Los ejercicios que siguen tienen como objetivo afianzar la comprensión del teorema de los intervalos encajados y de sus aplicaciones. En particular, aprenderemos a comprobar cuándo una sucesión de intervalos satisface las hipótesis del teorema, a determinar su intersección y a entender el papel que desempeña la completitud de los números reales.
Los ejercicios están ordenados por dificultad creciente. En los primeros aplicaremos el teorema de forma directa; más adelante examinaremos contraejemplos, construcciones más elaboradas y algunas de sus consecuencias teóricas más relevantes.
Emplearemos tanto la forma general del teorema —según la cual la intersección de una sucesión de intervalos cerrados, acotados, no vacíos y encajados es a su vez no vacía— como la forma más fuerte: si las longitudes de los intervalos tienden a cero, entonces la intersección se reduce a un único punto.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[0,\frac{1}{n}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados y acotados. Además,
\[ I_{n+1} = \left[0,\frac{1}{n+1}\right] \subseteq \left[0,\frac{1}{n}\right] = I_n, \]
ya que
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}. \]
Por tanto, la sucesión está formada por intervalos encajados.
Además, la longitud de \(I_n\) es
\[ \frac{1}{n}-0=\frac{1}{n}, \]
y se tiene
\[ \frac{1}{n}\longrightarrow 0. \]
Por la forma fuerte del teorema de los intervalos encajados, cuando las longitudes tienden a cero la intersección se reduce a un único punto.
Observamos que \(0\) pertenece a todos los intervalos \(I_n\).
Por otra parte, si \(x>0\), eligiendo \(n\) suficientemente grande se obtiene
\[ \frac{1}{n}<x. \]
De aquí se sigue que \(x\notin I_n\), de modo que \(x\) no puede pertenecer a la intersección de todos los intervalos.
El único punto común a todos los intervalos es, por tanto, \(0\).
Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,\frac{1}{n}\right] = \{0\}. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n= \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{0\}. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos.
Además,
\[ \left[ -\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+1} \right] \subseteq \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right], \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Se trata, pues, de una sucesión de intervalos encajados.
La longitud de \(I_n\) vale
\[ \frac{1}{n} - \left(-\frac{1}{n}\right) = \frac{2}{n}, \]
y
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow 0. \]
El teorema de los intervalos encajados garantiza entonces que la intersección contiene un único punto.
Como
\[ -\frac{1}{n} \leq 0 \leq \frac{1}{n} \qquad \forall n, \]
el número \(0\) pertenece a todos los intervalos.
Si, en cambio, \(x\neq0\), entonces \(|x|>0\). Eligiendo \(n\) suficientemente grande se tiene
\[ \frac{1}{n}<|x|. \]
De ello se deduce que \(x\notin I_n\).
Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[ -\frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right] = \{0\}. \]
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[1,1+\frac{1}{n}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{1\}. \]
Resolución
Los intervalos \(I_n\) son cerrados, acotados y no vacíos. Además, a medida que \(n\) crece, el extremo derecho \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) disminuye, mientras que el extremo izquierdo permanece igual a \(1\). Por tanto, los intervalos son encajados.
En efecto, para todo \(n\in\mathbb N\) se tiene
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
La longitud del intervalo \(I_n\) es
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-1=\frac{1}{n}. \]
Como \(\frac{1}{n}\to0\), el teorema de los intervalos encajados garantiza que la intersección contiene un solo punto.
El punto \(1\) pertenece a todos los intervalos, pues es siempre el extremo izquierdo de \(I_n\). Así pues,
\[ 1\in\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Dado que la intersección contiene un solo punto y dicho punto es \(1\), concluimos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[1,1+\frac{1}{n}\right]=\{1\}. \]
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{2\}. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. Además, a medida que \(n\) crece, el extremo izquierdo
\[ 2-\frac{1}{n} \]
crece hacia \(2\), mientras que el extremo derecho
\[ 2+\frac{1}{n} \]
decrece hacia \(2\). Por tanto, los intervalos son encajados.
La longitud de \(I_n\) es
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-\left(2-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}, \]
y, por tanto,
\[ \frac{2}{n}\longrightarrow0. \]
Por el teorema de los intervalos encajados, la intersección contiene un único punto.
Como
\[ 2-\frac{1}{n}\leq 2\leq 2+\frac{1}{n} \]
para todo \(n\), el punto \(2\) pertenece a todos los intervalos.
Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[2-\frac{1}{n},2+\frac{1}{n}\right] = \{2\}. \]
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[0,2+\frac{1}{n}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,2]. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. Además, puesto que
\[ 2+\frac{1}{n+1}<2+\frac{1}{n}, \]
se tiene
\[ I_{n+1}\subseteq I_n. \]
Se trata, pues, de una sucesión de intervalos encajados.
En este caso, sin embargo, las longitudes de los intervalos no tienden a cero. En efecto,
\[ \left(2+\frac{1}{n}\right)-0=2+\frac{1}{n}, \]
y, en consecuencia,
\[ 2+\frac{1}{n}\longrightarrow2. \]
Por ello, la intersección no tiene por qué reducirse a un solo punto.
Observamos que todo punto \(x\in[0,2]\) pertenece a todos los intervalos, porque
\[ 0\leq x\leq2<2+\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Así pues,
\[ [0,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty}I_n. \]
Si, por el contrario, \(x<0\), entonces \(x\notin I_n\) para todo \(n\), ya que todos los intervalos tienen extremo izquierdo igual a \(0\).
Recíprocamente, si \(x>2\), entonces \(x-2>0\). Por la propiedad arquimediana existe \(n\) tal que
\[ \frac{1}{n}<x-2. \]
De donde
\[ 2+\frac{1}{n}<x. \]
Por tanto, \(x\notin I_n\), de modo que \(x\) no pertenece a la intersección de todos los intervalos.
Concluimos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} \left[0,2+\frac{1}{n}\right] = [0,2]. \]
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n},3+\frac{1}{n}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. A medida que \(n\) crece, el extremo izquierdo \(1-\displaystyle \frac{1}{n}\) crece hacia \(1\), mientras que el extremo derecho \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\) decrece hacia \(3\). Por tanto, los intervalos son encajados.
La longitud de \(I_n\) es
\[ \left(3+\frac{1}{n}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)=2+\frac{2}{n}. \]
Como \(2+\displaystyle \frac{2}{n}\to2\), la longitud no tiende a cero. Por tanto, la intersección no se reduce a un solo punto.
Los extremos izquierdos tienen supremo \(1\), mientras que los extremos derechos tienen ínfimo \(3\). Por el teorema de los intervalos encajados se obtiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[1,3]. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. Además, el extremo izquierdo \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) crece hacia \(0\), mientras que el extremo derecho permanece igual a \(1\). Por tanto, los intervalos son encajados.
La longitud de \(I_n\) es
\[ 1-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{n}. \]
Como \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\to1\), la longitud no tiende a cero.
El supremo de los extremos izquierdos es \(0\), mientras que el ínfimo de los extremos derechos es \(1\). Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1\right]=[0,1]. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[2-\frac{1}{n},5\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[2,5]. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. El extremo izquierdo \(2-\displaystyle \frac{1}{n}\) crece hacia \(2\), mientras que el extremo derecho permanece constante e igual a \(5\). Por tanto, los intervalos son encajados.
La longitud de \(I_n\) es
\[ 5-\left(2-\frac{1}{n}\right)=3+\frac{1}{n}. \]
Como \(3+\displaystyle \frac{1}{n}\to3\), la longitud no tiende a cero.
El supremo de los extremos izquierdos es \(2\), mientras que el ínfimo de los extremos derechos es \(5\). Así pues,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[2-\frac{1}{n},5\right]=[2,5]. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=[0,1]. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. El extremo izquierdo \(-\displaystyle \frac{1}{n}\) crece hacia \(0\), mientras que el extremo derecho \(1+\displaystyle \frac{1}{n}\) decrece hacia \(1\). Por tanto, los intervalos son encajados.
La longitud de \(I_n\) es
\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{2}{n}. \]
Como \(1+\displaystyle \frac{2}{n}\to1\), la longitud no tiende a cero.
El supremo de los extremos izquierdos es \(0\), mientras que el ínfimo de los extremos derechos es \(1\). Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right]=[0,1]. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
Se tiene
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Resolución
Reescribamos los extremos del intervalo:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}, \qquad 2-\frac{1}{n+1}. \]
Así pues,
\[ I_n=\left[1-\frac{1}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]. \]
Los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. Sin embargo, no están encajados de forma decreciente: al crecer \(n\), ambos extremos se desplazan hacia la derecha.
En efecto,
\[ I_1=\left[\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right], \qquad I_2=\left[\frac{2}{3},\frac{5}{3}\right]. \]
El intervalo \(I_2\) no está contenido en \(I_1\), ya que su extremo derecho es mayor que el de \(I_1\). Por tanto, el teorema de los intervalos encajados no se aplica de forma directa.
Determinemos de todos modos la intersección. Un número \(x\) pertenece a todos los intervalos si y solo si
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq x\leq 2-\frac{1}{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
De la primera desigualdad, exigiendo que se cumpla para todo \(n\), se obtiene
\[ x\geq1. \]
En efecto, los extremos izquierdos \(1-\frac{1}{n+1}\) crecen hacia \(1\).
De la segunda desigualdad, en cambio, la restricción más fuerte se obtiene para \(n=1\), ya que los extremos derechos \(2-\frac{1}{n+1}\) crecen al crecer \(n\). Por tanto, debe ser
\[ x\leq 2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}. \]
Por consiguiente, todo punto de la intersección debe satisfacer
\[ 1\leq x\leq\frac{3}{2}. \]
Recíprocamente, si \(1\leq x\leq\frac{3}{2}\), entonces para todo \(n\in\mathbb N\) se tiene
\[ 1-\frac{1}{n+1}\leq1\leq x \]
y, además,
\[ x\leq\frac{3}{2}\leq2-\frac{1}{n+1}. \]
Por tanto, \(x\in I_n\) para todo \(n\in\mathbb N\).
Concluimos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\frac{n}{n+1},2-\frac{1}{n+1}\right]=\left[1,\frac{3}{2}\right]. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left(0,\frac{1}{n}\right). \]
Establézcase si el teorema de los intervalos encajados es aplicable y determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
El teorema de los intervalos encajados no es aplicable, porque los intervalos no son cerrados. Además,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Resolución
Los intervalos \(I_n\) son abiertos, acotados, no vacíos y encajados. En efecto, al crecer \(n\) el extremo derecho \(\displaystyle \frac{1}{n}\) disminuye.
Sin embargo, el teorema de los intervalos encajados exige intervalos cerrados y acotados. Aquí los intervalos no son cerrados, de modo que el teorema no puede aplicarse.
Determinemos ahora la intersección. Si \(x\) perteneciera a todos los intervalos, debería cumplirse
\[ 0\lt x\lt\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Pero, si \(x\gt0\), por la propiedad arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Para dicho \(n\), el número \(x\) no pertenece a \(I_n\).
Así pues, ningún número real pertenece a todos los intervalos. Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,\frac{1}{n}\right)=\varnothing. \]
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=[n,+\infty). \]
Establézcase si el teorema de los intervalos encajados es aplicable y determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
El teorema de los intervalos encajados no es aplicable, porque los intervalos no son acotados. Además,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Resolución
Los intervalos \(I_n=[n,+\infty)\) son cerrados y no vacíos. Además son encajados, porque
\[ [n+1,+\infty)\subseteq[n,+\infty). \]
Sin embargo, no son acotados. El teorema de los intervalos encajados exige intervalos cerrados y acotados, de modo que en este caso no es aplicable.
Determinemos la intersección. Si \(x\) perteneciera a todos los intervalos, debería cumplirse
\[ x\geq n \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Esto es imposible, ya que ningún número real es mayor o igual que todos los números naturales.
Por tanto,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[n,+\infty)=\varnothing. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]. \]
Establézcase si el teorema de los intervalos encajados es aplicable y determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
El teorema de los intervalos encajados no es aplicable, porque los intervalos no son acotados. Además,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Resolución
Los intervalos son cerrados y no vacíos, pero no están acotados inferiormente. Por tanto, el teorema de los intervalos encajados no puede aplicarse de forma directa.
Los intervalos son, no obstante, encajados, ya que el extremo derecho \(\displaystyle\frac{1}{n}\) decrece hacia \(0\).
Si \(x\leq0\), entonces
\[ x\leq0\lt\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Por tanto, todo \(x\leq0\) pertenece a todos los intervalos.
Si, en cambio, \(x\gt0\), por la propiedad arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{1}{n}\lt x. \]
Para dicho \(n\) se tiene \(x\notin I_n\).
Por consiguiente, los puntos comunes a todos los intervalos son exactamente los números reales menores o iguales que \(0\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(-\infty,\frac{1}{n}\right]=(-\infty,0]. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left[0,1+\frac{(-1)^n}{2}\right]. \]
Establézcase si los intervalos son encajados y si el teorema de los intervalos encajados es aplicable.
Resultado
Los intervalos no son encajados. El teorema de los intervalos encajados no es aplicable.
Resolución
Calculemos los primeros intervalos. Para \(n=1\) se tiene
\[ I_1=\left[0,\frac{1}{2}\right], \]
mientras que para \(n=2\) se tiene
\[ I_2=\left[0,\frac{3}{2}\right]. \]
Por tanto, \(I_2\) no está contenido en \(I_1\). En efecto,
\[ \frac{3}{2}\in I_2, \qquad \frac{3}{2}\notin I_1. \]
La sucesión de intervalos no es, pues, encajada.
Aunque los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos, no se cumple la hipótesis de encaje. Por consiguiente, el teorema de los intervalos encajados no es aplicable.
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Considérese la sucesión de intervalos
\[ I_n=\left(0,1+\frac{1}{n}\right). \]
Establézcase si el teorema de los intervalos encajados es aplicable y determínese
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Resultado
El teorema de los intervalos encajados no es aplicable, porque los intervalos no son cerrados. Además,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Resolución
Los intervalos son abiertos, acotados, no vacíos y encajados, ya que el extremo derecho \(1+\displaystyle\frac{1}{n}\) decrece hacia \(1\).
Sin embargo, el teorema de los intervalos encajados exige intervalos cerrados y acotados. Como los intervalos \(I_n\) no son cerrados, el teorema no es aplicable.
Determinemos ahora la intersección. Si \(0\lt x\leq1\), entonces
\[ 0\lt x\lt1+\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb N\), de modo que \(x\in I_n\) para todo \(n\).
Por consiguiente,
\[ (0,1]\subseteq\bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n. \]
Recíprocamente, si \(x\leq0\), entonces \(x\notin I_n\) para todo \(n\). Si, en cambio, \(x\gt1\), entonces \(x-1\gt0\), y por la propiedad arquimediana existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac{1}{n}\lt x-1. \]
De donde
\[ 1+\frac{1}{n}\lt x. \]
Para dicho \(n\), el número \(x\) no pertenece a \(I_n\).
Concluimos que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left(0,1+\frac{1}{n}\right)=(0,1]. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Constrúyase una sucesión de intervalos cerrados y acotados, encajados y con longitud que tiende a cero, cuya intersección sea \(\{\sqrt{2}\}\).
Resultado
Un posible ejemplo es
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
En tal caso,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Resolución
Consideremos
\[ I_n=\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]. \]
Cada \(I_n\) es un intervalo cerrado, acotado y no vacío.
A medida que \(n\) crece, el extremo izquierdo crece hacia \(\sqrt{2}\), mientras que el extremo derecho decrece hacia \(\sqrt{2}\). Por tanto, los intervalos son encajados.
La longitud de \(I_n\) es
\[ \left(\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right)-\left(\sqrt{2}-\frac{1}{n}\right)=\frac{2}{n}. \]
Como \( \displaystyle \frac{2}{n}\to0\), el teorema de los intervalos encajados garantiza que la intersección contiene un solo punto.
El punto \(\sqrt{2}\) pertenece a todos los intervalos, pues se halla siempre entre los extremos \(\sqrt{2}-\displaystyle \frac{1}{n}\) y \(\sqrt{2}+\displaystyle \frac{1}{n}\).
Por consiguiente, el único punto común a todos los intervalos es \(\sqrt{2}\), es decir,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}\left[\sqrt{2}-\frac{1}{n},\sqrt{2}+\frac{1}{n}\right]=\{\sqrt{2}\}. \]
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Sea \(f(x)=x^2-2\). Considérese el intervalo inicial \([1,2]\), en el que \(f(1)\lt0\) y \(f(2)\gt0\). Constrúyase, mediante bisección, una sucesión de intervalos cerrados y encajados que contenga siempre una solución de la ecuación
\[ x^2=2. \]
Explíquese por qué la intersección contiene un único punto.
Resultado
El método de bisección produce una sucesión de intervalos cerrados, acotados y encajados, con longitud que tiende a cero. La intersección contiene un único punto, que es \(\sqrt{2}\).
Resolución
Partimos del intervalo
\[ I_1=[1,2]. \]
Como \(f(1)=1^2-2=-1\) y \(f(2)=2^2-2=2\), la función cambia de signo entre \(1\) y \(2\).
Dividimos \(I_1\) en dos partes iguales y elegimos aquella de las dos mitades en la que la función vuelve a cambiar de signo. Llamamos \(I_2\) a dicho intervalo. Repitiendo el procedimiento, obtenemos una sucesión de intervalos
\[ I_1\supseteq I_2\supseteq I_3\supseteq\cdots. \]
Por construcción, cada \(I_n\) es cerrado, acotado y no vacío. Además, los intervalos son encajados.
En cada paso la longitud se reduce a la mitad. Como la longitud inicial es \(1\), la longitud de \(I_n\) es
\[ \frac{1}{2^{n-1}}. \]
Puesto que
\[ \frac{1}{2^{n-1}}\to0, \]
el teorema de los intervalos encajados garantiza que la intersección contiene un único punto.
Denotemos por \(x_0\) el único punto que pertenece a todos los intervalos \(I_n\). Por construcción, cada intervalo \(I_n\) contiene al menos una solución de la ecuación \(x^2=2\).
Denotemos por \(x_0\) el único punto que pertenece a todos los intervalos \(I_n\). Por construcción, en cada paso elegimos un subintervalo que contiene la solución positiva de la ecuación \(x^2=2\).
Dicha solución positiva es \(\sqrt{2}\). Por tanto, \(\sqrt{2}\in I_n\) para todo \(n\in\mathbb N\). Como la intersección de todos los intervalos contiene un único punto, ese punto debe ser precisamente \(\sqrt{2}\).
Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Por tanto,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{\sqrt{2}\}. \]
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Sean \((a_n)\) y \((b_n)\) dos sucesiones reales tales que
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\). Supongamos, además, que
\[ b_n-a_n\to0. \]
Demuéstrese que ambas sucesiones convergen al mismo límite.
Resultado
Las sucesiones \((a_n)\) y \((b_n)\) convergen al mismo límite.
Resolución
Consideremos los intervalos
\[ I_n=[a_n,b_n]. \]
La condición
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
implica que
\[ I_{n+1}\subseteq I_n \]
para todo \(n\). Por tanto, \((I_n)\) es una sucesión de intervalos encajados.
Además, los intervalos son cerrados, acotados y no vacíos. Como \(b_n-a_n\to0\), el teorema de los intervalos encajados garantiza que existe un único punto \(x_0\) tal que
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\{x_0\}. \]
Dado que \(x_0\in I_n\) para todo \(n\), se tiene
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
para todo \(n\).
De esta doble desigualdad se sigue
\[ 0\leq x_0-a_n\leq b_n-a_n \]
y también
\[ 0\leq b_n-x_0\leq b_n-a_n. \]
Como \(b_n-a_n\to0\), por el teorema del sándwich obtenemos
\[ a_n\to x_0 \qquad\text{y}\qquad b_n\to x_0. \]
Por consiguiente, ambas sucesiones convergen al mismo límite.
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Muéstrese que el teorema de los intervalos encajados puede fallar en \(\mathbb Q\).
Resultado
En \(\mathbb Q\) existen sucesiones de intervalos racionales cerrados, acotados y encajados, con longitud que tiende a cero, cuya intersección es vacía.
Resolución
Construimos intervalos racionales que encierran cada vez más estrechamente el número irracional \(\sqrt{2}\).
Sean \(a_n\) y \(b_n\) números racionales tales que
\[ a_n\lt\sqrt{2}\lt b_n \]
y tales que
\[ b_n-a_n\to0. \]
Por ejemplo, pueden tomarse \(a_n\) y \(b_n\) como aproximaciones decimales racionales de \(\sqrt{2}\), por defecto y por exceso, respectivamente.
Elijámoslos, además, de modo que los intervalos
\[ [a_n,b_n] \]
sean encajados.
Consideremos ahora los conjuntos
\[ I_n=[a_n,b_n]\cap\mathbb Q. \]
En \(\mathbb Q\), los conjuntos \(I_n\) son intervalos racionales cerrados y acotados, respecto de la topología relativa y del orden usual de \(\mathbb Q\). Son, además, encajados y su longitud tiende a cero.
En \(\mathbb R\), la intersección de los intervalos \([a_n,b_n]\) es el único punto \(\sqrt{2}\):
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty}[a_n,b_n]=\{\sqrt{2}\}. \]
Sin embargo,
\[ \sqrt{2}\notin\mathbb Q. \]
Por tanto, si trabajamos dentro de \(\mathbb Q\), ningún número racional pertenece a todos los intervalos \(I_n\).
Por consiguiente,
\[ \bigcap_{n=1}^{+\infty} I_n=\varnothing. \]
Esto muestra que el teorema de los intervalos encajados depende de la completitud de \(\mathbb R\) y puede fallar en \(\mathbb Q\).
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Demuéstrese la siguiente forma del teorema de los intervalos encajados: si
\[ I_n=[a_n,b_n], \qquad I_{n+1}\subseteq I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\), y si
\[ b_n-a_n\to0, \]
entonces existe un único punto que pertenece a todos los intervalos \(I_n\).
Resultado
Existe un único \(x_0\in\mathbb R\) tal que
\[ x_0\in I_n \]
para todo \(n\in\mathbb N\).
Resolución
Como los intervalos son encajados, se tiene
\[ a_n\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_n \]
para todo \(n\).
Por tanto, la sucesión \((a_n)\) es creciente, mientras que la sucesión \((b_n)\) es decreciente.
Veamos que cada \(b_n\) es una cota superior del conjunto \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\). En efecto, si \(k\leq n\), entonces
\[ a_k\leq a_n\leq b_n. \]
Si, en cambio, \(k>n\), entonces
\[ a_k\leq b_k\leq b_n. \]
En cualquier caso, \(a_k\leq b_n\). Así pues, cada \(b_n\) es una cota superior de \(\{a_k:k\in\mathbb N\}\).
Por la completitud de \(\mathbb R\), existe
\[ x_0=\sup\{a_n:n\in\mathbb N\}. \]
En consecuencia, se tiene
\[ x_0\leq b_n \]
para todo \(n\). Además, por la definición de supremo, se tiene
\[ a_n\leq x_0 \]
para todo \(n\).
Así pues,
\[ a_n\leq x_0\leq b_n \]
para todo \(n\), y, por tanto, \(x_0\in I_n\) para todo \(n\).
Hemos probado así que la intersección no es vacía.
Probemos ahora la unicidad. Supongamos que \(x\) e \(y\) pertenecen a todos los intervalos \(I_n\), con \(x\leq y\). Entonces, para todo \(n\),
\[ a_n\leq x\leq y\leq b_n. \]
De ello se sigue que
\[ 0\leq y-x\leq b_n-a_n. \]
Como \(b_n-a_n\to0\), obtenemos \(y-x=0\), es decir, \(x=y\).
Por tanto, el punto común a todos los intervalos es único.