El Teorema de Weierstrass es uno de los resultados fundamentales del análisis matemático. Establece que una función continua definida sobre un intervalo cerrado y acotado alcanza necesariamente un valor máximo y un valor mínimo.
En otras palabras, una función continua sobre un intervalo del tipo \([a,b]\) no solo está acotada, sino que además alcanza efectivamente tanto su máximo absoluto como su mínimo absoluto en puntos del intervalo.
Índice
- Enunciado del Teorema de Weierstrass
- Existencia del máximo
- Existencia del mínimo
- Por qué son necesarias las hipótesis
Enunciado del Teorema de Weierstrass
Sea
\[ f:[a,b]\to\mathbb R \]
una función continua sobre el intervalo cerrado y acotado \([a,b]\subseteq\mathbb R\), con \(a\leq b\). Entonces \(f\) está acotada y alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto en \([a,b]\).
Esto significa que existen dos puntos \(x_M,x_m\in[a,b]\) tales que
\[ f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M) \]
para todo \(x\in[a,b]\).
El número \(f(x_M)\) es el máximo absoluto de \(f\) en \([a,b]\), mientras que el número \(f(x_m)\) es el mínimo absoluto de \(f\) en \([a,b]\).
Existencia del máximo
Demostremos en primer lugar que \(f\) alcanza un máximo absoluto en \([a,b]\).
Supongamos, por reducción al absurdo, que \(f\) no está acotada superiormente en \([a,b]\). Entonces, para cada entero \(n\geq 1\), existe un punto \(x_n\in[a,b]\) tal que
\[ f(x_n)>n. \]
La sucesión \((x_n)\) está contenida en el intervalo cerrado y acotado \([a,b]\), luego está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, admite una subsucesión convergente:
\[ x_{n_k}\to x_0. \]
Puesto que \(a\leq x_{n_k}\leq b\) para todo \(k\), al pasar al límite se obtiene
\[ x_0\in[a,b]. \]
Como \(f\) es continua en \(x_0\), se tiene
\[ f(x_{n_k})\to f(x_0). \]
En particular, la sucesión \((f(x_{n_k}))\) ha de estar acotada, puesto que toda sucesión convergente está acotada.
Por otro lado, por construcción tenemos
\[ f(x_{n_k})>n_k. \]
Como \(n_k\to+\infty\), se sigue que \(f(x_{n_k})\to+\infty\), lo cual contradice el hecho de que \((f(x_{n_k}))\) sea convergente y, por tanto, acotada.
Así pues, \(f\) está acotada superiormente en \([a,b]\).
Puesto que \([a,b]\) es no vacío y \(f\) está acotada superiormente en \([a,b]\), el conjunto \(f([a,b])\) es no vacío y está acotado superiormente. Podemos entonces definir
\[ M=\sup f([a,b]). \]
Queremos demostrar que este supremo es, de hecho, alcanzado por la función.
Por la propiedad característica del supremo, para cada entero \(n\geq 1\) existe \(x_n\in[a,b]\) tal que
\[ M-\frac{1}{n}\lt f(x_n)\leq M. \]
De ello se sigue que
\[ f(x_n)\to M. \]
La sucesión \((x_n)\) está contenida en \([a,b]\), luego está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión
\[ x_{n_k}\to x_M \]
con \(x_M\in[a,b]\).
Por la continuidad de \(f\), se tiene
\[ f(x_{n_k})\to f(x_M). \]
Pero, dado que \(f(x_n)\to M\), la subsucesión \((f(x_{n_k}))\) también converge a \(M\). Por la unicidad del límite,
\[ f(x_M)=M. \]
Por lo tanto, \(f\) alcanza un máximo absoluto en \([a,b]\).
Existencia del mínimo
Demostremos ahora que \(f\) alcanza un mínimo absoluto en \([a,b]\).
El razonamiento es análogo al desarrollado para el máximo.
En primer lugar, \(f\) está acotada inferiormente. En efecto, si no lo estuviera, para cada entero \(n\geq 1\) existiría un punto \(w_n\in[a,b]\) tal que
\[ f(w_n)<-n. \]
La sucesión \((w_n)\), al estar contenida en \([a,b]\), está acotada. Por el teorema de Bolzano-Weierstrass, existe una subsucesión
\[ w_{n_k}\to w_0 \]
con \(w_0\in[a,b]\).
Por la continuidad de \(f\), se tendría
\[ f(w_{n_k})\to f(w_0). \]
Pero, por construcción, \(f(w_{n_k})<-n_k\), y por tanto \(f(w_{n_k})\to-\infty\), lo cual es imposible para una sucesión convergente a un número real.
Así pues, \(f\) está acotada inferiormente en \([a,b]\).
Puesto que \([a,b]\) es no vacío y \(f\) está acotada inferiormente en \([a,b]\), el conjunto \(f([a,b])\) es no vacío y está acotado inferiormente. Podemos entonces definir
\[ m=\inf f([a,b]). \]
Por la propiedad característica del ínfimo, para cada entero \(n\geq 1\) existe \(y_n\in[a,b]\) tal que
\[ m\leq f(y_n)\lt m+\frac{1}{n}. \]
De ello se sigue que
\[ f(y_n)\to m. \]
Puesto que \((y_n)\) está contenida en \([a,b]\), el teorema de Bolzano-Weierstrass garantiza la existencia de una subsucesión
\[ y_{n_k}\to x_m \]
con \(x_m\in[a,b]\).
Por la continuidad de \(f\), se tiene
\[ f(y_{n_k})\to f(x_m). \]
Pero también \(f(y_{n_k})\to m\). Por la unicidad del límite,
\[ f(x_m)=m. \]
Por lo tanto, \(f\) alcanza un mínimo absoluto en \([a,b]\).
Hemos demostrado así que una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza tanto su máximo absoluto como su mínimo absoluto.
Por qué son necesarias las hipótesis
Las hipótesis del Teorema de Weierstrass son esenciales. Si falla la continuidad, o si el intervalo no es cerrado o no está acotado, la conclusión puede ser falsa.
Si el intervalo no es cerrado. Consideremos la función
\[ f(x)=x \]
definida sobre el intervalo abierto \((0,1)\). La función es continua y está acotada, pero no alcanza ni máximo ni mínimo. En efecto, los valores de la función pueden aproximarse tanto como se quiera a \(0\) y a \(1\), pero los puntos \(0\) y \(1\) no pertenecen al dominio.
Si el intervalo no está acotado. Consideremos la función
\[ f(x)=x \]
definida sobre \(\mathbb R\). La función es continua, pero no está acotada ni superior ni inferiormente. En consecuencia, no admite ni máximo ni mínimo absolutos.
Si falla la continuidad. Consideremos la función \(f:[0,1]\to\mathbb R\) definida por
\[ f(x)= \begin{cases} x, & 0\leq x\lt 1,\\ 0, & x=1. \end{cases} \]
El dominio \([0,1]\) es cerrado y acotado, pero \(f\) no es continua en \(x=1\). La función está acotada, pero no alcanza un máximo absoluto: en efecto,
\[ \sup f([0,1])=1, \]
pero no existe ningún \(x\in[0,1]\) tal que \(f(x)=1\). En efecto, para \(0\leq x\lt 1\) se tiene \(f(x)=x\lt 1\), mientras que \(f(1)=0\).
Estos ejemplos muestran que el Teorema de Weierstrass depende de manera esencial de todas sus hipótesis: la continuidad de la función y el hecho de que el dominio sea cerrado y acotado.