El producto cartesiano es una construcción fundamental de la teoría de conjuntos. Dados dos conjuntos \(A\) y \(B\), permite formar un nuevo conjunto cuyos elementos son pares ordenados, es decir, pares en los que no solo importa qué elementos aparecen, sino también el orden en que lo hacen.
Esta idea subyace a muchas nociones centrales de las matemáticas. Las relaciones entre conjuntos, las funciones, las gráficas de funciones y los espacios cartesianos pueden describirse rigurosamente precisamente mediante el producto cartesiano.
El nombre recuerda al plano cartesiano y a la obra de René Descartes. En el plano cartesiano, cada punto se asocia con un par ordenado de números reales; del mismo modo, el producto cartesiano formaliza la idea de construir todos los pares ordenados posibles eligiendo el primer elemento en un conjunto y el segundo en otro.
En esta página introducimos la definición de producto cartesiano, estudiamos sus principales propiedades y mostramos cómo esta construcción conduce de manera natural a los conceptos de relación, función y espacio cartesiano.
Índice
- Definición formal
- Pares ordenados e importancia del orden
- Propiedades fundamentales
- Propiedades respecto a las operaciones entre conjuntos
- Interpretación geométrica
- Producto cartesiano de varios conjuntos
- Relaciones y funciones
- Profundización sobre la cardinalidad
- Conclusión
Definición formal
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. El producto cartesiano de \(A\) y \(B\), denotado \(A \times B\), es el conjunto de todos los pares ordenados \((a,b)\) tales que el primer elemento pertenece a \(A\) y el segundo elemento pertenece a \(B\).
En símbolos:
\[ A \times B = \{(a,b) \mid a \in A \ \text{y} \ b \in B\}. \]
Así pues, formar el producto cartesiano \(A \times B\) significa asociar cada elemento de \(A\) con cada elemento de \(B\), respetando el orden de las componentes.
Ejemplo
Consideremos los conjuntos
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x,y\}. \]
El producto cartesiano \(A \times B\) viene dado por
\[ A \times B=\{(1,x),(1,y),(2,x),(2,y)\}. \]
Cada par tiene como primera componente un elemento de \(A\) y como segunda componente un elemento de \(B\). Por ejemplo, \((1,x)\) pertenece a \(A \times B\), mientras que \((x,1)\) no pertenece a \(A \times B\), pues \(x\) no es un elemento de \(A\) ni \(1\) es un elemento de \(B\).
Pares ordenados e importancia del orden
En el producto cartesiano, los elementos no son simples conjuntos de dos elementos, sino pares ordenados. Esto significa que la posición de las componentes es esencial.
Dos pares ordenados son iguales si y solo si sus respectivas componentes coinciden:
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{y} \quad b=d. \]
En particular, en general se tiene
\[ (a,b) \neq (b,a). \]
La igualdad \((a,b)=(b,a)\) solo puede darse en el caso particular en que \(a=b\). Por este motivo, al trabajar con el producto cartesiano no basta con saber qué elementos aparecen en el par: también hay que saber qué elemento ocupa la primera posición y cuál ocupa la segunda.
Definición conjuntista de par ordenado
Desde un punto de vista intuitivo, un par ordenado es un par de elementos escritos en un cierto orden. No obstante, dentro de la teoría de conjuntos también es posible definir los pares ordenados empleando únicamente la noción de conjunto.
Una definición clásica, debida a Kuratowski, es la siguiente:
\[ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}. \]
Esta definición no se emplea en los cálculos habituales, pero desempeña un papel teórico importante: permite construir los pares ordenados enteramente dentro de la teoría de conjuntos y garantiza la propiedad fundamental
\[ (a,b)=(c,d) \quad \Longleftrightarrow \quad a=c \quad \text{y} \quad b=d. \]
De este modo, el producto cartesiano no se asume como un objeto intuitivo, sino que se reduce a una construcción rigurosa fundamentada en los conjuntos.
Propiedades fundamentales
El producto cartesiano posee algunas propiedades elementales que conviene conocer desde el principio. Estas se derivan directamente de la definición y del hecho de que los elementos de \(A \times B\) son pares ordenados.
Cardinalidad del producto cartesiano
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos finitos, el número de elementos del producto cartesiano viene dado por el producto de las cardinalidades:
\[ |A \times B|=|A|\cdot |B|. \]
En efecto, para construir un par ordenado \((a,b)\), se puede elegir la primera componente de \(|A|\) maneras y, para cada una de estas elecciones, la segunda componente de \(|B|\) maneras.
Por ejemplo, si \(A\) tiene \(2\) elementos y \(B\) tiene \(3\) elementos, entonces \(A \times B\) tiene \(2\cdot 3=6\) elementos.
Producto cartesiano con el conjunto vacío
El producto cartesiano \(A \times B\) es vacío si y solo si al menos uno de los dos conjuntos \(A\) y \(B\) es vacío:
\[ A \times B=\varnothing \quad \Longleftrightarrow \quad A=\varnothing \ \text{o} \ B=\varnothing. \]
En efecto, si \(A=\varnothing\), no es posible elegir la primera componente del par. Si \(B=\varnothing\), no es posible elegir la segunda componente. En ambos casos no se puede formar ningún par ordenado.
En particular:
\[ A \times \varnothing=\varnothing \qquad \text{y} \qquad \varnothing \times A=\varnothing. \]
El producto cartesiano no es conmutativo
En general, el producto cartesiano no es conmutativo. Esto significa que, en general, \(A \times B\) y \(B \times A\) no son el mismo conjunto.
La razón es que los elementos de \(A \times B\) tienen como primera componente un elemento de \(A\) y como segunda componente un elemento de \(B\), mientras que los elementos de \(B \times A\) tienen las componentes en el orden opuesto.
Por ejemplo, si
\[ A=\{1,2\}, \qquad B=\{x\}, \]
entonces
\[ A \times B=\{(1,x),(2,x)\}, \]
mientras que
\[ B \times A=\{(x,1),(x,2)\}. \]
Los dos productos cartesianos son distintos, porque los pares ordenados \((1,x)\) y \((x,1)\) no coinciden.
Más precisamente, se tiene
\[ A \times B = B \times A \quad \Longleftrightarrow \quad A=B \ \text{o} \ A=\varnothing \ \text{o} \ B=\varnothing. \]
Así pues, el producto cartesiano solo resulta conmutativo en casos particulares: cuando los dos conjuntos coinciden, o cuando al menos uno de ellos es vacío.
Monotonía respecto a la inclusión
El producto cartesiano es compatible con la inclusión entre conjuntos. Si
\[ A \subseteq A' \qquad \text{y} \qquad B \subseteq B', \]
entonces
\[ A \times B \subseteq A' \times B'. \]
En efecto, si \((a,b)\in A \times B\), entonces \(a\in A\) y \(b\in B\). Como \(A\subseteq A'\) y \(B\subseteq B'\), se sigue que \(a\in A'\) y \(b\in B'\). Por lo tanto, \((a,b)\in A'\times B'\).
Esta propiedad expresa un hecho natural: al agrandar los conjuntos de partida, también se agranda el producto cartesiano.
Propiedades respecto a las operaciones entre conjuntos
El producto cartesiano se comporta de manera regular respecto a ciertas operaciones entre conjuntos, como la intersección, la unión y la diferencia. Las siguientes propiedades son consecuencias directas de la definición de producto cartesiano.
Intersección
Para todo conjunto \(A\), \(B\) y \(C\) se cumple:
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Demostremos la igualdad comprobando las dos inclusiones.
Sea \((a,x)\in A\times(B\cap C)\). Entonces \(a\in A\) y \(x\in B\cap C\), luego \(x\in B\) y \(x\in C\). Se sigue que \((a,x)\in A\times B\) y \((a,x)\in A\times C\), es decir,
\[ (a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C). \]
Con esto queda probado que
\[ A\times(B\cap C)\subseteq (A\times B)\cap(A\times C). \]
Recíprocamente, sea \((a,x)\in (A\times B)\cap(A\times C)\). Entonces \((a,x)\in A\times B\) y \((a,x)\in A\times C\), de donde \(a\in A\), \(x\in B\) y \(x\in C\). Por lo tanto \(x\in B\cap C\), y en consecuencia
\[ (a,x)\in A\times(B\cap C). \]
Queda así demostrada también la inclusión opuesta, por lo que
\[ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C). \]
Unión
El producto cartesiano también es distributivo respecto a la unión:
\[ A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C). \]
En efecto, un par \((a,x)\) pertenece a \(A\times(B\cup C)\) si y solo si \(a\in A\) y \(x\in B\cup C\), es decir, si y solo si \(a\in A\) y \(x\) pertenece al menos a uno de los conjuntos \(B\) y \(C\).
En el primer caso, \((a,x)\in A\times B\); en el segundo, \((a,x)\in A\times C\). En consecuencia,
\[ (a,x)\in (A\times B)\cup(A\times C). \]
El razonamiento inverso muestra la otra inclusión, con lo que la igualdad queda demostrada.
Diferencia
Se cumple también la propiedad relativa a la diferencia entre conjuntos:
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
En efecto, un par \((a,x)\) pertenece a \(A\times(B\setminus C)\) si y solo si \(a\in A\), \(x\in B\) y \(x\notin C\).
Esto equivale a decir que \((a,x)\in A\times B\), pero \((a,x)\notin A\times C\). Por lo tanto,
\[ (a,x)\in (A\times B)\setminus(A\times C). \]
Se obtiene así la identidad:
\[ A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C). \]
Un error frecuente
Hay que tener cuidado de no aplicar incorrectamente las propiedades distributivas. En general, no es cierto que
\[ (A \cup C) \times (B \cup D) = (A \times B) \cup (C \times D). \]
Consideremos, por ejemplo,
\[ A=\{1\}, \qquad C=\{2\}, \qquad B=\{3\}, \qquad D=\{4\}. \]
Entonces
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{1,2\}\times\{3,4\} \]
y por lo tanto
\[ (A\cup C)\times(B\cup D)=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}. \]
En cambio,
\[ (A\times B)\cup(C\times D)=\{(1,3)\}\cup\{(2,4)\} =\{(1,3),(2,4)\}. \]
Los dos conjuntos no coinciden: en el primero aparecen además los pares \((1,4)\) y \((2,3)\), que no pertenecen al segundo.
La fórmula correcta para la intersección de dos productos cartesianos es, en cambio,
\[ (A\cap C)\times(B\cap D)=(A\times B)\cap(C\times D). \]
En efecto, un par pertenece al miembro de la izquierda si y solo si su primera componente pertenece tanto a \(A\) como a \(C\), y su segunda componente pertenece tanto a \(B\) como a \(D\). Esta es precisamente la condición para pertenecer simultáneamente a \(A\times B\) y a \(C\times D\).
Interpretación geométrica
Cuando los conjuntos considerados son subconjuntos de \(\mathbb{R}\), el producto cartesiano adquiere una interpretación geométrica natural en el plano cartesiano.
Si \(A\subseteq \mathbb{R}\) y \(B\subseteq \mathbb{R}\), entonces \(A\times B\) es el conjunto de todos los puntos del plano cuya abscisa pertenece a \(A\) y cuya ordenada pertenece a \(B\):
\[ A\times B=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x\in A \ \text{e} \ y\in B\}. \]
En esta interpretación, la primera componente del par ordenado representa la coordenada horizontal, es decir, la abscisa, mientras que la segunda componente representa la coordenada vertical, es decir, la ordenada.
Ejemplos
El producto cartesiano
\[ [0,1]\times[0,1] \]
representa el cuadrado unitario cerrado del plano, formado por todos los puntos \((x,y)\) tales que \(0\leq x\leq 1\) y \(0\leq y\leq 1\).
En cambio,
\[ \mathbb{R}\times\mathbb{R} \]
coincide con el plano cartesiano entero \(\mathbb{R}^2\), pues tanto la primera como la segunda componente pueden elegirse libremente entre todos los números reales.
Más en general, si \(A\) y \(B\) son intervalos reales, el producto cartesiano \(A\times B\) determina una región rectangular del plano, que podrá ser abierta, cerrada o no acotada según el tipo de intervalos considerados.
Producto cartesiano de varios conjuntos
La definición de producto cartesiano se extiende de manera natural a más de dos conjuntos. Si \(A_1,A_2,\dots,A_n\) son \(n\) conjuntos, su producto cartesiano es el conjunto de todas las \(n\)-uplas ordenadas
\[ (a_1,a_2,\dots,a_n) \]
tales que la primera componente pertenece a \(A_1\), la segunda pertenece a \(A_2\), y así sucesivamente hasta la última componente, que pertenece a \(A_n\).
En símbolos:
\[ A_1\times A_2\times \cdots \times A_n = \{(a_1,a_2,\dots,a_n) \mid a_i\in A_i \ \text{para todo} \ i=1,\dots,n\}. \]
También en este caso el orden de las componentes es esencial: la primera componente debe pertenecer al primer conjunto, la segunda al segundo conjunto, y así sucesivamente.
Potencias cartesianas
Cuando todos los conjuntos coinciden con un mismo conjunto \(A\), se emplea una notación más compacta. Por ejemplo:
\[ A^2=A\times A, \qquad A^3=A\times A\times A. \]
Más en general, \(A^n\) denota el producto cartesiano de \(A\) consigo mismo \(n\) veces:
\[ A^n=\underbrace{A\times A\times \cdots \times A}_{n \ \text{veces}}. \]
Los elementos de \(A^n\) son, por tanto, \(n\)-uplas ordenadas de elementos de \(A\).
Espacios cartesianos
Un caso particularmente importante se obtiene tomando \(A=\mathbb{R}\). De este modo se define el espacio cartesiano real \(n\)-dimensional:
\[ \mathbb{R}^n= \underbrace{\mathbb{R}\times\mathbb{R}\times\cdots\times\mathbb{R}}_{n \ \text{veces}}. \]
Por ejemplo, \(\mathbb{R}^2\) es el plano cartesiano, cuyos elementos son pares ordenados \((x,y)\), mientras que \(\mathbb{R}^3\) es el espacio tridimensional, cuyos elementos son ternas ordenadas \((x,y,z)\).
¿Es asociativo el producto cartesiano?
Cuando el producto cartesiano se define inicialmente como una operación entre dos conjuntos, conviene hacer una precisión. Los conjuntos
\[ (A\times B)\times C \qquad \text{y} \qquad A\times(B\times C) \]
no son literalmente iguales.
En efecto, los elementos de \((A\times B)\times C\) tienen la forma
\[ ((a,b),c), \]
mientras que los elementos de \(A\times(B\times C)\) tienen la forma
\[ (a,(b,c)). \]
Estos dos objetos tienen una estructura formal distinta. Sin embargo, existe una correspondencia biunívoca natural entre ellos y las ternas ordenadas \((a,b,c)\):
\[ ((a,b),c) \longleftrightarrow (a,b,c) \longleftrightarrow (a,(b,c)). \]
Por este motivo, cuando el contexto es claro, se escribe simplemente
\[ A\times B\times C \]
y se interpreta como el conjunto de las ternas ordenadas \((a,b,c)\), con \(a\in A\), \(b\in B\) y \(c\in C\).
Relaciones y funciones
Una de las principales razones por las que el producto cartesiano es tan importante es que permite definir de manera rigurosa las relaciones y las funciones entre conjuntos.
Relaciones
Sean \(A\) y \(B\) dos conjuntos. Una relación entre \(A\) y \(B\) es un subconjunto del producto cartesiano \(A\times B\).
En símbolos, una relación \(R\) entre \(A\) y \(B\) es un conjunto tal que
\[ R\subseteq A\times B. \]
Esto significa que los elementos de \(R\) son algunos de los pares ordenados \((a,b)\), con \(a\in A\) y \(b\in B\). Cuando \((a,b)\in R\), se dice que \(a\) está relacionado con \(b\).
Así pues, el producto cartesiano \(A\times B\) contiene todos los pares ordenados posibles, mientras que una relación selecciona solamente algunos de estos pares.
Funciones
Una función de \(A\) en \(B\) es una relación particular entre \(A\) y \(B\). Precisamente, una función \(f:A\to B\) es una relación \(f\subseteq A\times B\) tal que a cada elemento de \(A\) se le asocia uno y solo un elemento de \(B\).
En símbolos:
\[ \forall a\in A, \ \exists! \, b\in B \ \text{tal que} \ (a,b)\in f. \]
El símbolo \(\exists!\) significa «existe y es único». Así pues, la condición anterior afirma dos cosas simultáneamente:
- para todo \(a\in A\) existe al menos un elemento \(b\in B\) asociado a \(a\);
- dicho elemento \(b\) es único.
La primera condición excluye que algún elemento de \(A\) quede sin imagen. La segunda condición excluye que un mismo elemento de \(A\) se asocie a dos o más elementos distintos de \(B\).
Gráfica de una función
Si \(f:A\to B\) es una función, su gráfica es el conjunto de los pares ordenados formados por cada elemento del dominio y su imagen:
\[ G_f=\{(a,f(a))\mid a\in A\}. \]
La gráfica de \(f\) es, por tanto, un subconjunto del producto cartesiano \(A\times B\):
\[ G_f\subseteq A\times B. \]
En el caso de las funciones reales de variable real, es decir, de las funciones \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), la gráfica es un subconjunto del plano cartesiano:
\[ G_f=\{(x,f(x))\mid x\in\mathbb{R}\}\subseteq \mathbb{R}\times\mathbb{R}. \]
De este modo, el producto cartesiano constituye el vínculo entre la definición conjuntista de función y su representación geométrica en el plano.
El criterio de la recta vertical
Geométricamente, la gráfica de una función real de variable real satisface el criterio de la recta vertical. Esto significa que, fijado un valor de la variable independiente \(x\), puede existir como máximo un único valor correspondiente de la variable dependiente \(y\).
En particular, si \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), entonces toda recta vertical \(x=a\), con \(a\in\mathbb{R}\), corta a la gráfica de la función en uno y solo un punto.
Si, por el contrario, una recta vertical cortara a la gráfica en dos puntos distintos, entonces al mismo valor \(a\) le corresponderían dos valores diferentes de \(y\). En tal caso ya no se trataría de una función.
¿Cuántas funciones existen entre dos conjuntos finitos?
Si \(A\) y \(B\) son conjuntos finitos, el conjunto de todas las funciones de \(A\) en \(B\) se denota por \(B^A\).
Su cardinalidad es
\[ |B^A|=|B|^{|A|}. \]
En efecto, para definir una función \(f:A\to B\), hay que elegir un elemento de \(B\) como imagen de cada elemento de \(A\). Si \(A\) tiene \(|A|\) elementos y, para cada uno de ellos, hay \(|B|\) posibles elecciones, entonces el número total de funciones es \(|B|^{|A|}\).
Esta fórmula debe distinguirse de la del producto cartesiano:
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
En el producto cartesiano se elige una primera componente en \(A\) y una segunda componente en \(B\). En cambio, para construir una función de \(A\) en \(B\), se elige un elemento de \(B\) para cada elemento de \(A\). Por este motivo aparece una potencia, y no un producto.
Profundización sobre la cardinalidad
Para conjuntos finitos, la cardinalidad del producto cartesiano viene descrita por la fórmula
\[ |A\times B|=|A|\cdot |B|. \]
Esta fórmula tiene un significado muy concreto: si \(A\) tiene un cierto número de elementos y \(B\) tiene un cierto número de elementos, entonces el producto cartesiano \(A\times B\) contiene todos los pares ordenados posibles obtenidos al elegir una primera componente en \(A\) y una segunda componente en \(B\).
Sin embargo, al pasar a los conjuntos infinitos, la noción de cardinalidad se vuelve más delicada. En este caso ya no se pueden contar simplemente los elementos uno por uno, sino que los conjuntos se comparan mediante correspondencias biunívocas.
Dos conjuntos tienen la misma cardinalidad cuando existe una correspondencia biunívoca entre ellos, es decir, una función que asocia a cada elemento del primer conjunto un único elemento del segundo, de modo que cada elemento del segundo sea la imagen de uno y solo un elemento del primero.
Un resultado fundamental de la teoría de conjuntos afirma que
\[ |\mathbb{R}\times\mathbb{R}|=|\mathbb{R}|. \]
Esto significa que el plano cartesiano \(\mathbb{R}^2\) y la recta real \(\mathbb{R}\) tienen la misma cardinalidad. En otras palabras, desde el punto de vista del número de elementos, existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de una recta y los puntos de un plano.
Lo mismo vale, más en general, para todo espacio cartesiano real \(\mathbb{R}^n\), con \(n\geq 1\):
\[ |\mathbb{R}^n|=|\mathbb{R}|. \]
Esta cardinalidad se denota con \(\mathfrak{c}\) y se denomina cardinalidad del continuo.
Es importante no confundir la cardinalidad con la estructura geométrica. El hecho de que \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{R}^2\) tengan la misma cardinalidad no significa que una recta y un plano sean geométricamente lo mismo. Ambos poseen la misma cantidad de puntos en sentido conjuntista, pero presentan propiedades geométricas y topológicas profundamente distintas.
Este ejemplo muestra que el producto cartesiano, pese a ser una construcción sencilla en su definición, conduce con rapidez a algunas de las cuestiones más profundas de las matemáticas.
Conclusión
El producto cartesiano es una construcción esencial de la teoría de conjuntos. A partir de conjuntos dados, permite formar conjuntos de pares ordenados y, más en general, de \(n\)-uplas ordenadas.
Su importancia no depende únicamente de la definición en sí, sino sobre todo de las estructuras que permite construir. Las relaciones entre conjuntos, las funciones, las gráficas de funciones y los espacios cartesianos pueden describirse rigurosamente por medio del producto cartesiano.
Por este motivo, comprender bien el producto cartesiano supone adquirir una herramienta básica que reaparece en numerosas áreas de las matemáticas, desde el álgebra hasta la geometría, y desde el análisis hasta la teoría de conjuntos.