El teorema de Stolz-Cesàro proporciona una herramienta fundamental para el cálculo del límite de cocientes de sucesiones. Resulta especialmente útil cuando el denominador tiende a \(+\infty\) y el cálculo directo del límite es complicado o conduce a una forma indeterminada.
Este resultado puede verse como una generalización del teorema de Cesàro sobre las medias aritméticas y se emplea ampliamente en el estudio de la convergencia de sucesiones.
A lo largo de todo el texto suponemos que \( \mathbb{N} = \{0,1,2,\dots\} \).
Índice
- Teorema de Stolz-Cesàro
- Demostración
- Corolario I
- Corolario II (Teorema de Cesàro)
- Corolario III
- Corolario IV
Teorema de Stolz-Cesàro. Sean \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) y \( \{b_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) dos sucesiones de números reales. Supongamos que:
- \( b_n > 0 \) para todo \( n \) suficientemente grande;
- \( b_{n+1} > b_n \) para todo \( n \) suficientemente grande;
- \[ \lim_{n \to \infty} b_n = +\infty. \]
Si existe el límite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L \in \mathbb{R}, \]
entonces también existe el límite
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Existen también variantes del teorema de Stolz-Cesàro para el caso en que el límite del cociente de los incrementos sea \(+\infty\) o \(-\infty\), así como versiones adecuadas para ciertas formas indeterminadas del tipo \(\displaystyle \frac{0}{0}\). En este texto nos centramos en la forma más empleada, esto es, la relativa a la forma indeterminada \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) con límite real finito.
Demostración. Supongamos que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L. \]
Queremos demostrar que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Por definición de límite, para todo \( \varepsilon > 0 \) existe \( n_\varepsilon \in \mathbb{N} \), elegido lo bastante grande como para garantizar además que \( b_n > 0 \) y \( b_{n+1} > b_n \) para todo \( n \ge n_\varepsilon \), tal que
\[ \left| \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} - L \right| < \varepsilon, \qquad \forall n \ge n_\varepsilon. \]
Equivalentemente,
\[ L - \varepsilon < \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} < L + \varepsilon. \]
Dado que \( b_{n+1} - b_n > 0 \) para todo \( n \ge n_\varepsilon \), podemos multiplicar todos los miembros de la desigualdad y obtenemos:
\[ (L - \varepsilon) (b_{n+1} - b_n) < a_{n+1} - a_n < (L + \varepsilon) (b_{n+1} - b_n). \]
Sumamos miembro a miembro desde \( k = n_\varepsilon \) hasta \( k = n - 1 \):
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L - \varepsilon)(b_{k+1} - b_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) < \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (L + \varepsilon)(b_{k+1} - b_k). \]
Las sumas son telescópicas. En efecto:
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = a_n - a_{n_\varepsilon}, \]
y, de forma análoga,
\[ \sum_{k=n_\varepsilon}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_n - b_{n_\varepsilon}. \]
Por tanto:
\[ (L - \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}) < a_n - a_{n_\varepsilon} < (L + \varepsilon) (b_n - b_{n_\varepsilon}). \]
Dividiendo entre \( b_n > 0 \), obtenemos:
\[ (L - \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} < \frac{a_n}{b_n} < (L + \varepsilon) \left( 1 - \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} \right) + \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n}. \]
Puesto que
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{b_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n_\varepsilon}}{b_n} = 0, \]
pasando al límite inferior y al límite superior en la desigualdad anterior, obtenemos:
\[ L - \varepsilon \le \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} \le L + \varepsilon. \]
Como \( \varepsilon > 0 \) es arbitrario, se sigue que
\[ \liminf_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Por consiguiente:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. \]
Esto concluye la demostración del teorema de Stolz-Cesàro.
Corolario I. Si
\[ \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L, \]
entonces
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Demostración. Basta aplicar el teorema de Stolz-Cesàro a la sucesión \( b_n = n \). El cociente \(a_n/n\) se considera naturalmente para \(n\ge 1\). En efecto:
\[ b_{n+1} - b_n = 1, \]
luego
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} (a_{n+1} - a_n) = L. \]
Por tanto:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = L. \]
Corolario II (Teorema de Cesàro). Sea \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una sucesión convergente a \( L \). Para cada \(n\ge 1\), definimos:
\[ \alpha_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} a_k. \]
Entonces:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = L. \]
Demostración. Ponemos
\[ c_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k, \qquad b_n = n. \]
Entonces:
\[ \alpha_n = \frac{c_n}{b_n}. \]
Además:
\[ \frac{c_{n+1} - c_n}{b_{n+1} - b_n} = \frac{a_n}{1} = a_n. \]
Puesto que \( a_n \to L \), el teorema de Stolz-Cesàro implica:
\[ \lim_{n \to \infty} \alpha_n = \lim_{n \to \infty} \frac{c_n}{b_n} = L. \]
Corolario III. Sea \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una sucesión tal que:
- \( a_n > 0 \) para todo \( n \);
- \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L > 0. \]
Entonces:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Demostración. Definimos:
\[ u_n = \log a_n. \]
Puesto que \( a_n \to L > 0 \), se tiene:
\[ u_n = \log a_n \longrightarrow \log L. \]
Consideramos las medias aritméticas:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u_k, \qquad n\ge 1. \]
Sustituyendo la definición de \( u_k \), obtenemos:
\[ \beta_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log a_k = \log \left( \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} \right). \]
Por el Corolario II:
\[ \lim_{n \to \infty} \beta_n = \log L. \]
Aplicando la función exponencial:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=0}^{n-1} a_k} = L. \]
Corolario IV. Sea \( \{a_n\}_{n \in \mathbb{N}} \) una sucesión de números reales estrictamente positivos.
Si
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L > 0, \]
entonces:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Demostración. Definimos, para cada \( n \ge 1 \),
\[ b_n = \frac{a_n}{a_{n-1}}. \]
Por hipótesis:
\[ b_n \to L. \]
Aplicando el Corolario III a la sucesión \( \{b_n\}_{n \ge 1} \), o de forma equivalente a esta misma sucesión reindexada desde \(0\), obtenemos:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = L. \]
Por otra parte,
\[ \prod_{k=1}^{n} b_k = \prod_{k=1}^{n} \frac{a_k}{a_{k-1}} = \frac{a_n}{a_0}. \]
Así pues:
\[ \sqrt[n]{\prod_{k=1}^{n} b_k} = \sqrt[n]{\frac{a_n}{a_0}} = \frac{\sqrt[n]{a_n}}{\sqrt[n]{a_0}}. \]
Puesto que
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_0} = 1, \]
se sigue que:
\[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L. \]
Esto concluye la demostración.