface
\[ |x|<N. \]
Hemos encontrado de este modo una constante \(N>0\) que acota todos los puntos de \(K\). Por tanto, \(K\) es acotado.
Un compacto de \(\mathbb R\) es cerrado
Probemos ahora que \(K\) es cerrado.
Usaremos la caracterización secuencial de los conjuntos cerrados: un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es cerrado si y solo si, para toda sucesión \((x_n)\subseteq K\) convergente a un número real \(x\), se tiene necesariamente \(x\in K\).
Sea, pues, \((x_n)\) una sucesión de puntos de \(K\) tal que
\[ x_n\to x \qquad \text{con } x\in\mathbb R. \]
Como \(K\) es compacto, por la caracterización secuencial de la compacidad en \(\mathbb R\), toda sucesión de puntos de \(K\) admite una subsucesión convergente a un punto de \(K\). Existe, pues, una subsucesión \((x_{n_k})\) tal que
\[ x_{n_k}\to y \qquad \text{con } y\in K. \]
Pero \((x_{n_k})\) es una subsucesión de la sucesión \((x_n)\), y toda subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite. Como \(x_n\to x\), se sigue que
\[ x_{n_k}\to x. \]
Tenemos, por tanto,
\[ x_{n_k}\to x \qquad \text{y} \qquad x_{n_k}\to y. \]
Por la unicidad del límite en \(\mathbb R\), se obtiene
\[ x=y. \]
Como \(y\in K\), se sigue que también \(x\in K\).
Hemos probado que toda sucesión de puntos de \(K\) convergente en \(\mathbb R\) tiene su límite en \(K\). Por tanto, \(K\) es cerrado.
Hemos demostrado así que todo conjunto compacto de \(\mathbb R\) es a la vez cerrado y acotado.
Demostración: todo cerrado y acotado de \(\mathbb R\) es compacto
Demostremos ahora la segunda implicación del teorema de Heine-Borel:
\[ K \text{ cerrado y acotado} \quad \Longrightarrow \quad K \text{ compacto}. \]
Esta es la parte más profunda del teorema. En efecto, no basta con saber intuitivamente que un conjunto cerrado y acotado está bien controlado: hemos de demostrar que todo recubrimiento abierto suyo admite un subrecubrimiento finito.
Procederemos en dos pasos:
- primero demostraremos que todo intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) es compacto;
- luego usaremos este resultado para demostrar que todo subconjunto cerrado y acotado de \(\mathbb R\) es compacto.
Paso 1: todo intervalo \([a,b]\) es compacto
Sean \(a,b\in\mathbb R\), con \(a\leq b\). Queremos demostrar que el intervalo
\[ [a,b] \]
es compacto.
Consideremos un recubrimiento abierto cualquiera de \([a,b]\):
\[ [a,b]\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i, \]
donde cada \(U_i\) es un abierto de \(\mathbb R\).
Hemos de demostrar que existen \(i_1,\ldots,i_m\in I\) tales que
\[ [a,b]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un recubrimiento abierto de \([a,b]\) del cual no es posible extraer ningún subrecubrimiento finito.
Dividamos el intervalo \([a,b]\) en dos mitades:
\[ \left[a,\frac{a+b}{2}\right], \qquad \left[\frac{a+b}{2},b\right]. \]
Si ambas mitades admitieran un subrecubrimiento finito, entonces también su unión, es decir todo \([a,b]\), admitiría un subrecubrimiento finito. Esto contradiría la hipótesis.
Por tanto, al menos una de las dos mitades no admite un subrecubrimiento finito. Designémosla por \(I_1\).
Dividamos ahora \(I_1\) en dos mitades. También en este caso, al menos una de las dos mitades no puede admitir un subrecubrimiento finito; de lo contrario \(I_1\) quedaría recubierto por un número finito de abiertos. Designemos tal mitad por \(I_2\).
Procediendo de este modo, construimos una sucesión de intervalos cerrados y acotados
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq \cdots \]
tales que:
- cada \(I_n\) es un subintervalo cerrado de \([a,b]\);
- ningún \(I_n\) admite un subrecubrimiento finito mediante los abiertos del recubrimiento inicial;
- la longitud de \(I_n\) tiende a \(0\).
Más precisamente, si \(I_n=[a_n,b_n]\), entonces
\[ b_n-a_n=\frac{b-a}{2^n}. \]
Por el teorema de los intervalos encajados, existe al menos un punto
\[ x\in \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Como \(x\in[a,b]\) y la familia \(\{U_i\}_{i\in I}\) recubre \([a,b]\), existe un índice \(i_0\in I\) tal que
\[ x\in U_{i_0}. \]
Puesto que \(U_{i_0}\) es abierto, existe \(r>0\) tal que
\[ (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Como la longitud de los intervalos \(I_n\) tiende a \(0\), podemos elegir \(N\in\mathbb N\) tal que
\[ b_N-a_N<r. \]
Además \(x\in I_N\). Por tanto, para todo \(y\in I_N\), se tiene
\[ |y-x|\leq b_N-a_N<r. \]
Por consiguiente
\[ I_N\subseteq (x-r,x+r)\subseteq U_{i_0}. \]
Pero entonces \(I_N\) queda recubierto por un solo abierto del recubrimiento inicial, a saber \(U_{i_0}\). En particular, \(I_N\) admite un subrecubrimiento finito.
Esto contradice la construcción de los intervalos \(I_n\), según la cual ningún \(I_n\) debía admitir un subrecubrimiento finito.
El absurdo proviene de haber supuesto que \([a,b]\) no era compacto. Por tanto, todo intervalo cerrado y acotado \([a,b]\) es compacto.
Paso 2: todo cerrado y acotado \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto
Sea ahora \(K\subseteq\mathbb R\) un conjunto cerrado y acotado.
Como \(K\) es acotado, existe \(M>0\) tal que
\[ K\subseteq [-M,M]. \]
Acabamos de demostrar que el intervalo \([-M,M]\) es compacto.
Consideremos ahora un recubrimiento abierto cualquiera de \(K\):
\[ K\subseteq \bigcup_{i\in I} U_i. \]
Queremos demostrar que de este recubrimiento se puede extraer un subrecubrimiento finito.
Como \(K\) es cerrado, su complementario
\[ \mathbb R\setminus K \]
es abierto.
Añadamos este abierto a la familia \(\{U_i\}_{i\in I}\). Obtenemos así la familia
\[ \{U_i\}_{i\in I}\cup\{\mathbb R\setminus K\}. \]
Esta nueva familia es un recubrimiento abierto de todo el intervalo \([-M,M]\).
En efecto, si \(x\in[-M,M]\), pueden darse dos casos:
- si \(x\in K\), entonces \(x\) pertenece al menos a uno de los abiertos \(U_i\), porque \(\{U_i\}_{i\in I}\) recubre \(K\);
- si \(x\notin K\), entonces \(x\in\mathbb R\setminus K\).
Por tanto
\[ [-M,M]\subseteq \left(\bigcup_{i\in I} U_i\right)\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Como \([-M,M]\) es compacto, de este recubrimiento abierto de \([-M,M]\) podemos extraer un subrecubrimiento finito.
Existe, pues, un número finito de abiertos del recubrimiento inicial, que denotamos por
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m}, \]
y eventualmente también el abierto \(\mathbb R\setminus K\), tales que
\[ [-M,M]\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}\cup(\mathbb R\setminus K). \]
Restrinjamos ahora la atención a los puntos de \(K\). Como ningún punto de \(K\) pertenece a \(\mathbb R\setminus K\), la parte \(\mathbb R\setminus K\) no contribuye a recubrir \(K\).
Por consiguiente, los solos abiertos
\[ U_{i_1},\ldots,U_{i_m} \]
bastan para recubrir \(K\):
\[ K\subseteq U_{i_1}\cup\cdots\cup U_{i_m}. \]
Hemos extraído, pues, un subrecubrimiento finito del recubrimiento abierto inicial de \(K\).
Como el recubrimiento abierto inicial era arbitrario, \(K\) es compacto.
Hemos demostrado así que todo conjunto cerrado y acotado de \(\mathbb R\) es compacto.
Ejemplos de conjuntos compactos mediante Heine-Borel
El teorema de Heine-Borel permite reconocer rápidamente muchos conjuntos compactos de \(\mathbb R\), sin necesidad de verificar directamente la definición mediante recubrimientos abiertos.
En \(\mathbb R\), en efecto, basta con comprobar dos propiedades:
- el conjunto debe ser cerrado;
- el conjunto debe ser acotado.
Intervalos cerrados y acotados
Todo intervalo de la forma
\[ [a,b], \qquad a,b\in\mathbb R,\ a\leq b, \]
es compacto.
En efecto, \([a,b]\) es cerrado, porque contiene sus propios extremos, y acotado, porque todo punto \(x\) suyo satisface
\[ a\leq x\leq b. \]
Así pues, por el teorema de Heine-Borel, \([a,b]\) es compacto.
Conjuntos finitos
Todo conjunto finito de números reales es compacto.
Por ejemplo, consideremos
\[ A=\{-2,0,3,7\}. \]
El conjunto \(A\) es cerrado, porque todos sus puntos son aislados y no posee puntos de acumulación exteriores. Además es acotado, porque todos sus elementos pertenecen, por ejemplo, al intervalo \([-2,7]\).
Por tanto, por el teorema de Heine-Borel, \(A\) es compacto.
Un conjunto infinito con un punto de acumulación incluido
Consideremos el conjunto
\[ K=\{0\}\cup\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
Este conjunto es acotado, porque
\[ K\subseteq [0,1]. \]
Además es cerrado: el único punto de acumulación de la sucesión \(\displaystyle \frac{1}{n}\) es \(0\), y \(0\) pertenece a \(K\).
Por tanto, \(K\) es cerrado y acotado. Por el teorema de Heine-Borel, \(K\) es compacto.
Unión finita de intervalos cerrados y acotados
También conjuntos como
\[ A=[-2,-1]\cup[0,3]\cup[5,6] \]
son compactos.
En efecto, \(A\) es acotado, porque está contenido en el intervalo \([-2,6]\). Además es cerrado, por ser una unión finita de conjuntos cerrados.
Por tanto, por el teorema de Heine-Borel, \(A\) es compacto.
Ejemplos de conjuntos no compactos mediante Heine-Borel
El teorema de Heine-Borel permite también reconocer rápidamente cuándo un conjunto de números reales no es compacto.
En \(\mathbb R\), un conjunto no es compacto si le falta al menos una de las dos propiedades exigidas por el teorema: ser cerrado o ser acotado.
Intervalos abiertos acotados
El intervalo
\[ (0,1) \]
no es compacto.
En efecto, es acotado, pero no cerrado. Los puntos \(0\) y \(1\) son puntos de acumulación de \((0,1)\), pero no pertenecen al intervalo.
Como \((0,1)\) no es cerrado, por el teorema de Heine-Borel no es compacto.
Intervalos semiabiertos
Tampoco el intervalo
\[ [0,1) \]
es compacto.
Es acotado, pero no cerrado, porque \(1\) es un punto de acumulación del conjunto y \(1\notin[0,1)\).
Por tanto, \([0,1)\) no es compacto.
Conjuntos cerrados pero no acotados
La semirrecta
\[ [0,+\infty) \]
no es compacta.
En efecto, es cerrada, pero no acotada: sus puntos pueden alejarse indefinidamente hacia \(+\infty\).
Por el teorema de Heine-Borel, un subconjunto de \(\mathbb R\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado. Como \([0,+\infty)\) no es acotado, no es compacto.
Un conjunto acotado pero no cerrado
Consideremos el conjunto
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\geq 1\right\}. \]
El conjunto \(A\) es acotado, porque
\[ A\subseteq (0,1]. \]
Sin embargo, no es cerrado, porque la sucesión
\[ \frac{1}{n} \]
converge a \(0\), pero \(0\notin A\).
Por tanto, \(A\) no es cerrado. Por el teorema de Heine-Borel, \(A\) no es compacto.
Heine-Borel y sucesiones
El teorema de Heine-Borel está estrechamente ligado a la caracterización secuencial de la compacidad.
En \(\mathbb R\), decir que un conjunto \(K\) es compacto equivale también a decir que toda sucesión de puntos de \(K\) admite una subsucesión convergente a un punto de \(K\).
El teorema de Heine-Borel explica por qué esta propiedad es equivalente a ser cerrado y acotado.
El papel de la acotación
La acotación impide que las sucesiones huyan al infinito.
Por ejemplo, en el conjunto
\[ [0,+\infty) \]
la sucesión
\[ x_n=n \]
está enteramente contenida en el conjunto, pero no admite ninguna subsucesión convergente en \(\mathbb R\). En efecto, toda subsucesión suya tiende a \(+\infty\).
Esto muestra por qué la acotación es necesaria para la compacidad.
El papel de ser cerrado
Ser cerrado impide que las sucesiones converjan hacia puntos exteriores al conjunto.
Por ejemplo, en el intervalo
\[ (0,1) \]
la sucesión
\[ x_n=\frac{1}{n} \]
está contenida en \((0,1)\) para todo \(n\geq 2\), pero converge a \(0\), que no pertenece al intervalo.
Esto muestra por qué ser cerrado es necesario para la compacidad.
Ser cerrado y acotado a la vez
Si un conjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es acotado, entonces toda sucesión de puntos de \(K\) es acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, admite una subsucesión convergente en \(\mathbb R\).
Si además \(K\) es cerrado, el límite de dicha subsucesión pertenece todavía a \(K\).
Por tanto, toda sucesión de puntos de \(K\) admite una subsucesión convergente a un punto de \(K\).
Este es el contenido secuencial de la compacidad y representa otra forma del teorema de Heine-Borel en la recta real.
Resumen final
El teorema de Heine-Borel afirma que un subconjunto \(K\subseteq\mathbb R\) es compacto si y solo si es cerrado y acotado.
En símbolos:
\[ K\subseteq\mathbb R \text{ es compacto} \quad \Longleftrightarrow \quad K \text{ es cerrado y acotado}. \]
La compacidad se define mediante recubrimientos abiertos: todo recubrimiento abierto de \(K\) debe admitir un subrecubrimiento finito.
El teorema de Heine-Borel vuelve concreta esta definición en el caso de la recta real. En lugar de examinar directamente todos los recubrimientos abiertos, basta con comprobar dos propiedades:
- \(K\) es cerrado, de modo que contiene todos sus puntos de acumulación;
- \(K\) es acotado, de modo que sus puntos no pueden huir al infinito.
La acotación impide la huida al infinito, mientras que el hecho de ser cerrado garantiza que el conjunto contenga todos sus puntos de acumulación.
Por este motivo, en \(\mathbb R\), los conjuntos compactos son exactamente los conjuntos cerrados y acotados.
El teorema de Heine-Borel es, pues, el resultado que vincula de manera definitiva la definición abstracta de compacidad, basada en los recubrimientos abiertos, con una caracterización sencilla y concreta en la recta real: ser cerrado y acotado.
Esta caracterización está en la base de muchos resultados posteriores del análisis, entre ellos el teorema de Weierstrass, la caracterización secuencial de la compacidad y el estudio de las funciones continuas definidas sobre conjuntos compactos.