Los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados son conceptos fundamentales del análisis matemático. Permiten describir de manera rigurosa la estructura de los conjuntos de números reales y desempeñan un papel central en el estudio de los límites, la continuidad y la convergencia.
En las secciones que siguen introduciremos las definiciones de conjunto abierto y conjunto cerrado, estudiaremos sus propiedades fundamentales y veremos cómo estos conceptos se relacionan con los puntos de acumulación.
Índice
- Definición de conjunto abierto
- Ejemplos de conjuntos abiertos
- Definición de conjunto cerrado
- Ejemplos de conjuntos cerrados
- Relación entre conjuntos abiertos y cerrados
- Caracterización mediante los puntos de acumulación
- Propiedades de los conjuntos abiertos
- Propiedades de los conjuntos cerrados
Definición de conjunto abierto
La noción de conjunto abierto se basa en el concepto de entorno. Sea \(A\subseteq\mathbb R\). Diremos que \(A\) es un conjunto abierto si para todo punto \(x_0\in A\) existe un número real \(r>0\) tal que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Dicho de otro modo, un conjunto es abierto si cada uno de sus puntos posee al menos un entorno completamente contenido en el conjunto.
Es importante observar que el radio \(r\) puede depender del punto elegido. No es necesario, pues, que exista un único valor de \(r\) válido para todos los puntos del conjunto; lo que importa es que, fijado arbitrariamente un punto \(x_0\in A\), exista al menos un entorno centrado en \(x_0\) contenido en \(A\).
La definición puede expresarse también mediante cuantificadores:
\[ A \text{ abierto} \iff \forall x_0\in A\ \exists r>0 \text{ tal que } (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Veamos dos ejemplos inmediatos.
Consideremos el intervalo abierto
\[ A=(0,1). \]
Sea \(x_0\in(0,1)\). Como \(x_0\) está estrictamente comprendido entre \(0\) y \(1\), las cantidades
\[ x_0 \qquad\text{y}\qquad 1-x_0 \]
son ambas positivas. Podemos, por tanto, elegir
\[ r=\frac12\min\{x_0,1-x_0\}. \]
Con esta elección resulta
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(0,1). \]
Como el punto \(x_0\) era arbitrario, el intervalo \((0,1)\) es un conjunto abierto.
Consideremos ahora el conjunto
\[ B=[0,1]. \]
Este conjunto no es abierto. En efecto, el punto \(0\) pertenece a \(B\), pero ningún entorno de \(0\) está contenido en \(B\).
De hecho, para todo \(r>0\), el entorno
\[ (-r,r) \]
contiene números negativos, que no pertenecen a \(B\). En consecuencia, no existe ningún radio \(r>0\) tal que
\[ (-r,r)\subseteq[0,1]. \]
Por lo tanto, el conjunto \([0,1]\) no es abierto.
Ejemplos de conjuntos abiertos
La definición de conjunto abierto puede aplicarse a numerosos conjuntos de la recta real. En esta sección analizaremos algunos de los ejemplos más importantes.
Intervalos abiertos
Consideremos un intervalo abierto
\[ A=(a,b), \qquad a<b. \]
Queremos mostrar que \(A\) es un conjunto abierto. Sea \(x_0\in(a,b)\). Como \(x_0\) está estrictamente comprendido entre \(a\) y \(b\), las cantidades
\[ x_0-a \qquad\text{y}\qquad b-x_0 \]
son ambas positivas. Tomemos
\[ r=\frac12\min\{x_0-a,\; b-x_0\}. \]
Entonces \(r>0\) y el entorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
permanece enteramente contenido en el intervalo \((a,b)\). Por lo tanto, todo punto del intervalo posee un entorno contenido en el conjunto y, en consecuencia, \((a,b)\) es un conjunto abierto.
Semirrectas abiertas
Consideremos ahora la semirrecta
\[ A=(a,+\infty). \]
Sea \(x_0\in A\). Entonces \(x_0>a\), de modo que la distancia entre \(x_0\) y el punto \(a\) es positiva. Eligiendo
\[ r=\frac{x_0-a}{2}, \]
se tiene \(r>0\) y
\[ x_0-r = \frac{x_0+a}{2} > a. \]
De ello se sigue que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq(a,+\infty). \]
Por lo tanto, \((a,+\infty)\) es también un conjunto abierto.
Mediante un razonamiento del todo análogo se demuestra que la semirrecta
\[ (-\infty,b) \]
es también un conjunto abierto.
El conjunto \(\mathbb R\)
La recta real entera es también un conjunto abierto. En efecto, fijado arbitrariamente un punto \(x_0\in\mathbb R\), todo entorno de la forma
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0, \]
está contenido en \(\mathbb R\). En consecuencia, \(\mathbb R\) satisface la definición de conjunto abierto.
El conjunto vacío
El conjunto vacío
\[ \varnothing \]
se considera también un conjunto abierto. En efecto, la definición exige que todo punto del conjunto posea un entorno contenido en el conjunto. Como el conjunto vacío no contiene punto alguno, dicha condición se satisface de forma automática.
Por este motivo, \(\varnothing\) y \(\mathbb R\) son siempre conjuntos abiertos.
Definición de conjunto cerrado
La noción de conjunto cerrado está estrechamente ligada a la de conjunto abierto. Sea \(A\subseteq\mathbb R\). Diremos que \(A\) es un conjunto cerrado si su complementario
\[ \mathbb R\setminus A \]
es un conjunto abierto.
En símbolos:
\[ A \text{ cerrado} \iff \mathbb R\setminus A \text{ abierto}. \]
Así pues, para comprobar que un conjunto es cerrado no es necesario trabajar directamente con el conjunto mismo; a menudo resulta más sencillo estudiar su complementario y verificar que es abierto.
Consideremos, por ejemplo, el intervalo
\[ [0,1]. \]
Su complemento es
\[ \mathbb R\setminus[0,1] = (-\infty,0)\cup(1,+\infty). \]
Ambas semirrectas son abiertas y, como veremos más adelante, la unión de dos conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto. En consecuencia, \(\mathbb R\setminus[0,1]\) es abierto y, por lo tanto, \([0,1]\) es un conjunto cerrado.
Consideremos ahora el intervalo
\[ (0,1). \]
Su complemento es
\[ \mathbb R\setminus(0,1) = (-\infty,0]\cup[1,+\infty). \]
Este conjunto no es abierto, ya que ni el punto \(0\) ni el punto \(1\) poseen un entorno completamente contenido en el complementario.
Por lo tanto, \((0,1)\) no es un conjunto cerrado.
En las secciones siguientes veremos una caracterización particularmente importante de los conjuntos cerrados, basada en los puntos de acumulación.
Ejemplos de conjuntos cerrados
De manera análoga a lo hecho con los conjuntos abiertos, analizamos ahora algunos ejemplos significativos de conjuntos cerrados.
Intervalos cerrados
Consideremos el intervalo
\[ A=[a,b], \qquad a<b. \]
Para establecer que \(A\) es cerrado basta estudiar su complementario:
\[ \mathbb R\setminus A = (-\infty,a)\cup(b,+\infty). \]
Las dos semirrectas \((-\infty,a)\) y \((b,+\infty)\) son abiertas. Además, como veremos más adelante, la unión de conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto.
Por lo tanto, \(\mathbb R\setminus A\) es abierto y, en consecuencia, \([a,b]\) es un conjunto cerrado.
Semirrectas cerradas
Consideremos la semirrecta
\[ [a,+\infty). \]
Su complemento es
\[ \mathbb R\setminus[a,+\infty) = (-\infty,a), \]
que es un conjunto abierto.
En consecuencia, \([a,+\infty)\) es un conjunto cerrado.
Con el mismo razonamiento se demuestra que la semirrecta
\[ (-\infty,b] \]
es también un conjunto cerrado.
Conjuntos formados por un número finito de puntos
Consideremos un conjunto formado por un solo punto:
\[ A=\{a\}. \]
Su complemento es
\[ \mathbb R\setminus\{a\} = (-\infty,a)\cup(a,+\infty). \]
Al ser unión de dos conjuntos abiertos, es abierto. Por lo tanto, \(\{a\}\) es un conjunto cerrado.
El mismo razonamiento muestra que todo conjunto formado por un número finito de puntos es un conjunto cerrado.
El conjunto \(\mathbb R\)
La recta real entera es un conjunto cerrado.
En efecto, Su complemento es el conjunto vacío:
\[ \mathbb R\setminus\mathbb R = \varnothing. \]
Como \(\varnothing\) es un conjunto abierto, se sigue que \(\mathbb R\) es cerrado.
El conjunto vacío
El conjunto vacío es también un conjunto cerrado.
En efecto,
\[ \mathbb R\setminus\varnothing = \mathbb R. \]
Como \(\mathbb R\) es un conjunto abierto, se sigue que \(\varnothing\) es cerrado.
Hemos obtenido así un resultado interesante: tanto \(\mathbb R\) como \(\varnothing\) son a la vez abiertos y cerrados.
Relación entre conjuntos abiertos y cerrados
Los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados se definen en términos el uno del otro: un conjunto es cerrado si y solo si Su complemento es abierto. No conviene, sin embargo, pensar que las palabras «abierto» y «cerrado» sean necesariamente opuestas como en el lenguaje corriente.
En efecto, un conjunto abierto puede no ser cerrado, un conjunto cerrado puede no ser abierto, pero existen también conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados.
Conjuntos abiertos pero no cerrados
El intervalo
\[ (0,1) \]
es un conjunto abierto, como ya hemos demostrado.
Sin embargo, no es cerrado, ya que su complementario
\[ (-\infty,0]\cup[1,+\infty) \]
no es abierto.
Por lo tanto, \((0,1)\) es abierto pero no cerrado.
Conjuntos cerrados pero no abiertos
Consideremos el intervalo
\[ [0,1]. \]
Hemos visto que es cerrado porque su complementario
\[ (-\infty,0)\cup(1,+\infty) \]
es abierto.
Por otra parte, \([0,1]\) no es abierto, ya que ni el punto \(0\) ni el punto \(1\) poseen un entorno completamente contenido en el conjunto.
Por lo tanto, \([0,1]\) es cerrado pero no abierto.
Conjuntos a la vez abiertos y cerrados
Ya hemos observado que el conjunto vacío \(\varnothing\) es abierto y que su complementario \(\mathbb R\) es abierto. En consecuencia, \(\varnothing\) es también cerrado.
Del mismo modo, \(\mathbb R\) es abierto y su complementario \(\varnothing\) es abierto; por lo tanto, \(\mathbb R\) es también cerrado.
Los conjuntos
\[ \varnothing \qquad\text{y}\qquad \mathbb R \]
son, pues, a la vez abiertos y cerrados.
Conjuntos ni abiertos ni cerrados
Existen, por último, conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados.
Un ejemplo es el intervalo
\[ (0,1]. \]
No es abierto, ya que el punto \(1\) no posee ningún entorno completamente contenido en el conjunto.
Además, no es cerrado, ya que su complementario
\[ (-\infty,0]\cup(1,+\infty) \]
no es abierto.
Por lo tanto, \((0,1]\) no es ni abierto ni cerrado.
En conclusión, las propiedades de ser abierto y de ser cerrado son independientes: un conjunto puede poseer una sola de las dos propiedades, ambas o ninguna.
Caracterización mediante los puntos de acumulación
Una de las caracterizaciones más importantes de los conjuntos cerrados involucra el concepto de punto de acumulación. Permite reconocer si un conjunto es cerrado observando exclusivamente la posición de sus puntos de acumulación.
Recordemos que un punto \(x_0\in\mathbb R\) se dice punto de acumulación de un conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) si todo entorno reducido de \(x_0\) contiene al menos un punto de \(A\).
Vale entonces el siguiente teorema fundamental.
Teorema. Un conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación.
En símbolos:
\[ A \text{ cerrado} \iff A'\subseteq A, \]
donde \(A'\) denota el conjunto derivado de \(A\), es decir, el conjunto de todos los puntos de acumulación de \(A\).
Demostración. Supongamos en primer lugar que \(A\) es cerrado y sea \(x_0\in A'\). Queremos demostrar que \(x_0\in A\).
Procedemos por reducción al absurdo y supongamos que \(x_0\notin A\).
Como \(A\) es cerrado, el complementario \(\mathbb R\setminus A\) es abierto. Al ser \(x_0\in\mathbb R\setminus A\), existe un entorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq \mathbb R\setminus A. \]
Dicho entorno no contiene punto alguno de \(A\), en contradicción con el hecho de que \(x_0\) es un punto de acumulación de \(A\).
Por lo tanto, debe ser \(x_0\in A\) y, en consecuencia,
\[ A'\subseteq A. \]
Demostremos ahora el recíproco. Supongamos que
\[ A'\subseteq A \]
y consideremos un punto
\[ x_0\in\mathbb R\setminus A. \]
Como \(x_0\notin A\) y todos los puntos de acumulación pertenecen a \(A\), el punto \(x_0\) no puede ser un punto de acumulación de \(A\).
Por la definición de punto de acumulación, existe entonces un radio \(r>0\) tal que el entorno reducido
\[ (x_0-r,x_0+r)\setminus\{x_0\} \]
no contiene puntos de \(A\).
Como, además, \(x_0\notin A\), se sigue que el intervalo completo
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
está contenido en el complementario \(\mathbb R\setminus A\).
Hemos mostrado, pues, que todo punto de \(\mathbb R\setminus A\) posee un entorno contenido en el complementario. En consecuencia, \(\mathbb R\setminus A\) es abierto.
Por lo tanto, \(A\) es cerrado.
Interpretación geométrica
El teorema afirma que un conjunto es cerrado precisamente cuando no «deja fuera» ninguno de sus propios puntos de acumulación.
Por ejemplo, el intervalo
\[ [0,1] \]
contiene todos sus puntos de acumulación y, por lo tanto, es cerrado.
Por el contrario, el intervalo
\[ (0,1) \]
no contiene los puntos de acumulación \(0\) y \(1\). En consecuencia, no es cerrado.
Esta caracterización es a menudo el método más sencillo para establecer si un conjunto es cerrado.
Propiedades de los conjuntos abiertos
Los conjuntos abiertos gozan de importantes propiedades de clausura que permiten construir nuevos conjuntos abiertos a partir de conjuntos abiertos ya conocidos.
En particular, la unión arbitraria de conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto, mientras que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es de nuevo un conjunto abierto.
Unión de conjuntos abiertos
Sea \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia de conjuntos abiertos. Entonces
\[ \bigcup_{i\in I}A_i \]
es un conjunto abierto.
Demostración. Pongamos
\[ A=\bigcup_{i\in I}A_i \]
y sea \(x_0\in A\).
Por la definición de unión, existe al menos un índice \(j\in I\) tal que
\[ x_0\in A_j. \]
Como \(A_j\) es abierto, existe un radio \(r>0\) tal que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A_j. \]
Al ser \(A_j\subseteq A\), se sigue que
\[ (x_0-r,x_0+r)\subseteq A. \]
Hemos mostrado, pues, que todo punto de \(A\) posee un entorno contenido en \(A\). Por lo tanto, \(A\) es abierto.
Intersección finita de conjuntos abiertos
Sean \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) conjuntos abiertos. Entonces
\[ A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
es un conjunto abierto.
Demostración. Pongamos
\[ A=A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n \]
y sea \(x_0\in A\).
Entonces
\[ x_0\in A_1,\quad x_0\in A_2,\quad \ldots,\quad x_0\in A_n. \]
Como cada conjunto es abierto, existen radios positivos
\[ r_1,r_2,\ldots,r_n \]
tales que
\[ (x_0-r_k,x_0+r_k)\subseteq A_k, \qquad k=1,\ldots,n. \]
Pongamos
\[ r=\min\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}. \]
Entonces \(r>0\) y
\[ (x_0-r,x_0+r) \subseteq A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n. \]
Por lo tanto, \(A\) es abierto.
¿Por qué la intersección infinita puede no ser abierta?
La propiedad anterior no puede extenderse a intersecciones infinitas.
Consideremos, en efecto, la familia de intervalos abiertos
\[ A_n= \left( -\frac1n, \frac1n \right), \qquad n\in\mathbb N. \]
Cada \(A_n\) es abierto.
Sin embargo,
\[ \bigcap_{n=1}^{\infty} \left( -\frac1n, \frac1n \right) = \{0\}. \]
El conjunto \(\{0\}\) no es abierto, ya que ningún entorno de \(0\) está contenido en \(\{0\}\).
Este ejemplo muestra que la intersección de una familia infinita de conjuntos abiertos puede no ser abierta.
Resumiendo:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{La unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta;}\\[4pt] &\text{la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta.} \end{aligned} } \]
Propiedades de los conjuntos cerrados
Las propiedades de los conjuntos cerrados son duales respecto a las de los conjuntos abiertos. En particular, la intersección arbitraria de conjuntos cerrados es de nuevo un conjunto cerrado, mientras que la unión de un número finito de conjuntos cerrados es de nuevo un conjunto cerrado.
Intersección arbitraria de conjuntos cerrados
Sea \(\{A_i\}_{i\in I}\) una familia de conjuntos cerrados. Entonces
\[ \bigcap_{i\in I}A_i \]
es un conjunto cerrado.
Demostración. Pongamos
\[ A=\bigcap_{i\in I}A_i. \]
Utilizando las leyes de De Morgan obtenemos
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( \bigcap_{i\in I}A_i \right) = \bigcup_{i\in I} \left( \mathbb R\setminus A_i \right). \]
Como cada conjunto \(A_i\) es cerrado, el complementario \(\mathbb R\setminus A_i\) es abierto.
Además, la unión arbitraria de conjuntos abiertos es abierta.
Por lo tanto, \(\mathbb R\setminus A\) es abierto y, en consecuencia, \(A\) es cerrado.
Unión finita de conjuntos cerrados
Sean \(A_1,A_2,\ldots,A_n\) conjuntos cerrados. Entonces
\[ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \]
es un conjunto cerrado.
Demostración. Pongamos
\[ A=A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n. \]
Aplicando de nuevo las leyes de De Morgan obtenemos
\[ \mathbb R\setminus A = \mathbb R\setminus \left( A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n \right) = (\mathbb R\setminus A_1) \cap (\mathbb R\setminus A_2) \cap \cdots \cap (\mathbb R\setminus A_n). \]
Como cada complementario \(\mathbb R\setminus A_k\) es abierto y la intersección finita de conjuntos abiertos es abierta, se sigue que \(\mathbb R\setminus A\) es abierto.
Por lo tanto, \(A\) es cerrado.
¿Por qué la unión infinita puede no ser cerrada?
La propiedad anterior no puede extenderse a uniones infinitas.
Consideremos, en efecto, los conjuntos
\[ A_n= \left[ \frac1n, 1 \right], \qquad n\in\mathbb N. \]
Cada \(A_n\) es un intervalo cerrado.
Su unión es
\[ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[ \frac1n, 1 \right] = (0,1]. \]
El conjunto \((0,1]\) no es cerrado, ya que el punto \(0\) es un punto de acumulación que no pertenece al conjunto.
Este ejemplo muestra que la unión de una familia infinita de conjuntos cerrados puede no ser cerrada.
Resumiendo:
\[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{La intersección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada;}\\[4pt] &\text{la unión finita de conjuntos cerrados es cerrada.} \end{aligned} } \]