El Teorema de Lagrange, conocido tambi茅n como teorema del valor medio, es un resultado fundamental en an谩lisis matem谩tico. Este teorema establece que, dada una funci贸n continua en un intervalo cerrado \( [a, b]\) y derivable en \( (a, b) \), existe al menos un punto en el cual la derivada coincide con la raz贸n incremental entre los extremos del intervalo. La demostraci贸n se basa en el Teorema de Rolle y en la construcci贸n de una funci贸n auxiliar.
脥ndice
Teorema de Lagrange (o del Valor Medio)
Sea \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua en \([a,b]\) y derivable en cada punto de \( (a,b) \). Entonces existe al menos un punto \( \xi \in (a,b) \) tal que:
\[ f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Demostraci贸n. Para demostrar este teorema, construimos una funci贸n auxiliar \(F(x)\) que nos permitir谩 aplicar el Teorema de Rolle. Definimos:
\[ F(x) = f(x) - \left[f(a) + (x-a)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right] \]
Esta funci贸n \(F(x)\) es la diferencia entre \(f(x)\) y la recta que pasa por los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\). Es f谩cil verificar que \(F(a) = F(b) = 0\). Adem谩s, \(F\) es continua en \([a,b]\) y derivable en \((a,b)\), heredando estas propiedades de \(f\).
Aplicando el Teorema de Rolle a \(F\), existe al menos un punto \(\xi \in (a,b)\) tal que \(F'(\xi) = 0\). Calculando la derivada de \(F\) obtenemos:
\[ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \]
Por tanto, \(F'(\xi) = 0\) implica la tesis del teorema. Este punto \( \xi \) no es necesariamente 煤nico.
Corolarios del Teorema de Lagrange
Corolario 1. Si una funci贸n tiene derivada nula en cada punto de un intervalo, entonces la funci贸n es constante en ese intervalo.
Demostraci贸n. Fijamos un punto \(x_0\) en el intervalo. Para cualquier otro punto \(x\), aplicando el teorema de Lagrange al intervalo \([x_0,x]\), obtenemos:
\[ f(x) - f(x_0) = f'(\xi)(x - x_0) = 0 \]
Por tanto \(f(x) = f(x_0)\) para todo \(x\) en el intervalo.
Corolario 2. Si \(f\) es derivable en un intervalo \(I\) y \(f'(x) \geq 0\) para todo \(x \in I\), entonces \(f\) es no decreciente en \(I\). An谩logamente, si \(f'(x) \leq 0\), entonces \(f\) es no creciente. Si \(f'(x) > 0\) para todo \(x \in I\), entonces \(f\) es estrictamente creciente; si \(f'(x) < 0\), entonces \(f\) es estrictamente decreciente.
Demostraci贸n. Tomados dos puntos cualesquiera \(x_1 < x_2\) en \(I\), el teorema de Lagrange nos dice que:
\[ f(x_2) - f(x_1) = f'(\xi)(x_2 - x_1) \geq 0 \]
siendo \(f'(\xi) \geq 0\) y \(x_2 - x_1 > 0\). Por tanto \(f(x_2) \geq f(x_1)\). Si \(f'(\xi) > 0\), entonces \(f(x_2) > f(x_1)\).
Corolario 3. Si \(f\) es continua en \([a,b]\), derivable en \((a,b)\) y \(m_1 \leq f'(x) \leq m_2\) para todo \(x \in (a,b)\), entonces:
\[ m_1(x - a) \leq f(x) - f(a) \leq m_2(x - a) \]
Demostraci贸n. Aplicando el teorema de Lagrange, sabemos que existe \(\xi\) entre \(a\) y \(x\) tal que:
\[ \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(\xi) \]
Y puesto que \(m_1 \leq f'(\xi) \leq m_2\), la tesis se sigue inmediatamente.