En esta sección presentamos 20 ejercicios resueltos sobre puntos de acumulación, puntos aislados y el conjunto derivado. Los ejercicios están ordenados según dificultad creciente y están pensados para aplicar, paso a paso, las definiciones estudiadas en la teoría.
Ejercicio 1 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar los puntos aislados y los puntos de acumulación del conjunto
\[ A=\{2,5,9\}. \]
Resultado
Todos los puntos de \(A\), es decir, \(2,5,9\), son puntos aislados. El conjunto \(A\) no posee puntos de acumulación:
\[ A'=\varnothing. \]
Resolución
El conjunto \(A\) contiene solamente tres puntos. Para comprobar que cada uno de ellos es aislado, debemos mostrar que alrededor de cada punto existe un entorno que no contiene otros elementos de \(A\).
Consideremos, por ejemplo, el punto \(2\). La distancia entre \(2\) y el elemento más cercano de \(A\), es decir, \(5\), es
\[ |5-2|=3. \]
Podemos entonces elegir, por ejemplo, el entorno
\[ \left(2-\frac12,2+\frac12\right). \]
Dicho entorno contiene a \(2\), pero no contiene ni a \(5\) ni a \(9\). Por lo tanto, \(2\) es un punto aislado.
Con el mismo razonamiento, también \(5\) y \(9\) son puntos aislados. Además, un conjunto finito de números reales no posee puntos de acumulación, ya que alrededor de cada uno de sus elementos puede construirse un entorno suficientemente pequeño que lo separa de los demás puntos del conjunto.
Por consiguiente,
\[ A'=\varnothing. \]
Ejercicio 2 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar los puntos aislados y los puntos de acumulación del conjunto
\[ A=(0,1). \]
Resultado
El conjunto \(A\) no tiene puntos aislados. Sus puntos de acumulación son exactamente los puntos del intervalo cerrado:
\[ A'=[0,1]. \]
Resolución
Todo punto \(x_0\in(0,1)\) es un punto de acumulación de \(A\). En efecto, sea cual sea \(r>0\), el entorno
\[ (x_0-r,x_0+r) \]
contiene infinitos puntos del intervalo \((0,1)\) distintos de \(x_0\).
El punto \(0\) también es un punto de acumulación. En efecto, para todo \(r>0\), el intervalo
\[ (-r,r) \]
contiene puntos positivos menores que \(1\) y, por tanto, contiene elementos de \(A\).
De manera análoga, \(1\) también es un punto de acumulación, porque todo entorno de \(1\) contiene puntos menores que \(1\) y mayores que \(0\).
Si en cambio \(x_0<0\) o \(x_0>1\), podemos elegir un entorno de \(x_0\) suficientemente pequeño como para no encontrarse con el intervalo \((0,1)\). Tales puntos no son, por tanto, puntos de acumulación.
Concluimos así que
\[ A'=[0,1]. \]
Como todo punto de \(A\) es un punto de acumulación, ningún punto de \(A\) es aislado.
Ejercicio 3 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=[0,1]. \]
Resultado
El conjunto \(A\) no tiene puntos aislados y
\[ A'=[0,1]. \]
Resolución
Consideremos primero un punto \(x_0\in(0,1)\). Todo entorno de \(x_0\) contiene infinitos puntos del intervalo \([0,1]\) distintos de \(x_0\), de modo que \(x_0\) es un punto de acumulación.
Consideremos ahora el extremo \(0\). Todo entorno de \(0\), es decir, todo intervalo de la forma
\[ (-r,r), \qquad r>0, \]
contiene puntos de \([0,1]\) distintos de \(0\), por ejemplo, puntos positivos suficientemente pequeños. Por lo tanto, \(0\) es un punto de acumulación.
Del mismo modo, todo entorno de \(1\) contiene puntos de \([0,1]\) distintos de \(1\), por ejemplo, puntos menores que \(1\) y suficientemente próximos a él. Así pues, \(1\) también es un punto de acumulación.
Ningún punto exterior a \([0,1]\) es de acumulación, pues si \(x_0<0\) o \(x_0>1\), existe un entorno de \(x_0\) que no corta a \([0,1]\).
Por consiguiente,
\[ A'=[0,1]. \]
Como todo punto de \(A\) es punto de acumulación, el conjunto \(A\) no posee puntos aislados.
Ejercicio 4 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar los puntos aislados y los puntos de acumulación de
\[ A=\mathbb Z. \]
Resultado
Todos los enteros son puntos aislados y
\[ A'=\varnothing. \]
Resolución
Consideremos un entero cualquiera \(n\in\mathbb Z\). El entorno
\[ \left(n-\frac12,n+\frac12\right) \]
contiene un solo número entero, a saber, el propio \(n\).
En efecto, el entero anterior es \(n-1\) y el siguiente es \(n+1\), ambos a distancia \(1\) de \(n\). Eligiendo un radio menor que \(1\), por ejemplo \(\displaystyle \frac12\), excluimos a todos los demás enteros.
Así pues, todo \(n\in\mathbb Z\) es un punto aislado de \(\mathbb Z\).
Además, ningún número real es punto de acumulación de \(\mathbb Z\). Intuitivamente, los enteros no se acumulan en ningún punto de la recta real: están siempre separados entre sí por una distancia de \(1\).
Por consiguiente,
\[ \mathbb Z'=\varnothing. \]
Ejercicio 5 — nivel ★☆☆☆☆
Determinar el conjunto derivado de
\[ A=\mathbb Q. \]
Resultado
Todo número real es punto de acumulación de \(\mathbb Q\). Por lo tanto,
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
El conjunto \(\mathbb Q\) no tiene puntos aislados.
Resolución
La propiedad fundamental que hay que utilizar es la densidad de los racionales en \(\mathbb R\): entre dos números reales distintos siempre existe al menos un número racional; más aún, existen infinitos.
Sea \(x_0\in\mathbb R\). Debemos comprobar que todo entorno de \(x_0\) contiene un número racional distinto de \(x_0\).
Consideremos un entorno arbitrario
\[ (x_0-r,x_0+r), \qquad r>0. \]
Como los racionales son densos en \(\mathbb R\), en dicho intervalo existen infinitos números racionales. En particular, existe al menos un número racional perteneciente al entorno y distinto de \(x_0\).
Por lo tanto, \(x_0\) es punto de acumulación de \(\mathbb Q\). Como \(x_0\) era un número real arbitrario, todo número real es punto de acumulación de \(\mathbb Q\).
Por consiguiente,
\[ \mathbb Q'=\mathbb R. \]
Además, \(\mathbb Q\) no tiene puntos aislados, ya que todo entorno de un número racional contiene infinitos racionales más.
Ejercicio 6 — nivel ★★☆☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\) son puntos aislados. El único punto de acumulación es \(0\). Por lo tanto,
\[ A'=\{0\}. \]
Resolución
Los elementos de \(A\) son
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
Se acercan cada vez más a \(0\), pero \(0\) no pertenece a \(A\).
Mostremos primero que \(0\) es un punto de acumulación. Sea \(r>0\). Como \(\displaystyle \frac1n\to0\), existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Así, el entorno \((-r,r)\) contiene un elemento de \(A\) distinto de \(0\). Esto vale para todo \(r>0\), de modo que \(0\) es punto de acumulación.
Mostremos ahora que todo punto \(\displaystyle \frac1n\) es aislado.
Si \(n=1\), basta elegir un radio
\[ r<1-\frac12=\frac12. \]
El entorno \((1-r,1+r)\) no contiene otros elementos de \(A\).
Si \(n\ge2\), el punto \(\displaystyle \frac1n\) está comprendido entre los dos términos consecutivos
\[ \frac1{n-1} \qquad\text{y}\qquad \frac1{n+1}. \]
Tomemos
\[ r=\frac12 \min\!\left\{ \frac1{n-1}-\frac1n, \frac1n-\frac1{n+1} \right\}. \]
Como las dos cantidades dentro del mínimo son positivas, resulta \(r>0\).
Con esta elección, el entorno
\[ \left(\frac1n-r,\frac1n+r\right) \]
no contiene ningún otro elemento de \(A\). Por lo tanto, \(\displaystyle \frac1n\) es un punto aislado.
El único punto de acumulación es, pues, \(0\), y por ello
\[ A'=\{0\}. \]
Ejercicio 7 — nivel ★★☆☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=\{0\}\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
El punto \(0\) es punto de acumulación y pertenece a \(A\). Todos los puntos \(\displaystyle \frac1n\) son aislados. Además,
\[ A'=\{0\}. \]
Resolución
El conjunto está formado por el punto \(0\) y por los puntos de la sucesión
\[ 1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots \]
El punto \(0\) pertenece al conjunto, pero esto no impide que sea, además, un punto de acumulación. En efecto, para todo \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Por tanto, todo entorno de \(0\) contiene puntos de \(A\) distintos de \(0\).
Consideremos ahora un punto de la forma \(\displaystyle \frac1n\). Con \(n\) fijo, dicho punto está separado de los demás elementos del conjunto por una distancia positiva. Podemos, pues, elegir un entorno suficientemente pequeño que contenga únicamente a \(\displaystyle \frac1n\).
En consecuencia, todo punto \(\displaystyle \frac1n\) es aislado.
El único punto de acumulación es \(0\), de modo que
\[ A'=\{0\}. \]
Ejercicio 8 — nivel ★★☆☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=(0,1)\cup\{2\}. \]
Resultado
El punto \(2\) es aislado. Los puntos de acumulación son exactamente los puntos de \([0,1]\). Por lo tanto,
\[ A'=[0,1]. \]
Resolución
El conjunto \(A\) está formado por el intervalo abierto \((0,1)\) y por el punto aislado \(2\).
Como ya sabemos, el intervalo \((0,1)\) tiene como puntos de acumulación todos los puntos del intervalo cerrado \([0,1]\). En efecto, todo entorno de un punto de \([0,1]\) contiene elementos de \((0,1)\).
El punto \(2\), en cambio, no es un punto de acumulación. En efecto, podemos elegir, por ejemplo, el entorno
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Dicho entorno contiene al punto \(2\), pero no contiene otros elementos de \(A\), porque el intervalo \((0,1)\) se halla por completo a la izquierda de \(\displaystyle \frac32\).
Por lo tanto, \(2\) es un punto aislado.
No hay otros puntos de acumulación: los puntos exteriores a \([0,1]\), distintos de \(2\), pueden separarse de \(A\) mediante un entorno adecuado, mientras que \(2\) es aislado.
Por consiguiente,
\[ A'=[0,1]. \]
Ejercicio 9 — nivel ★★☆☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=[0,1]\cup\{2,3\}. \]
Resultado
Los puntos \(2\) y \(3\) son aislados. El conjunto derivado es
\[ A'=[0,1]. \]
Resolución
El intervalo \([0,1]\) está formado íntegramente por puntos de acumulación. En efecto, todo punto interior del intervalo tiene infinitos puntos del conjunto arbitrariamente próximos, y lo mismo ocurre con los extremos \(0\) y \(1\).
Consideremos ahora el punto \(2\). Podemos elegir un entorno pequeño de \(2\), por ejemplo
\[ \left(\frac32,\frac52\right). \]
Este entorno contiene a \(2\), pero no contiene puntos de \([0,1]\) ni contiene a \(3\). Por lo tanto, \(2\) es aislado.
De manera análoga, para el punto \(3\) podemos elegir un entorno suficientemente pequeño, por ejemplo
\[ \left(\frac52,\frac72\right), \]
que contiene a \(3\), pero no contiene otros puntos de \(A\). Por lo tanto, \(3\) también es aislado.
Los puntos aislados no pertenecen al conjunto derivado, ya que no son puntos de acumulación. En consecuencia,
\[ A'=[0,1]. \]
Ejercicio 10 — nivel ★★☆☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=\left\{1+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos los puntos de la forma \(\displaystyle 1+\frac1n\) son aislados. El único punto de acumulación es \(1\). Por lo tanto,
\[ A'=\{1\}. \]
Resolución
Los elementos del conjunto son
\[ 2,\frac32,\frac43,\frac54,\ldots \]
Son todos mayores que \(1\) y se acercan a \(1\) cuando \(n\) se hace grande, porque
\[ 1+\frac1n\to1. \]
Así pues, \(1\) es un punto de acumulación de \(A\). En efecto, si \(r>0\), existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ \frac1n<r. \]
Entonces
\[ \left|\left(1+\frac1n\right)-1\right|=\frac1n<r. \]
Por tanto, todo entorno de \(1\) contiene elementos de \(A\).
Cada punto de la forma \(\displaystyle 1+\frac1n\), en cambio, es aislado. En efecto, con \(n\) fijo, dicho punto está separado de los demás términos de la sucesión por una distancia positiva.
Por consiguiente,
\[ A'=\{1\}. \]
Ejercicio 11 — nivel ★★★☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=(-1,0)\cup\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\) son aislados. El conjunto derivado es
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}=[-1,0]. \]
En particular, \(0\) es punto de acumulación tanto del intervalo \((-1,0)\) como de la sucesión \(\displaystyle \frac1n\).
Resolución
El conjunto \(A\) es la unión de dos partes:
- el intervalo \((-1,0)\);
- la sucesión \(\displaystyle 1,\frac12,\frac13,\ldots\).
El intervalo \((-1,0)\) tiene como puntos de acumulación todos los puntos del intervalo cerrado \([-1,0]\). En efecto, todo punto interior es evidentemente punto de acumulación, mientras que los extremos \(-1\) y \(0\), aunque no pertenecen al intervalo, son alcanzados por puntos del intervalo arbitrariamente próximos.
La sucesión \(\displaystyle \frac1n\) tiene como único punto de acumulación \(0\).
Reuniendo ambas informaciones, obtenemos
\[ A'=[-1,0]\cup\{0\}. \]
Como \(0\in[-1,0]\), podemos simplificar:
\[ A'=[-1,0]. \]
Los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\) son aislados, pues cada uno de ellos puede separarse de los demás términos de la sucesión y del intervalo \((-1,0)\), que se halla por completo en la parte negativa de la recta real.
Ejercicio 12 — nivel ★★★☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=\left\{(-1)^n+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
El conjunto tiene dos puntos de acumulación:
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Todos los elementos de \(A\) son puntos aislados.
Resolución
Estudiamos por separado los términos de índice par y los de índice impar.
Si \(n\) es par, entonces \((-1)^n=1\), de modo que los términos correspondientes son de la forma
\[ 1+\frac1n. \]
Cuando \(n\to\infty\), estos términos tienden a \(1\).
Si \(n\) es impar, entonces \((-1)^n=-1\), de modo que los términos correspondientes son de la forma
\[ -1+\frac1n. \]
Cuando \(n\to\infty\), estos términos tienden a \(-1\).
Así pues, los dos candidatos naturales a ser puntos de acumulación son \(-1\) y \(1\).
Mostremos que ambos lo son. Todo entorno de \(1\) contiene términos de índice par de la sucesión, porque
\[ 1+\frac1n\to1 \]
a lo largo de los índices pares. De manera análoga, todo entorno de \(-1\) contiene términos de índice impar de la sucesión, porque
\[ -1+\frac1n\to-1 \]
a lo largo de los índices impares.
Todos los elementos del conjunto son aislados: fijado un término de la sucesión, está separado de los demás términos por una distancia positiva, ya que no coincide con un punto límite, sino con un único valor de la sucesión.
Por consiguiente,
\[ A'=\{-1,1\}. \]
Ejercicio 13 — nivel ★★★☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\left\{2+\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos los elementos de \(A\) son aislados. Los puntos de acumulación son \(0\) y \(2\), de modo que
\[ A'=\{0,2\}. \]
Resolución
El conjunto es la unión de dos sucesiones:
\[ \frac1n\to0 \]
y
\[ 2+\frac1n\to2. \]
La primera sucesión tiene como único punto de acumulación \(0\), porque sus términos se vuelven arbitrariamente próximos a \(0\).
La segunda sucesión tiene como único punto de acumulación \(2\), porque sus términos se vuelven arbitrariamente próximos a \(2\).
Así pues, ciertamente
\[ 0,2\in A'. \]
No existen otros puntos de acumulación. En efecto, lejos de \(0\) y de \(2\), cada sucesión tiene solo un número finito de términos en cualquier región acotada separada de estos dos puntos límite; en consecuencia, puede elegirse un entorno que no contenga elementos de \(A\) distintos del punto que eventualmente se considere.
Todo elemento de las dos sucesiones es aislado. Fijado un término, en efecto, podemos elegir un entorno suficientemente pequeño que no contenga otros términos de la misma sucesión ni términos de la otra sucesión.
Concluimos, pues, que
\[ A'=\{0,2\}. \]
Ejercicio 14 — nivel ★★★☆☆
Determinar el conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac{n}{n+1}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}. \]
Resultado
Todos los elementos de \(A\) son aislados y
\[ A'=\{1\}. \]
Resolución
Reescribimos el término general:
\[ \frac{n}{n+1}=1-\frac1{n+1}. \]
A partir de esta forma se ve de inmediato que
\[ \frac{n}{n+1}\to1. \]
Por tanto, \(1\) es un punto de acumulación de \(A\). En efecto, dado \(r>0\), podemos elegir \(n\) suficientemente grande de modo que
\[ \frac1{n+1}<r. \]
Entonces
\[ \left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac1{n+1}<r. \]
Así pues, todo entorno de \(1\) contiene elementos de \(A\).
Todo punto de la forma \(\displaystyle \frac{n}{n+1}\) es aislado. En efecto, los términos son distintos y, fijado un término, es posible elegir un entorno suficientemente pequeño que no contenga otros elementos de la sucesión.
Por consiguiente, el único punto de acumulación es \(1\):
\[ A'=\{1\}. \]
Ejercicio 15 — nivel ★★★☆☆
Determinar los puntos aislados y el conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup[2,3]. \]
Resultado
Los puntos de la forma \(\displaystyle \frac1n\) son aislados. El conjunto derivado es
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Resolución
El conjunto \(A\) está formado por dos partes: una sucesión que tiende a \(0\) y un intervalo cerrado \([2,3]\).
La sucesión
\[ \frac1n \]
tiene como único punto de acumulación \(0\). Todos sus términos son aislados.
El intervalo \([2,3]\), en cambio, tiene como conjunto derivado a sí mismo. En efecto, todo punto de \([2,3]\), incluidos los extremos, es punto de acumulación del intervalo.
Como la sucesión \(\displaystyle \frac1n\) se halla en \((0,1]\) y el intervalo \([2,3]\) está separado de ella, no surgen puntos de acumulación adicionales entre \(1\) y \(2\).
Por tanto, el conjunto derivado es
\[ A'=\{0\}\cup[2,3]. \]
Ejercicio 16 — nivel ★★★★☆
Determinar el conjunto derivado de
\[ A=\left\{\frac{m}{n}:m,n\in\mathbb N,\ 0<m<n\right\}. \]
Resultado
Se tiene
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1), \]
de modo que
\[ A'=[0,1]. \]
El conjunto \(A\) no tiene puntos aislados.
Resolución
El conjunto \(A\) está formado por todas las fracciones \(\displaystyle \frac mn\), con \(m,n\in\mathbb N\) y \(0<m<n\). La condición \(0<m<n\) implica
\[ 0<\frac mn<1. \]
Además, todo número racional comprendido entre \(0\) y \(1\) puede escribirse en la forma \(\displaystyle \frac mn\), con \(0<m<n\). Por lo tanto,
\[ A=\mathbb Q\cap(0,1). \]
Como los racionales son densos en \(\mathbb R\), todo entorno de un punto \(x_0\in(0,1)\) contiene infinitos racionales pertenecientes a \((0,1)\). Así pues, todo punto de \((0,1)\) es punto de acumulación.
Los puntos \(0\) y \(1\) también son puntos de acumulación, ya que todo entorno suyo contiene racionales mayores que \(0\) y menores que \(1\), respectivamente.
Ningún punto exterior a \([0,1]\) puede ser punto de acumulación, pues puede separarse del intervalo \((0,1)\) mediante un entorno adecuado.
Por consiguiente,
\[ A'=[0,1]. \]
Por último, \(A\) no tiene puntos aislados, ya que todo entorno de un punto racional de \((0,1)\) contiene infinitos racionales más de \((0,1)\).
Ejercicio 17 — nivel ★★★★☆
Determinar el conjunto derivado de
\[ A=\mathbb Q\cap[0,1]. \]
Resultado
El conjunto derivado es
\[ A'=[0,1]. \]
El conjunto \(A\) no tiene puntos aislados.
Resolución
Consideremos un punto \(x_0\in[0,1]\). Queremos mostrar que todo entorno de \(x_0\) contiene puntos de \(A\) distintos de \(x_0\).
Si \(x_0\in(0,1)\), entonces todo entorno de \(x_0\) contiene infinitos números racionales. Como el entorno puede elegirse suficientemente pequeño como para permanecer dentro de \([0,1]\), contiene infinitos elementos de \(\mathbb Q\cap[0,1]\).
Si \(x_0=0\), todo entorno de \(0\) contiene racionales positivos arbitrariamente pequeños, por lo que contiene elementos de \(A\) distintos de \(0\).
Si \(x_0=1\), todo entorno de \(1\) contiene racionales menores que \(1\) y arbitrariamente próximos a él, por lo que contiene elementos de \(A\) distintos de \(1\).
Así pues, todo punto de \([0,1]\) es punto de acumulación de \(A\).
Si en cambio \(x_0<0\) o \(x_0>1\), existe un entorno de \(x_0\) que no corta a \([0,1]\) y, por tanto, no corta a \(A\). Tales puntos no son puntos de acumulación.
Concluimos que
\[ A'=[0,1]. \]
Además, \(A\) no tiene puntos aislados, ya que todo entorno de uno de sus puntos contiene infinitos racionales más del intervalo.
Ejercicio 18 — nivel ★★★★☆
Determinar si el conjunto
\[ A=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\} \]
es cerrado en \(\mathbb R\).
Resultado
El conjunto \(A\) no es cerrado, porque
\[ A'=\{0\} \]
pero \(0\notin A\).
Resolución
Un conjunto \(A\subseteq\mathbb R\) es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación.
En este ejercicio tenemos
\[ A=\left\{1,\frac12,\frac13,\frac14,\ldots\right\}. \]
El punto \(0\) es punto de acumulación de \(A\), porque
\[ \frac1n\to0. \]
En efecto, para todo \(r>0\) existe \(n\in\mathbb N\) tal que
\[ 0<\frac1n<r. \]
Por tanto, todo entorno de \(0\) contiene elementos de \(A\).
Sin embargo, \(0\notin A\), ya que los elementos de \(A\) son todos positivos y de la forma \(\displaystyle \frac1n\), con \(n\ge1\).
Así pues, \(A\) no contiene todos sus puntos de acumulación. Por consiguiente, \(A\) no es cerrado en \(\mathbb R\).
Ejercicio 19 — nivel ★★★★★
Determinar los puntos de acumulación de
\[ A=\left\{\frac1n+\frac1m:n,m\in\mathbb N,\ n,m\ge1\right\}. \]
Resultado
El conjunto derivado es
\[ A'=\left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Resolución
Los elementos de \(A\) son sumas de dos términos de la forma \(\displaystyle \frac1n\). Para averiguar dónde pueden acumularse, fijamos primero uno de los índices.
Con \(n\) fijo, consideremos la sucesión que se obtiene al hacer variar \(m\):
\[ \frac1n+\frac1m. \]
Como \(\displaystyle \frac1m\to0\), obtenemos
\[ \frac1n+\frac1m\to\frac1n. \]
Por tanto, todo punto de la forma \(\displaystyle \frac1n\) es punto de acumulación de \(A\).
Además, dejando que ambos índices tiendan a infinito, obtenemos
\[ \frac1n+\frac1m\to0. \]
Así pues, \(0\) también es punto de acumulación de \(A\).
Mostremos ahora que no hay otros puntos de acumulación. Si una sucesión de elementos distintos de \(A\) converge, es de la forma
\[ x_k=\frac1{n_k}+\frac1{m_k}. \]
Si al menos uno de \(n_k\) y \(m_k\) permanece constante a lo largo de una subsucesión, entonces —al ser los elementos distintos— el otro índice debe tender a infinito, y el límite posible es de la forma \(\displaystyle \frac1n\). Si en cambio ambos índices tienden a infinito, entonces ambos términos tienden a \(0\), y el límite es \(0\).
Por consiguiente, los únicos puntos de acumulación son
\[ \left\{\frac1n:n\in\mathbb N,\ n\ge1\right\}\cup\{0\}. \]
Ejercicio 20 — nivel ★★★★★
Determinar el conjunto derivado de
\[ A=\left\{x\in\mathbb R:x=\frac1n+\frac{k}{m},\ n,m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\}. \]
Resultado
El conjunto derivado es
\[ A'=[0,2]. \]
Resolución
Observemos que los números de la forma \(\displaystyle \frac{k}{m}\), con \(1\le k<m\), son racionales pertenecientes al intervalo \((0,1)\) y son densos en \((0,1)\).
Con \(n\in\mathbb N\) fijo, el conjunto
\[ \left\{\frac1n+\frac{k}{m}:m,k\in\mathbb N,\ 1\le k<m\right\} \]
es, por tanto, denso en el intervalo
\[ \left(\frac1n,1+\frac1n\right). \]
Para \(n=1\) obtenemos un subconjunto denso en \((1,2)\); para \(n=2\) obtenemos un subconjunto denso en \(\left(\frac12,\frac32\right)\); y así sucesivamente.
En consecuencia, todos los puntos del intervalo \((0,2)\) son puntos de acumulación de \(A\).
El punto \(0\) también es punto de acumulación. En efecto, podemos tomar \(n\) muy grande y, por ejemplo, elegir \(\displaystyle \frac{k}{m}\) muy pequeño. De este modo se obtienen elementos de \(A\) positivos y arbitrariamente próximos a \(0\).
El punto \(2\) también es punto de acumulación. En efecto, fijando \(n=1\), podemos elegir racionales \(\displaystyle \frac{k}{m}\in(0,1)\) arbitrariamente próximos a \(1\). Entonces
\[ 1+\frac{k}{m}\to2. \]
Por tanto, todo entorno de \(2\) contiene puntos de \(A\) distintos de \(2\).
Por último, ningún punto exterior a \([0,2]\) puede ser punto de acumulación. En efecto, todo elemento de \(A\) satisface
\[ 0<\frac1n+\frac{k}{m}<2. \]
Así pues, \(A\subseteq(0,2)\), y todo punto \(x_0<0\) o \(x_0>2\) puede separarse de \(A\) mediante un entorno adecuado.
Concluimos, pues, que
\[ A'=[0,2]. \]