El teorema del límite de una sucesión monótona es uno de los resultados fundamentales sobre límites de sucesiones. Afirma que toda sucesión monótona tiene límite, ya sea finito o infinito.
Más concretamente, una sucesión creciente tiende a su supremo, que puede ser igual a \(+\infty\), mientras que una sucesión decreciente tiende a su ínfimo, que puede ser igual a \(-\infty\). En particular, toda sucesión monótona y acotada es convergente.
Este resultado tiene gran importancia, pues permite probar la existencia del límite de una sucesión sin necesidad de calcularlo de forma explícita. Basta con comprobar la monotonía y, cuando se busca un límite finito, también el carácter acotado.
Índice
- Repaso de las sucesiones monótonas
- Teorema del límite de una sucesión monótona
- Caso de una sucesión creciente
- Caso de una sucesión decreciente
- Sucesiones monótonas y acotadas
- Ejemplos
Repaso de las sucesiones monótonas
Suponemos que las sucesiones están indexadas por los números naturales positivos, es decir, \(n\in\mathbb{N}\) con \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}\).
Una sucesión real \((a_n)\) se dice creciente si
\[ a_n\leq a_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Dicho de otro modo, cada término es menor o igual que el siguiente.
En cambio, una sucesión real \((a_n)\) se dice decreciente si
\[ a_n\geq a_{n+1} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). En este caso, cada término es mayor o igual que el siguiente.
En ambos casos empleamos la monotonía en sentido débil: una sucesión creciente puede tener términos consecutivos iguales, y lo mismo ocurre con una sucesión decreciente.
Con esta terminología, una sucesión creciente se denomina también no decreciente, mientras que una sucesión decreciente se denomina también no creciente. Cuando las desigualdades son estrictas, se habla en cambio de sucesiones estrictamente crecientes o estrictamente decrecientes.
Una sucesión se dice monótona si es creciente o decreciente.
Así pues, la monotonía describe el comportamiento ordenado de los términos de la sucesión. Por sí sola, sin embargo, no indica si el límite es finito o infinito. Por ejemplo, una sucesión creciente puede converger a un número real o divergir a \(+\infty\).
Teorema del límite de una sucesión monótona
Sea \((a_n)\) una sucesión real monótona.
Si \((a_n)\) es creciente, entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
donde el supremo se entiende en sentido extendido y puede ser un número real o bien \(+\infty\).
Si \((a_n)\) es decreciente, entonces
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, \]
donde el ínfimo se entiende en sentido extendido y puede ser un número real o bien \(-\infty\).
De forma abreviada:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n = \begin{cases} \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{si } (a_n) \text{ es creciente},\\[4pt] \inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}, & \text{si } (a_n) \text{ es decreciente}. \end{cases} \]
Esto significa que una sucesión monótona no puede carecer de límite: su límite siempre existe, posiblemente como límite infinito.
Como el límite de una sucesión, cuando existe, es único, este valor determina por completo el comportamiento límite de la sucesión monótona.
Por ejemplo, la sucesión \(a_n=(-1)^n\) no tiene límite, pero no es monótona. La monotonía es, por tanto, una condición fuerte: impide la oscilación persistente entre valores distintos.
Caso de una sucesión creciente
Supongamos que \((a_n)\) es una sucesión creciente. Distinguimos dos casos: la sucesión puede estar acotada superiormente o no estarlo.
Sucesión creciente y acotada superiormente
Supongamos que \((a_n)\) es creciente y está acotada superiormente. Entonces el conjunto de sus valores
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
es no vacío y está acotado superiormente. Por la propiedad de completitud de los números reales, existe su supremo. Pongamos
\[ S=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Queremos demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Por definición de supremo, \(S\) es una cota superior del conjunto \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Por tanto
\[ a_n\leq S \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Además, también por la definición de supremo, para todo \(\varepsilon>0\) el número \(S-\varepsilon\) no es cota superior del conjunto. En consecuencia, existe un índice \(k\in\mathbb{N}\) tal que
\[ S-\varepsilon<a_k. \]
Como la sucesión es creciente, para todo \(n\geq k\) se tiene
\[ a_k\leq a_n. \]
Por consiguiente, para todo \(n\geq k\),
\[ S-\varepsilon<a_k\leq a_n\leq S. \]
De esta cadena de desigualdades se sigue que
\[ 0\leq S-a_n<\varepsilon. \]
Por tanto
\[ |a_n-S|<\varepsilon \]
para todo \(n\geq k\). Por definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=S. \]
Así pues, una sucesión creciente y acotada superiormente converge a su supremo.
Sucesión creciente no acotada superiormente
Supongamos ahora que \((a_n)\) es creciente y no está acotada superiormente. Queremos demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Como la sucesión no está acotada superiormente, para todo \(M>0\) existe un índice \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_\nu>M. \]
Como \((a_n)\) es creciente, para todo \(n\geq \nu\) se tiene
\[ a_n\geq a_\nu>M. \]
Por tanto, para todo \(M>0\), existe \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq\nu\),
\[ a_n>M. \]
Por definición de divergencia a \(+\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty. \]
Así pues, una sucesión creciente no acotada superiormente diverge a \(+\infty\).
Caso de una sucesión decreciente
Supongamos que \((a_n)\) es una sucesión decreciente. También en este caso distinguimos dos posibilidades: la sucesión puede estar acotada inferiormente o no estarlo.
Sucesión decreciente y acotada inferiormente
Supongamos que \((a_n)\) es decreciente y está acotada inferiormente. Entonces el conjunto de sus valores
\[ \{a_n:n\in\mathbb{N}\} \]
es no vacío y está acotado inferiormente. Por la propiedad de completitud de los números reales, existe su ínfimo. Pongamos
\[ L=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Queremos demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Por definición de ínfimo, \(L\) es una cota inferior del conjunto \(\{a_n:n\in\mathbb{N}\}\). Por tanto
\[ L\leq a_n \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Además, por la definición de ínfimo, para todo \(\varepsilon>0\) el número \(L+\varepsilon\) no es cota inferior del conjunto. En consecuencia, existe un índice \(k\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_k<L+\varepsilon. \]
Como la sucesión es decreciente, para todo \(n\geq k\) se tiene
\[ a_n\leq a_k. \]
Por consiguiente, para todo \(n\geq k\),
\[ L\leq a_n\leq a_k<L+\varepsilon. \]
De esta cadena de desigualdades se sigue que
\[ 0\leq a_n-L<\varepsilon. \]
Por tanto
\[ |a_n-L|<\varepsilon \]
para todo \(n\geq k\). Por definición de límite,
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=L. \]
Así pues, una sucesión decreciente y acotada inferiormente converge a su ínfimo.
Sucesión decreciente no acotada inferiormente
Supongamos ahora que \((a_n)\) es decreciente y no está acotada inferiormente. Queremos demostrar que
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Como la sucesión no está acotada inferiormente, para todo \(M>0\) existe un índice \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que
\[ a_\nu<-M. \]
Como \((a_n)\) es decreciente, para todo \(n\geq \nu\) se tiene
\[ a_n\leq a_\nu<-M. \]
Por tanto, para todo \(M>0\), existe \(\nu\in\mathbb{N}\) tal que, para todo \(n\geq\nu\),
\[ a_n<-M. \]
Por definición de divergencia a \(-\infty\),
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=-\infty. \]
Así pues, una sucesión decreciente no acotada inferiormente diverge a \(-\infty\).
Sucesiones monótonas y acotadas
Del teorema anterior se deduce un criterio de uso muy frecuente.
Si una sucesión es creciente y acotada superiormente, entonces converge, y su límite es su supremo:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
Si una sucesión es decreciente y acotada inferiormente, entonces converge, y su límite es su ínfimo:
\[ \lim_{n\to+\infty}a_n=\inf\{a_n:n\in\mathbb{N}\}. \]
En particular, toda sucesión real monótona y acotada es convergente.
Este criterio recibe a menudo el nombre de teorema de la convergencia monótona para sucesiones. Resulta útil porque establece la existencia de un límite sin que sea necesario conocer de antemano su valor explícito.
Ejemplos
Ejemplo 1. Consideremos la sucesión
\[ a_n=1-\frac{1}{n}. \]
Esta sucesión es creciente, ya que
\[ a_{n+1}=1-\frac{1}{n+1} \]
y, como
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}, \]
se tiene
\[ 1-\frac{1}{n+1}>1-\frac{1}{n}. \]
Por tanto
\[ a_{n+1}>a_n. \]
Además, para todo \(n\in\mathbb{N}\),
\[ a_n<1. \]
La sucesión es, pues, creciente y acotada superiormente. Por el teorema del límite de una sucesión monótona, converge a su supremo.
En este caso
\[ \sup\{a_n:n\in\mathbb{N}\}=1. \]
En efecto,
\[ 1-\frac{1}{n}<1 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\), de modo que \(1\) es una cota superior. Además, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ 1-\varepsilon<1-\frac{1}{n}. \]
Esta desigualdad equivale a
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon, \]
que se cumple para \(n\) suficientemente grande. Por tanto, \(1\) es la mínima de las cotas superiores.
En consecuencia,
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)=1. \]
Ejemplo 2. Consideremos la sucesión
\[ b_n=\frac{1}{n}. \]
Esta sucesión es decreciente, ya que
\[ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{n} \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Además, está acotada inferiormente, pues
\[ b_n>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\).
Así pues, \((b_n)\) es decreciente y acotada inferiormente. Por el teorema del límite de una sucesión monótona, converge a su ínfimo.
En este caso
\[ \inf\{b_n:n\in\mathbb{N}\}=0. \]
En efecto, \(0\) es una cota inferior de la sucesión, ya que
\[ \frac{1}{n}>0 \]
para todo \(n\in\mathbb{N}\). Además, para todo \(\varepsilon>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ \frac{1}{n}<\varepsilon. \]
Por tanto, los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a \(0\) por la derecha. En consecuencia, \(0\) es la máxima de las cotas inferiores.
Por tanto,
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}=0. \]
Ejemplo 3. Consideremos la sucesión
\[ c_n=n. \]
Esta sucesión es creciente, pero no está acotada superiormente. En efecto, para todo \(M>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ n>M. \]
Por tanto, por el teorema del límite de una sucesión monótona,
\[ \lim_{n\to+\infty}n=+\infty. \]
Ejemplo 4. Consideremos la sucesión
\[ d_n=-n. \]
Esta sucesión es decreciente y no está acotada inferiormente. En efecto, para todo \(M>0\) existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que
\[ -n<-M. \]
Por tanto, por el teorema del límite de una sucesión monótona,
\[ \lim_{n\to+\infty}(-n)=-\infty. \]
Estos ejemplos muestran que la monotonía siempre garantiza la existencia del límite, pero no que el límite sea finito. Para obtener la convergencia a un número real se necesita, además, la acotación adecuada: superior para las sucesiones crecientes e inferior para las decrecientes.
El teorema depende de manera esencial de la completitud de los números reales. En efecto, en \(\mathbb{Q}\) una sucesión monótona y acotada puede no converger a un número racional. Por ejemplo, la sucesión de las aproximaciones decimales finitas de \(\sqrt{2}\),
\[ 1;\ 1{,}4;\ 1{,}41;\ 1{,}414;\ 1{,}4142;\ \ldots \]
es creciente y acotada en \(\mathbb{Q}\), pero no converge en \(\mathbb{Q}\), pues su límite en \(\mathbb{R}\) es \(\sqrt{2}\), que es irracional.